带振荡核的奇异积分计算：Gauss-Jacobi 求积公式的权函数匹配技巧
1. 题目描述
我们讨论一类形式如下的带振荡核的奇异积分：
\[I = \int_{-1}^{1} f(x) \, (1-x)^\alpha (1+x)^\beta \, e^{i \omega g(x)} \, dx \]
其中：
- 积分区间为 \([-1, 1]\)，端点处可能有代数奇异性（由 \((1-x)^\alpha\) 和 \((1+x)^\beta\) 引起，且 \(\alpha, \beta > -1\) 但非整数）。
- 被积函数包含高频振荡因子 \(e^{i \omega g(x)}\)（\(\omega\) 很大，\(g(x)\) 光滑）。
- \(f(x)\) 是光滑函数。
目标：高效、高精度地计算 \(I\) 的数值近似。
难点：直接使用标准高斯求积会因奇异性与振荡性导致收敛极慢。
2. 解题思路
核心思想是将振荡核与奇异权函数“吸收”到求积公式的权函数中，从而将积分转化为不带振荡的加权积分，再用对应的高斯求积公式计算。具体步骤：
- 分离振荡核的相位函数：利用振荡因子的结构，将其与奇异权函数结合，转化为 Gauss-Jacobi 求积框架。
- 权函数匹配：选取 Gauss-Jacobi 求积公式的权函数 \((1-x)^\alpha (1+x)^\beta\) 来匹配积分的奇异部分，而将振荡核的其余部分并入被积函数。
- 处理振荡：通过变量替换或渐近展开，将振荡核转化为可被多项式逼近的光滑函数，避免直接采样高频振荡。
3. 详细解题步骤
步骤 1：写出积分并匹配权函数
将积分重写为：
\[I = \int_{-1}^{1} \left[ f(x) e^{i \omega g(x)} \right] (1-x)^\alpha (1+x)^\beta \, dx \]
令：
\[h(x) = f(x) e^{i \omega g(x)} \]
则积分形式为：
\[I = \int_{-1}^{1} h(x) \, w^{(\alpha,\beta)}(x) \, dx, \quad w^{(\alpha,\beta)}(x) = (1-x)^\alpha (1+x)^\beta \]
这正是 Gauss-Jacobi 求积公式的标准权函数。
步骤 2：回顾 Gauss-Jacobi 求积公式
Gauss-Jacobi 求积公式（节点数为 \(n\)）为：
\[\int_{-1}^{1} \phi(x) \, w^{(\alpha,\beta)}(x) \, dx \approx \sum_{k=1}^{n} w_k^{(\alpha,\beta)} \, \phi(x_k^{(\alpha,\beta)}) \]
其中：
- \(x_k^{(\alpha,\beta)}\) 是 \(n\) 次 Jacobi 多项式 \(P_n^{(\alpha,\beta)}(x)\) 的零点。
- \(w_k^{(\alpha,\beta)}\) 是对应的权重，可查表或通过标准公式计算。
该公式对次数 \(\le 2n-1\) 的多项式精确成立。
步骤 3：直接应用的问题
如果直接取 \(\phi(x) = h(x) = f(x) e^{i \omega g(x)}\)，那么当 \(\omega\) 很大时，\(e^{i \omega g(x)}\) 高频振荡，\(h(x)\) 并非低阶多项式，Gauss-Jacobi 求积收敛很慢（需要非常多节点）。
步骤 4：权函数匹配技巧
将振荡核拆分为两部分：一部分吸收到权函数，另一部分保持光滑。
引入新的权函数：
\[W(x) = w^{(\alpha,\beta)}(x) \cdot e^{i \omega g(x)} \]
但这样不再是标准 Jacobi 权函数。
技巧：用稳相法思想或变量替换将振荡核转化为一个光滑函数与一个缓变相位的乘积。
一种实用方法：
令 \(G'(x) = g'(x)\)，作部分积分变换或稳相展开，但在 Gauss-Jacobi 框架中，我们可以：
- 作变量替换 \(t = T(x)\)，使得在新变量下振荡因子变为 \(e^{i \omega t}\)。
- 但此处 \(g(x)\) 一般非线性，因此更常用的办法是：将被积函数写成：
\[I = \int_{-1}^{1} \left[ f(x) e^{i \omega [g(x) - p(x)]} \right] \, e^{i \omega p(x)} \, w^{(\alpha,\beta)}(x) \, dx \]
选择 \(p(x)\) 为低阶多项式（如线性函数），使 \(e^{i \omega p(x)}\) 能与 \((1-x)^\alpha (1+x)^\beta\) 结合成新的权函数，而剩余部分 \(f(x) e^{i \omega [g(x)-p(x)]}\) 变得光滑（因为 \(g(x)-p(x)\) 的导数在端点附近小）。
步骤 5：线性相位情形处理
若 \(g(x)\) 本身是线性函数，比如 \(g(x)=x\)，则振荡核为 \(e^{i \omega x}\)。
此时积分变为：
\[I = \int_{-1}^{1} f(x) \, e^{i \omega x} \, (1-x)^\alpha (1+x)^\beta \, dx \]
可令新权函数为 \(\tilde{w}(x) = e^{i \omega x} (1-x)^\alpha (1+x)^\beta\)，但这不再是标准权函数。
Gauss-Jacobi 权函数匹配技巧：将 \(e^{i \omega x}\) 展开为 Jacobi 多项式的级数（或用 Filon-Jacobi 方法），然后逐项积分。但更直接的是用数值积分：
将积分视为对函数 \(f(x)\) 用权函数 \(\tilde{w}(x)\) 的积分，构造对应 \(\tilde{w}(x)\) 的正交多项式（复的），得到节点与权重，但这计算复杂。
实用工程做法：
- 采用自适应分割区间，在振荡不剧烈的子区间上用低阶 Gauss-Jacobi 公式。
- 在振荡剧烈区间，用Filon 型方法：用多项式插值 \(f(x)\)，然后精确计算 \(\int P(x) \, w^{(\alpha,\beta)}(x) e^{i \omega x} dx\)（可解析或预计算）。
步骤 6：一般 \(g(x)\) 的处理
若 \(g(x)\) 非线性，用稳相法确定关键点（区间内部驻点、端点）。
- 若无内部驻点，主要贡献来自端点，可在端点附近用渐近展开。
- 若有内部驻点，在驻点附近局部采用 Gauss-Jacobi 公式（权函数为 \((1-x)^\alpha (1+x)^\beta\) 乘以局部振荡近似），远离驻点处用 Filon 方法。
具体混合策略：
- 将 \([-1,1]\) 按 \(g'(x)\) 的零点划分成若干子区间。
- 在每个子区间上，做变量替换 \(u = g(x)\)（若单调），将振荡核变成 \(e^{i \omega u}\)，权函数变为 \((1-x(u))^\alpha (1+x(u))^\beta \cdot \frac{dx}{du}\)。
- 在新变量 \(u\) 的区间上，用复合 Gauss-Jacobi 公式（此时权函数可能仍带端点奇异性，但无剧烈振荡）。
步骤 7：算法流程
- 输入 \(f, g, \alpha, \beta, \omega\)。
- 找 \(g'(x)=0\) 的驻点，与区间端点一起将 \([-1,1]\) 分成子区间 \(\{I_j\}\)。
- 对每个子区间 \(I_j=[a_j, b_j]\)：
- 若 \(g'\) 在 \(I_j\) 上不接近零（无驻点），用线性变换将 \(I_j\) 映射到 \([-1,1]\)，在该区间上做变量替换 \(u = g(x)\)，得到新积分：
\[ I_j = \int_{g(a_j)}^{g(b_j)} F(u) \, e^{i \omega u} \, du, \quad F(u) = f(x(u)) \, (1-x(u))^\alpha (1+x(u))^\beta \, \frac{dx}{du} \]
此时可用标准振荡积分法（如 Filon 或 Levin 法）。
- 若 \(I_j\) 包含驻点 \(x_s\)，在 \(x_s\) 附近用 Gauss-Jacobi 公式直接计算：
将积分写为 \(\int_{a_j}^{b_j} f(x) (1-x)^\alpha (1+x)^\beta e^{i \omega g(x)} dx\)，在 \(x_s\) 附近将 \(g(x)\) 展开到二次项 \(g(x) \approx g(x_s) + \frac12 g''(x_s)(x-x_s)^2\)，然后可解析处理振荡部分，余下部分用低阶 Gauss-Jacobi 公式。
- 对所有子区间结果求和。
4. 关键技巧总结
- 权函数匹配：用 Gauss-Jacobi 权 \((1-x)^\alpha (1+x)^\beta\) 处理端点奇异性。
- 振荡处理：通过区间分割、变量替换、稳相法，将高频振荡转化为可处理形式，避免直接对高频振荡采样。
- 混合方法：在非振荡区间直接用 Gauss-Jacobi 公式；在振荡区间用 Filon 或变量替换。
此方法在计算电磁学、声学散射中的奇异振荡积分中常见，能在中等精度下用较少节点得到结果。