非线性规划中的遗传算法进阶题：带约束的工程优化问题 题目描述 考虑一个工程设计问题：最小化圆柱形容器的表面积，给定其容积约束 \( V = 1 \, \text{m}^3 \)。设计变量为圆柱半径 \( r \) 和高度 \( h \)，需满足约束 \( r \leq 0.8 \, \text{m} \) 和 \( h \leq 2 \, \text{m} \)。数学模型如下： \[ \min_ {r, h} f(r, h) = 2\pi r^2 + 2\pi rh \quad \text{s.t.} \quad \begin{cases} \pi r^2 h = 1, \\ 0 < r \leq 0.8, \\ 0 < h \leq 2. \end{cases} \] 要求使用遗传算法（Genetic Algorithm, GA）求解，并处理非线性等式约束。 解题步骤 1. 问题分析 目标函数 \( f(r, h) \) 为非线性，约束包含一个非线性等式（容积约束）和两个边界约束。 直接应用GA时，需解决两个关键问题： 可行性 ：如何生成满足 \( \pi r^2 h = 1 \) 的初始种群？ 约束处理 ：如何将等式约束融入适应度函数？ 2. 约束处理策略 采用 罚函数法 将约束问题转化为无约束问题。定义罚函数： \[ P(r, h) = f(r, h) + \lambda \cdot (\pi r^2 h - 1)^2, \] 其中 \( \lambda > 0 \) 为罚因子（例如 \( \lambda = 1000 \)）。等式约束的平方项确保违反约束时目标值急剧增大，引导搜索朝向可行域。 3. 遗传算法设计 a. 编码方案 使用 实数编码 ，每个个体为二维向量 \( (r, h) \)。 边界约束通过初始化范围和变异操作隐式处理（如越界时重置为边界值）。 b. 初始种群生成 在 \( r \in (0, 0.8] \) 和 \( h \in (0, 2 ] \) 内随机生成个体，但需避免完全不可行解。 改进策略：从等式约束解出 \( h = 1/(\pi r^2) \)，随机生成 \( r \) 后计算对应 \( h \)，再检查 \( h \leq 2 \)。若满足则保留，否则重新生成 \( r \)。 c. 适应度函数 直接使用罚函数作为适应度（最小化问题）： \[ \text{Fitness}(r, h) = -\left[ 2\pi r^2 + 2\pi rh + \lambda \cdot (\pi r^2 h - 1)^2 \right ]. \] （负号是因为GA通常最大化适应度，故将最小化问题取负。） d. 选择、交叉与变异 选择 ：采用轮盘赌选择，适应度高的个体更可能被选中。 交叉 ：算术交叉，如对父代 \( (r_ 1, h_ 1) \) 和 \( (r_ 2, h_ 2) \)，子代 \( r' = \alpha r_ 1 + (1-\alpha) r_ 2 \)（\( \alpha \in [ 0,1 ] \) 随机数）。 变异 ：高斯变异，向 \( r \) 和 \( h \) 添加小随机扰动，扰动后检查边界约束。 4. 迭代与收敛 设置种群大小（如100）、最大代数（如500）和收敛阈值（如连续10代最优解变化小于 \( 10^{-6} \)）。 每代保留精英个体（直接复制到下一代），避免丢失最优解。 5. 结果验证 理论解：由拉格朗日乘子法可得 \( r^* = \left( \frac{1}{2\pi} \right)^{1/3} \approx 0.542 \, \text{m}, h^* = 2r^* \approx 1.084 \, \text{m} \)，最优值 \( f^* \approx 2.777 \, \text{m}^2 \)。 对比GA结果：检查最优解的约束违反度 \( |\pi r^2 h - 1| \) 是否接近0。 关键技巧 罚因子 \( \lambda \) 需权衡：过大导致搜索困难，过小则约束违反严重。可自适应调整 \( \lambda \)（如随代数增加）。 对于高度非线性问题，可结合局部搜索（如梯度下降）对GA的最优解进行微调（混合算法）。