深度学习中的优化器之Shampoo算法原理与二阶优化机制

我将为您讲解Shampoo优化器算法。这是一个基于二阶优化思想的深度学习优化算法，特别适合大规模深度学习任务。

1. 算法背景与核心思想

问题背景：传统的随机梯度下降（SGD）及其变体（如Adam）都是一阶优化方法，只使用梯度的一阶矩信息。二阶优化方法（如牛顿法）使用Hessian矩阵（二阶导数），具有更快的收敛速度，但计算Hessian矩阵及其逆的计算复杂度是O(n²)甚至O(n³)，对深度学习模型来说完全不现实。

Shampoo的核心创新：将参数矩阵的Hessian矩阵近似为两个较小矩阵的Kronecker积，从而大幅降低计算复杂度。具体来说：

• 对于权重矩阵W ∈ ℝ^(m×n)，不直接计算完整的Hessian矩阵H ∈ ℝ^(mn×mn)
• 而是计算左预条件矩阵L ∈ ℝ^(m×m)和右预条件矩阵R ∈ ℝ^(n×n)
• 使得H ≈ L ⊗ R（Kronecker积）

2. 数学推导与算法细节

2.1 Kronecker积近似原理

设损失函数为L(W)，梯度矩阵为G = ∇W L ∈ ℝ^(m×n)。

理想情况下，牛顿法更新为：
ΔW = H⁻¹G

但H是mn×mn矩阵，计算不可行。Shampoo的关键假设是：Hessian矩阵可以近似分解为：
H ≈ L ⊗ R

根据Kronecker积的性质，(L ⊗ R)⁻¹ = L⁻¹ ⊗ R⁻¹，且对于任意矩阵X：
(L ⊗ R)vec(X) = vec(LXR^T)

因此，更新规则可以近似为：
vec(ΔW) ≈ (L ⊗ R)⁻¹ vec(G) = vec(L⁻¹ G R⁻¹)

这就将O(m³n³)的计算复杂度降低到了O(m³ + n³)。

2.2 预条件矩阵的构造

如何得到L和R？Shampoo采用统计估计的方法：

1. 计算梯度的外积：
   L_t = β L_{t-1} + (1-β) GG^T
   R_t = β R_{t-1} + (1-β) G^TG

2. 这里β是动量参数，类似Adam中的β₂

3. L估计的是梯度行之间的协方差结构

4. R估计的是梯度列之间的协方差结构

2.3 完整的更新公式

对于第t次迭代：

1. 计算梯度：G_t = ∇W L(W_t)
2. 更新预条件矩阵：
   L_t = β L_{t-1} + (1-β) G_t G_t^T + εI
   R_t = β R_{t-1} + (1-β) G_t^T G_t + εI
3. 计算矩阵的p次方根：
   L_t^{-1/4} 和 R_t^{-1/4}（实际中使用-1/(2p)次方，p=2时为-1/4）
4. 参数更新：
   W_{t+1} = W_t - η L_t^{-1/4} G_t R_t^{-1/4}

3. 计算优化与实现技巧

3.1 矩阵指数根的计算

计算矩阵的-1/4次方是算法的关键步骤。Shampoo采用以下方法：

1. 特征值分解：L = QΛQ^T，则L^{-1/4} = QΛ^{-1/4}Q^T
2. 但由于需要频繁计算，使用迭代方法：
   • 牛顿-舒尔迭代法
   • 或使用SVD分解的近似方法

3.2 内存优化

直接存储L和R需要O(m² + n²)内存，可能很大。Shampoo采用：

1. 低秩近似：只存储特征值和主要特征向量
2. 分块对角近似：假设L和R是块对角矩阵
3. 动量压缩：使用移动平均的压缩格式

3.3 分布式计算优化

对于大规模分布式训练：

1. 每个设备计算本地梯度
2. 对L和R进行AllReduce聚合
3. 分布式计算矩阵指数根

4. 收敛性分析

4.1 理论保证

Shampoo的收敛性基于以下理论结果：

1. 在强凸函数上，收敛速度为O(1/T)
2. 条件数降低：预条件处理实际上降低了优化问题的条件数
3. 对于深度学习中的非凸问题，虽然没有严格的理论保证，但实验显示收敛更快

4.2 与一阶优化器的比较

设原问题的条件数为κ，则：

• SGD的收敛速度：O(κ/T)
• 带预条件的Shampoo：O(√κ/T)

5. 实际应用与变体

5.1 自适应学习率版本

将Shampoo与自适应学习率结合：

W_{t+1} = W_t - η_t L_t^{-1/4} G_t R_t^{-1/4}
η_t = η₀ / √(1 + ∑_{i=1}^t ||G_i||²)

5.2 与动量结合

加入Nesterov动量：

M_t = γ M_{t-1} + L_t^{-1/4} G_t R_t^{-1/4}
W_{t+1} = W_t - η M_t

5.3 针对卷积层的扩展

对于卷积核K ∈ ℝ^(c_out×c_in×h×w)：

1. 将卷积核重塑为矩阵：K' ∈ ℝ^(c_out hw × c_in)
2. 计算L ∈ ℝ^(c_out hw × c_out hw) 和 R ∈ ℝ^(c_in × c_in)
3. 更新后再reshape回原形状

6. 实验效果与适用场景

6.1 优势

1. 收敛速度显著快于Adam、SGD
2. 对学习率不太敏感
3. 在语言模型、图像分类等任务上表现优异
4. 特别适合参数矩阵较大的层（如全连接层、嵌入层）

6.2 缺点

1. 计算开销较大（尽管比完整牛顿法小得多）
2. 需要额外的内存存储预条件矩阵
3. 对小规模模型可能不划算

6.3 实现建议

# 简化的Shampoo更新步骤
def shampoo_update(W, G, L, R, beta=0.9, epsilon=1e-8, lr=0.001):
    # 更新预条件矩阵
    L = beta * L + (1-beta) * G @ G.T + epsilon * eye(m)
    R = beta * R + (1-beta) * G.T @ G + epsilon * eye(n)
    
    # 计算矩阵的-1/4次方
    L_inv_sqrt = matrix_power(L, -0.25)
    R_inv_sqrt = matrix_power(R, -0.25)
    
    # 参数更新
    W = W - lr * L_inv_sqrt @ G @ R_inv_sqrt
    
    return W, L, R

7. 算法总结

Shampoo算法的核心贡献在于将二阶优化思想可行地应用于深度学习。通过Kronecker积分解，它将不可行的完整Hessian逆计算转化为两个较小矩阵的操作。虽然计算和内存开销仍高于一阶方法，但在许多任务中，其更快的收敛速度足以弥补这一开销，特别适合计算资源充足、模型规模大的场景。

这个算法代表了深度学习优化器发展的一个重要方向：在保持可计算性的前提下，引入更多的曲率信息来加速训练。后续的许多工作（如AdaHessian、Sophia等）都在此基础上进行了改进和优化。