带限制的区间合并最小成本问题 一、问题描述 给定一个由 n 个整数组成的数组 nums，以及一个整数 k。 我们可以将数组中 相邻的 若干个元素合并成一个元素，合并后的元素值为这些元素的和，合并的 成本 为这个和。 现在要求： 将整个数组合并成一个元素。 每次合并时， 合并的区间长度不能超过 k （即一次只能合并连续的 2 到 k 个元素）。 求完成所有合并的最小总成本。 示例 输入：nums = [ 1, 2, 3, 4 ], k = 3 输出：20 解释： 先将 [ 1, 2, 3] 合并，成本 = 1+2+3=6，数组变为 [ 6, 4 ] 再将 [ 6, 4 ] 合并，成本 = 6+4=10 总成本 = 6 + 10 = 20 注意 如果 k=2，就是普通的相邻石子合并问题（每次只能合并相邻的两堆）。 这里 k 可以更大，允许一次合并更多相邻元素，这会影响合并策略，从而影响总成本。 二、问题分析 1. 核心难点 在普通的相邻石子合并问题（k=2）中，我们只能两两合并，因此区间 [ i, j] 的最后一步合并一定是将 [ i, m] 和 [ m+1, j ] 两个区间合并。 但在这里，k ≥ 2，最后一步合并可能是将区间 [ i, j] 切分成 p 段 （2 ≤ p ≤ k）进行合并，而不是固定分成 2 段。 2. 状态定义 设 dp[ i][ j] 表示将 nums 中下标 i 到 j 的子数组 合并成一个元素 的最小总成本。 最终答案是 dp[ 0][ n-1 ]。 3. 状态转移 考虑区间 [ i, j ]： 如果区间长度 len = j-i+1 为 1，不需要合并，成本 0，即 dp[ i][ i ] = 0。 否则，我们最后一步操作是将 [ i, j ] 分成 p 段（2 ≤ p ≤ k 且 p ≤ len），然后把这 p 段各自合并成一个元素（这 p 段的成本已经算在子问题里），再合并这 p 个元素。 关键：合并 p 个元素的成本等于这 p 个元素值的和，即 sum(nums[ i..j ])。 设划分点为：i = t₀ < t₁ < t₂ < ... < t_ {p-1} < t_ p = j+1，则第 s 段是 [ t_ {s-1}, t_ s-1 ]。 那么： dp[ i][ j] = min( dp[ i][ t₁-1] + dp[ t₁][ t₂-1] + ... + dp[ t_ {p-1}][ j ] + sum(i, j) ) 其中 p 从 2 到 k 且 p ≤ len，t₁, t₂, ..., t_ {p-1} 是划分点。 但这样直接枚举划分点组合会非常复杂，因为 p 可变，划分点多。 三、优化状态转移 我们可以引入 辅助状态 来简化。 定义 dp[ i][ j][ m] 表示将区间 [ i, j] 合并成 m 个连续段 （每段各自已合并成一个数）的最小成本，其中 1 ≤ m ≤ k 且 m ≤ len。 那么： dp[ i][ j][ 1 ] 表示合并成一个元素的最小成本，即最终所求。 初始时，dp[ i][ i][ 1] = 0，dp[ i][ i][ m ] (m>1) 为无穷大，因为一个数不能分成多于 1 段。 转移方程 ： 当 m = 1 时： 最后一步是将 [ i, j] 分成 p 段（2 ≤ p ≤ k 且 p ≤ len），这 p 段各自已经合并成 1 个元素（即 dp[ i][ j][ p ]），然后将这 p 个数合并成 1 个数，成本是 sum(i, j)。 所以： dp[ i][ j][ 1] = min_ {p=2..min(k, len)} ( dp[ i][ j][ p ] + sum(i, j) ) 当 m > 1 时： 我们需要将 [ i, j ] 合并成 m 段。 考虑第一段的结束位置 t（i ≤ t < j），第一段合并成 1 段（即 dp[ i][ t][ 1]），剩下的 [ t+1, j] 合并成 m-1 段（即 dp[ t+1][ j][ m-1 ]）。 所以： dp[ i][ j][ m] = min_ {t=i..j-1} ( dp[ i][ t][ 1] + dp[ t+1][ j][ m-1 ] ) 这样，我们只需要枚举划分点 t，而不需要枚举多个划分点组合。 四、计算步骤 预处理前缀和 prefix，以便 O(1) 得到 sum(i, j)。 初始化 dp 为无穷大，dp[ i][ i][ 1 ] = 0。 按区间长度 len 从小到大计算： 对每个区间 [ i, j]，先计算 m 从 2 到 min(k, len) 的 dp[ i][ j][ m ]： 枚举 t 从 i 到 j-1，dp[ i][ j][ m] = min( dp[ i][ t][ 1] + dp[ t+1][ j][ m-1 ] ) 再计算 dp[ i][ j][ 1 ]： dp[ i][ j][ 1] = min_ {p=2..min(k, len)} ( dp[ i][ j][ p ] + sum(i, j) ) 最终答案为 dp[ 0][ n-1][ 1 ]。 五、例子推演 nums = [ 1, 2, 3, 4 ], k=3, n=4 前缀和: 0, 1, 3, 6, 10 区间长度 len=1: dp[ 0][ 0][ 1]=0, dp[ 1][ 1][ 1]=0, dp[ 2][ 2][ 1]=0, dp[ 3][ 3][ 1 ]=0 len=2: [ 0,1 ]: m=2: 枚举 t=0: dp[ 0][ 0][ 1]+dp[ 1][ 1][ 1]=0+0=0 → dp[ 0][ 1][ 2 ]=0 m=1: p=2: dp[ 0][ 1][ 2] + sum(0,1)=0+3=3 → dp[ 0][ 1][ 1 ]=3 [ 1,2]: 同理 dp[ 1][ 2][ 1 ]=5 len=3: [ 0,2 ]: m=2: t=0: dp[ 0][ 0][ 1]+dp[ 1][ 2][ 1 ]=0+5=5 t=1: dp[ 0][ 1][ 1]+dp[ 2][ 2][ 1]=3+0=3 → dp[ 0][ 2][ 2 ]=3 m=3: t=0: dp[ 0][ 0][ 1]+dp[ 1][ 2][ 2] (dp[ 1][ 2][ 2] 计算：len=2区间[ 1,2]的m=2: 枚举t=1: dp[ 1][ 1][ 1]+dp[ 2][ 2][ 1]=0+0=0) 所以 dp[ 1][ 2][ 2]=0，则 dp[ 0][ 0][ 1 ]+0=0 t=1: dp[ 0][ 1][ 1]+dp[ 2][ 2][ 2 ] (不存在，无穷大) 所以 m=3 时最小值 0 所以 dp[ 0][ 2][ 2]=3, dp[ 0][ 2][ 3 ]=0 m=1: p=2: dp[ 0][ 2][ 2]+sum=3+6=9, p=3: dp[ 0][ 2][ 3]+sum=0+6=6 → 取 6，dp[ 0][ 2][ 1 ]=6 [ 1,3]: 同理可算 dp[ 1][ 3][ 1 ]=5+7=12? 我们手算一下： len=3: [ 1,3 ] sum=9 m=2: t=1: dp[ 1][ 1][ 1]+dp[ 2][ 3][ 1 ]=0+7=7 t=2: dp[ 1][ 2][ 1]+dp[ 3][ 3][ 1]=5+0=5 → dp[ 1][ 3][ 2 ]=5 m=3: t=1: dp[ 1][ 1][ 1]+dp[ 2][ 3][ 2] (dp[ 2][ 3][ 2] 计算：len=2: 2,3 m=2: t=2: dp[ 2][ 2][ 1]+dp[ 3][ 3][ 1 ]=0+0=0) 所以 0+0=0 t=2: dp[ 1][ 2][ 1]+dp[ 3][ 3][ 2] 无穷大 → 所以 dp[ 1][ 3][ 3 ]=0 m=1: p=2: 5+9=14, p=3: 0+9=9 → dp[ 1][ 3][ 1 ]=9 len=4: [ 0,3 ] sum=10 计算 m=2..3（因为 k=3）: m=2: t=0: dp[ 0][ 0][ 1]+dp[ 1][ 3][ 1 ]=0+9=9 t=1: dp[ 0][ 1][ 1]+dp[ 2][ 3][ 1 ]=3+7=10 t=2: dp[ 0][ 2][ 1]+dp[ 3][ 3][ 1]=6+0=6 → dp[ 0][ 3][ 2 ]=6 m=3: t=0: dp[ 0][ 0][ 1]+dp[ 1][ 3][ 2 ]=0+5=5 t=1: dp[ 0][ 1][ 1]+dp[ 2][ 3][ 2 ]=3+0=3 t=2: dp[ 0][ 2][ 1]+dp[ 3][ 3][ 2] 无穷大 → dp[ 0][ 3][ 3 ]=3 m=1: p=2: 6+10=16, p=3: 3+10=13 → 取 13 但注意 p 必须 ≤k 且 ≤len，这里 len=4, k=3, 所以 p=2,3 都合法。 所以 dp[ 0][ 3][ 1 ] = min(16, 13) = 13 但我们例子给的答案是 20，这是因为 示例的合并过程 是先把 [ 1,2,3 ] 合并，再和 4 合并。 检查我们的 dp 计算： 实际上，我们的状态设计是“合并成 m 段的最小成本”，最后一步是合并 p 段成 1 段，成本是 sum(i,j)。 但这里注意：dp[ i][ j][ p ] 表示合并成 p 段的最小成本，这 p 段内部各自已经合并完成，最后一步合并 p 段的成本等于 p 个数的和，这 p 个数的和正好是 sum(i,j)，因为内部合并不改变总和。 所以 dp[ i][ j][ 1] = dp[ i][ j][ p ] + sum(i,j) 是成立的。 但为什么我算出来 13 而示例是 20？ 因为示例的 20 是 分步顺序的成本累计 ，我们的 dp 计算的是 合并的总成本 ，不是分步成本？ 等一下，这里容易混淆： 在标准的相邻石子合并问题中，合并 [ i,j] 的总成本是 dp[ i][ j] = min(dp[ i][ m]+dp[ m+1][ j ]) + sum(i,j)。 但这里是“一次可以合并多于 2 堆”，最后一步的合并成本是 sum(i,j)，与分几段无关。 所以实际上，对于任意划分，总成本 = 各子区间合并成本 + 最后一步合并成本 sum(i,j)。 因此，我们的 dp[ i][ j][ 1 ] 计算应该就是正确的。 重新验证 nums=[ 1,2,3,4 ], k=3： 我们得到的 dp[ 0][ 3][ 1 ]=13，表示可以小于 20。 看能否找到 13 的方案： 先把 [ 1,2] 合并成 3，成本 3 → 数组 [ 3,3,4 ] 再把 [ 3,3,4 ] 合并，一次合并 3 个，成本 3+3+4=10，总成本 3+10=13。 这是允许的，因为第一次合并长度 2 ≤ k，第二次合并长度 3 ≤ k。 所以实际上 13 比 20 更小，示例给出的 20 并不是最优解，题目示例可能只是说明一种可能。 因此我们算法的结果是正确的。 六、复杂度 时间复杂度 O(n³·k)，因为三层循环：区间长度、起点、划分点，再乘以 m 的循环。 空间复杂度 O(n²·k)。 七、关键点总结 允许一次合并多于两堆时，最后一步合并的段数可以是 2 到 k。 通过增加状态维度 m 表示合并成的段数，可以简化转移，只需枚举一个划分点。 最终答案对应 dp[ 0][ n-1][ 1 ]。