非线性规划中的序列二次规划-积极集-乘子法-过滤器-信赖域混合算法进阶题
字数 4672 2025-12-09 02:23:12

非线性规划中的序列二次规划-积极集-乘子法-过滤器-信赖域混合算法进阶题

题目描述

考虑如下带有不等式和等式约束的非线性优化问题：

\[\begin{aligned} \min_{x \in \mathbb{R}^n} \quad & f(x) \\ \text{s.t.} \quad & c_i(x) = 0, \quad i \in \mathcal{E} \\ & c_i(x) \le 0, \quad i \in \mathcal{I} \end{aligned} \]

其中，目标函数 \(f(x)\) 和约束函数 \(c_i(x)\) 都是二阶连续可微的。本题要求设计并实现一个结合了序列二次规划（SQP）、积极集策略、乘子法、过滤器（Filter）和信赖域（Trust Region） 的混合算法，以高效、鲁棒地求解该问题，尤其适用于中大规模、非凸、约束条件复杂的场景。

解题过程

第一步：算法总体框架理解

该混合算法的核心思想是序列二次规划（SQP）：在当前迭代点 \(x_k\)，通过求解一个二次规划（QP）子问题来获得搜索方向 \(d_k\)。然后，结合积极集策略识别有效约束，乘子法处理约束违反和拉格朗日乘子更新，过滤器管理目标下降与约束违反的平衡，以及信赖域控制步长的可信度。整体流程是一个迭代过程，直到满足收敛条件。

算法基本循环：

  1. 初始化：给定初始点 \(x_0\)，拉格朗日乘子估计 \(\lambda_0\)，信赖域半径 \(\Delta_0 > 0\)，过滤器 \(\mathcal{F}\)，容忍误差 \(\epsilon\)。
  2. 对于 \(k = 0, 1, 2, \dots\) 直到收敛：
    a. 构造并求解当前点的QP子问题，得到试探步 \(d_k\)。
    b. 使用过滤器判断是否接受该步。
    c. 若接受，更新迭代点、乘子和信赖域半径；否则，调整信赖域半径并重新求解QP。
    d. 检查收敛条件（如KKT条件的近似满足）。

第二步：构造QP子问题

在当前点 \(x_k\)，我们构造如下QP子问题：

\[\begin{aligned} \min_{d \in \mathbb{R}^n} \quad & \nabla f(x_k)^T d + \frac{1}{2} d^T B_k d \\ \text{s.t.} \quad & \nabla c_i(x_k)^T d + c_i(x_k) = 0, \quad i \in \mathcal{E} \\ & \nabla c_i(x_k)^T d + c_i(x_k) \le 0, \quad i \in \mathcal{I} \end{aligned} \]

其中，\(B_k\) 是拉格朗日函数 \(L(x, \lambda) = f(x) + \lambda^T c(x)\) 的Hessian矩阵 \(\nabla_{xx}^2 L(x_k, \lambda_k)\) 或其拟牛顿近似（如BFGS更新）。这里的约束是原约束在当前点的线性近似。

注意：为了简化计算和数值稳定性，通常采用积极集策略，即仅考虑在当前点可能起作用的约束（如等式约束和活跃的不等式约束）来构造QP，这能减少子问题的规模。

第三步：积极集策略

  1. 识别积极集：对于不等式约束 \(i \in \mathcal{I}\)，判断其是否活跃。一个常用的准则是：

\[ c_i(x_k) \ge -\epsilon_a \quad \text{或} \quad \lambda_i^k > 0 \]

其中 \(\epsilon_a > 0\) 是一个小阈值，\(\lambda_i^k\) 是当前乘子估计。满足条件的约束被纳入积极集 \(\mathcal{A}_k \subseteq \mathcal{I}\)。
2. 构造简化QP：在QP子问题中，只包含等式约束 \(\mathcal{E}\) 和积极集 \(\mathcal{A}_k\) 对应的约束，其他不等式约束暂时忽略。这能显著降低QP的求解复杂度。

第四步：乘子法的作用

乘子法（也称为增广拉格朗日方法）在该混合算法中主要用于：

  1. QP子问题的修正：有时会在QP的目标函数中加入一个惩罚项，形成增广拉格朗日形式的QP，以改善约束违反的处理。
  2. 乘子更新：在每次成功接受步长后，更新拉格朗日乘子 \(\lambda_{k+1}\) 以更好地逼近最优乘子。更新公式通常为：

\[ \lambda_{k+1} = \lambda_k + \mu_k c(x_k + d_k) \]

其中 \(\mu_k > 0\) 是惩罚参数（可能自适应调整）。
3. Hessian近似：在构造 \(B_k\) 时，使用当前乘子 \(\lambda_k\) 计算拉格朗日函数的Hessian，使QP子问题更准确地反映原问题的曲率信息。

第五步：过滤器机制

过滤器用于平衡目标函数下降和约束违反减少，避免传统罚函数法中权重选择的困难。

  1. 定义过滤器条目：每个迭代点 \(x\) 对应一个二元组 \((f(x), \theta(x))\)，其中 \(\theta(x) = \|c(x)^+\|\) 是约束违反度量（\(c^+\) 表示不等式约束的正部分和等式约束的绝对值）。
  2. 接受准则：试探点 \(x_k + d_k\) 被接受，如果它不被当前过滤器 \(\mathcal{F}_k\) 中的任何条目占优，即不存在 \((f, \theta) \in \mathcal{F}_k\) 使得 \(f \le f(x_k + d_k)\) 且 \(\theta \le \theta(x_k + d_k)\)，且至少一个不等式严格成立。
  3. 过滤器更新：若接受该点，则将 \((f(x_k + d_k), \theta(x_k + d_k))\) 加入过滤器，并删除所有被它占优的条目。
  4. 恢复机制：如果试探点被过滤器拒绝，则进入“恢复阶段”，例如求解一个以减少约束违约为主要目标的子问题，或缩小信赖域半径重新尝试。

第六步：信赖域控制

信赖域用于确保QP子问题产生的方向 \(d_k\) 在局部模型的有效范围内。

  1. 添加信赖域约束：在QP子问题中加入约束 \(\|d\| \le \Delta_k\)，其中 \(\Delta_k > 0\) 是当前信赖域半径。
  2. 计算实际下降与预测下降：
    • 实际下降：\(\text{ared}_k = f(x_k) - f(x_k + d_k) + \mu_k [\theta(x_k) - \theta(x_k + d_k)]\)（可能结合乘子法的增广项）。
    • 预测下降：\(\text{pred}_k = -\left( \nabla f(x_k)^T d_k + \frac{1}{2} d_k^T B_k d_k \right) + \mu_k [\theta(x_k) - \theta_{\text{lin}}(x_k + d_k)]\)，其中 \(\theta_{\text{lin}}\) 是基于线性化约束的违反度量。
  3. 更新信赖域半径：
    • 若 \(\text{ared}_k / \text{pred}_k \ge \eta_1\)（如 \(\eta_1 = 0.75\)），接受该步并扩大半径：\(\Delta_{k+1} = \gamma_1 \Delta_k\)（如 \(\gamma_1 = 2\)）。
    • 若 \(\text{ared}_k / \text{pred}_k \in [\eta_0, \eta_1)\)（如 \(\eta_0 = 0.1\)），接受该步并保持半径不变。
    • 否则，拒绝该步并缩小半径：\(\Delta_{k+1} = \gamma_0 \Delta_k\)（如 \(\gamma_0 = 0.5\)），然后返回重新求解QP或进入恢复阶段。

第七步：完整算法步骤与收敛条件

初始化：

  • 选择初始点 \(x_0\)，乘子 \(\lambda_0\)（可设为零），初始信赖域半径 \(\Delta_0\)，初始过滤器 \(\mathcal{F}_0 = \{ (f(x_0), \theta(x_0)) \}\)，参数 \(\epsilon > 0\)，\(\mu_0 > 0\)，\(B_0\)（通常为单位矩阵）。

迭代步骤（对于第 \(k\) 次迭代）：

  1. 积极集识别：根据当前 \(x_k\) 和 \(\lambda_k\) 确定积极集 \(\mathcal{A}_k\)。
  2. 构造并求解QP子问题：
    • 构建带信赖域约束的QP（包含等式约束和 \(\mathcal{A}_k\)）。
    • 使用有效集法或内点法求解该QP，得到方向 \(d_k\)。
  3. 过滤器-信赖域测试：
    • 计算实际下降 \(\text{ared}_k\) 和预测下降 \(\text{pred}_k\)。
    • 检查 \(x_k + d_k\) 是否被当前过滤器接受。
    • 计算比率 \(\rho_k = \text{ared}_k / \text{pred}_k\)。
  4. 步长接受与更新：
    • 如果同时满足过滤器接受条件和 \(\rho_k \ge \eta_0\)，则接受步长：\(x_{k+1} = x_k + d_k\)。
      • 更新乘子 \(\lambda_{k+1}\)（如使用一阶更新或求解QP乘子）。
      • 更新过滤器 \(\mathcal{F}_{k+1}\)。
      • 更新信赖域半径 \(\Delta_{k+1}\) 基于 \(\rho_k\)。
      • 更新Hessian近似 \(B_{k+1}\)（如BFGS）。
    • 否则，拒绝步长：\(x_{k+1} = x_k\)，缩小信赖域半径 \(\Delta_{k+1} = \gamma_0 \Delta_k\)，并可能进入恢复阶段（例如求解一个以减小 \(\theta\) 为主的QP）。
  5. 收敛检查：
    • 若 \(\| \nabla L(x_{k+1}, \lambda_{k+1}) \| \le \epsilon\) 且 \(\theta(x_{k+1}) \le \epsilon\)，则停止并输出 \(x_{k+1}\) 作为近似最优解。
    • 否则，继续下一迭代。

总结

该混合算法通过序列二次规划提供快速局部收敛，积极集策略降低子问题规模，乘子法改善约束处理和乘子估计，过滤器平衡目标与约束，信赖域保证全局收敛性。它特别适合处理非凸、约束复杂的优化问题，在实际应用中（如工程设计、经济模型）具有较好的鲁棒性和效率。

非线性规划中的序列二次规划-积极集-乘子法-过滤器-信赖域混合算法进阶题 题目描述 考虑如下带有不等式和等式约束的非线性优化问题： \[ \begin{aligned} \min_ {x \in \mathbb{R}^n} \quad & f(x) \\ \text{s.t.} \quad & c_ i(x) = 0, \quad i \in \mathcal{E} \\ & c_ i(x) \le 0, \quad i \in \mathcal{I} \end{aligned} \] 其中，目标函数 \( f(x) \) 和约束函数 \( c_ i(x) \) 都是二阶连续可微的。本题要求设计并实现一个 结合了序列二次规划（SQP）、积极集策略、乘子法、过滤器（Filter）和信赖域（Trust Region） 的混合算法，以高效、鲁棒地求解该问题，尤其适用于中大规模、非凸、约束条件复杂的场景。 解题过程 第一步：算法总体框架理解 该混合算法的核心思想是 序列二次规划（SQP） ：在当前迭代点 \( x_ k \)，通过求解一个二次规划（QP）子问题来获得搜索方向 \( d_ k \)。然后，结合 积极集策略 识别有效约束， 乘子法 处理约束违反和拉格朗日乘子更新， 过滤器 管理目标下降与约束违反的平衡，以及 信赖域 控制步长的可信度。整体流程是一个迭代过程，直到满足收敛条件。 算法基本循环 ： 初始化：给定初始点 \( x_ 0 \)，拉格朗日乘子估计 \( \lambda_ 0 \)，信赖域半径 \( \Delta_ 0 > 0 \)，过滤器 \( \mathcal{F} \)，容忍误差 \( \epsilon \)。 对于 \( k = 0, 1, 2, \dots \) 直到收敛： a. 构造并求解当前点的QP子问题，得到试探步 \( d_ k \)。 b. 使用过滤器判断是否接受该步。 c. 若接受，更新迭代点、乘子和信赖域半径；否则，调整信赖域半径并重新求解QP。 d. 检查收敛条件（如KKT条件的近似满足）。 第二步：构造QP子问题 在当前点 \( x_ k \)，我们构造如下QP子问题： \[ \begin{aligned} \min_ {d \in \mathbb{R}^n} \quad & \nabla f(x_ k)^T d + \frac{1}{2} d^T B_ k d \\ \text{s.t.} \quad & \nabla c_ i(x_ k)^T d + c_ i(x_ k) = 0, \quad i \in \mathcal{E} \\ & \nabla c_ i(x_ k)^T d + c_ i(x_ k) \le 0, \quad i \in \mathcal{I} \end{aligned} \] 其中，\( B_ k \) 是拉格朗日函数 \( L(x, \lambda) = f(x) + \lambda^T c(x) \) 的Hessian矩阵 \( \nabla_ {xx}^2 L(x_ k, \lambda_ k) \) 或其拟牛顿近似（如BFGS更新）。这里的约束是原约束在当前点的线性近似。 注意 ：为了简化计算和数值稳定性，通常采用 积极集策略 ，即仅考虑在当前点可能起作用的约束（如等式约束和活跃的不等式约束）来构造QP，这能减少子问题的规模。 第三步：积极集策略 识别积极集 ：对于不等式约束 \( i \in \mathcal{I} \)，判断其是否活跃。一个常用的准则是： \[ c_ i(x_ k) \ge -\epsilon_ a \quad \text{或} \quad \lambda_ i^k > 0 \] 其中 \( \epsilon_ a > 0 \) 是一个小阈值，\( \lambda_ i^k \) 是当前乘子估计。满足条件的约束被纳入积极集 \( \mathcal{A}_ k \subseteq \mathcal{I} \)。 构造简化QP ：在QP子问题中，只包含等式约束 \( \mathcal{E} \) 和积极集 \( \mathcal{A}_ k \) 对应的约束，其他不等式约束暂时忽略。这能显著降低QP的求解复杂度。 第四步：乘子法的作用 乘子法（也称为增广拉格朗日方法）在该混合算法中主要用于： QP子问题的修正 ：有时会在QP的目标函数中加入一个惩罚项，形成增广拉格朗日形式的QP，以改善约束违反的处理。 乘子更新 ：在每次成功接受步长后，更新拉格朗日乘子 \( \lambda_ {k+1} \) 以更好地逼近最优乘子。更新公式通常为： \[ \lambda_ {k+1} = \lambda_ k + \mu_ k c(x_ k + d_ k) \] 其中 \( \mu_ k > 0 \) 是惩罚参数（可能自适应调整）。 Hessian近似 ：在构造 \( B_ k \) 时，使用当前乘子 \( \lambda_ k \) 计算拉格朗日函数的Hessian，使QP子问题更准确地反映原问题的曲率信息。 第五步：过滤器机制 过滤器用于平衡目标函数下降和约束违反减少，避免传统罚函数法中权重选择的困难。 定义过滤器条目 ：每个迭代点 \( x \) 对应一个二元组 \( (f(x), \theta(x)) \)，其中 \( \theta(x) = \|c(x)^+\| \) 是约束违反度量（\( c^+ \) 表示不等式约束的正部分和等式约束的绝对值）。 接受准则 ：试探点 \( x_ k + d_ k \) 被接受，如果它 不被 当前过滤器 \( \mathcal{F}_ k \) 中的任何条目占优，即不存在 \( (f, \theta) \in \mathcal{F}_ k \) 使得 \( f \le f(x_ k + d_ k) \) 且 \( \theta \le \theta(x_ k + d_ k) \)，且至少一个不等式严格成立。 过滤器更新 ：若接受该点，则将 \( (f(x_ k + d_ k), \theta(x_ k + d_ k)) \) 加入过滤器，并删除所有被它占优的条目。 恢复机制 ：如果试探点被过滤器拒绝，则进入“恢复阶段”，例如求解一个以减少约束违约为主要目标的子问题，或缩小信赖域半径重新尝试。 第六步：信赖域控制 信赖域用于确保QP子问题产生的方向 \( d_ k \) 在局部模型的有效范围内。 添加信赖域约束 ：在QP子问题中加入约束 \( \|d\| \le \Delta_ k \)，其中 \( \Delta_ k > 0 \) 是当前信赖域半径。 计算实际下降与预测下降 ： 实际下降：\( \text{ared}_ k = f(x_ k) - f(x_ k + d_ k) + \mu_ k [ \theta(x_ k) - \theta(x_ k + d_ k) ] \)（可能结合乘子法的增广项）。 预测下降：\( \text{pred} k = -\left( \nabla f(x_ k)^T d_ k + \frac{1}{2} d_ k^T B_ k d_ k \right) + \mu_ k [ \theta(x_ k) - \theta {\text{lin}}(x_ k + d_ k)] \)，其中 \( \theta_ {\text{lin}} \) 是基于线性化约束的违反度量。 更新信赖域半径 ： 若 \( \text{ared}_ k / \text{pred} k \ge \eta_ 1 \)（如 \( \eta_ 1 = 0.75 \)），接受该步并扩大半径：\( \Delta {k+1} = \gamma_ 1 \Delta_ k \)（如 \( \gamma_ 1 = 2 \)）。 若 \( \text{ared}_ k / \text{pred}_ k \in [ \eta_ 0, \eta_ 1) \)（如 \( \eta_ 0 = 0.1 \)），接受该步并保持半径不变。 否则，拒绝该步并缩小半径：\( \Delta_ {k+1} = \gamma_ 0 \Delta_ k \)（如 \( \gamma_ 0 = 0.5 \)），然后返回重新求解QP或进入恢复阶段。 第七步：完整算法步骤与收敛条件 初始化 ： 选择初始点 \( x_ 0 \)，乘子 \( \lambda_ 0 \)（可设为零），初始信赖域半径 \( \Delta_ 0 \)，初始过滤器 \( \mathcal{F}_ 0 = \{ (f(x_ 0), \theta(x_ 0)) \} \)，参数 \( \epsilon > 0 \)，\( \mu_ 0 > 0 \)，\( B_ 0 \)（通常为单位矩阵）。 迭代步骤 （对于第 \( k \) 次迭代）： 积极集识别 ：根据当前 \( x_ k \) 和 \( \lambda_ k \) 确定积极集 \( \mathcal{A}_ k \)。 构造并求解QP子问题 ： 构建带信赖域约束的QP（包含等式约束和 \( \mathcal{A}_ k \)）。 使用有效集法或内点法求解该QP，得到方向 \( d_ k \)。 过滤器-信赖域测试 ： 计算实际下降 \( \text{ared}_ k \) 和预测下降 \( \text{pred}_ k \)。 检查 \( x_ k + d_ k \) 是否被当前过滤器接受。 计算比率 \( \rho_ k = \text{ared}_ k / \text{pred}_ k \)。 步长接受与更新 ： 如果同时满足过滤器接受条件和 \( \rho_ k \ge \eta_ 0 \)，则接受步长：\( x_ {k+1} = x_ k + d_ k \)。 更新乘子 \( \lambda_ {k+1} \)（如使用一阶更新或求解QP乘子）。 更新过滤器 \( \mathcal{F}_ {k+1} \)。 更新信赖域半径 \( \Delta_ {k+1} \) 基于 \( \rho_ k \)。 更新Hessian近似 \( B_ {k+1} \)（如BFGS）。 否则，拒绝步长：\( x_ {k+1} = x_ k \)，缩小信赖域半径 \( \Delta_ {k+1} = \gamma_ 0 \Delta_ k \)，并可能进入恢复阶段（例如求解一个以减小 \( \theta \) 为主的QP）。 收敛检查 ： 若 \( \| \nabla L(x_ {k+1}, \lambda_ {k+1}) \| \le \epsilon \) 且 \( \theta(x_ {k+1}) \le \epsilon \)，则停止并输出 \( x_ {k+1} \) 作为近似最优解。 否则，继续下一迭代。 总结 该混合算法通过 序列二次规划 提供快速局部收敛， 积极集策略 降低子问题规模， 乘子法 改善约束处理和乘子估计， 过滤器 平衡目标与约束， 信赖域 保证全局收敛性。它特别适合处理非凸、约束复杂的优化问题，在实际应用中（如工程设计、经济模型）具有较好的鲁棒性和效率。