自适应信赖域-序列线性规划混合算法进阶题
字数 3067 2025-12-08 10:20:32

自适应信赖域-序列线性规划混合算法进阶题

题目描述：
考虑一个带非线性等式和不等式约束的优化问题：

\[\begin{aligned} \min_{x \in \mathbb{R}^n} \quad & f(x) \\ \text{s.t.} \quad & c_i(x) = 0, \quad i \in \mathcal{E}, \\ & c_i(x) \geq 0, \quad i \in \mathcal{I}, \end{aligned} \]

其中 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 和 \(c_i: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 均为二阶连续可微函数，但非凸。目标函数和约束可能高度非线性，且可行域可能非凸。要求设计一种混合算法，将自适应信赖域（Adaptive Trust Region）与序列线性规划（Sequential Linear Programming, SLP）结合，在每一步迭代中动态调整信赖域半径，并利用线性化模型求解子问题，确保算法在非凸环境下能稳定收敛到局部最优解。

解题过程循序渐进讲解：

1. 算法框架概述
本混合算法的核心思想是：在每一步迭代点 \(x_k\)，构造目标函数和约束的线性近似模型，并在一个自适应调整的信赖域内求解该线性规划子问题，得到试探步 \(p_k\)。通过比较实际下降量与预测下降量，决定是否接受该步长，并更新信赖域半径。整个过程通过序列线性逼近和信赖域控制，保证全局收敛性。

2. 线性化模型构建
在当前迭代点 \(x_k\)，对 \(f(x)\) 和 \(c_i(x)\) 做一阶泰勒展开：

\[\begin{aligned} \tilde{f}_k(p) &= f(x_k) + \nabla f(x_k)^\top p, \\ \tilde{c}_{i,k}(p) &= c_i(x_k) + \nabla c_i(x_k)^\top p, \quad i \in \mathcal{E} \cup \mathcal{I}, \end{aligned} \]

其中 \(p = x - x_k\) 为试探步。于是，在信赖域 \(\|p\| \leq \Delta_k\) 内得到线性规划子问题：

\[\begin{aligned} \min_{p \in \mathbb{R}^n} \quad & \tilde{f}_k(p) \\ \text{s.t.} \quad & \tilde{c}_{i,k}(p) = 0, \quad i \in \mathcal{E}, \\ & \tilde{c}_{i,k}(p) \geq 0, \quad i \in \mathcal{I}, \\ & \|p\| \leq \Delta_k, \end{aligned} \]

这里 \(\Delta_k > 0\) 是当前信赖域半径，范数通常取 \(\ell_2\) 或 \(\ell_\infty\)。

3. 自适应信赖域机制
信赖域半径 \(\Delta_k\) 根据每步的近似精度动态调整。定义实际下降量：

\[\text{ared}_k = f(x_k) - f(x_k + p_k), \]

和预测下降量：

\[\text{pred}_k = \tilde{f}_k(0) - \tilde{f}_k(p_k) = -\nabla f(x_k)^\top p_k. \]

计算比值：

\[\rho_k = \frac{\text{ared}_k}{\text{pred}_k}. \]

根据 \(\rho_k\) 更新信赖域半径：

  • 若 \(\rho_k < \eta_1\)（例如 \(\eta_1 = 0.1\)），说明线性模型拟合差，拒绝步长 \(p_k\)，缩小信赖域：\(\Delta_{k+1} = \gamma_1 \Delta_k\)（例如 \(\gamma_1 = 0.5\)）。
  • 若 \(\rho_k \geq \eta_1\)，接受步长 \(x_{k+1} = x_k + p_k\)，并调整半径：
    • 若 \(\rho_k < \eta_2\)（例如 \(\eta_2 = 0.75\)），保持半径：\(\Delta_{k+1} = \Delta_k\)。
    • 若 \(\rho_k \geq \eta_2\)，说明模型拟合好，扩大半径：\(\Delta_{k+1} = \gamma_2 \Delta_k\)（例如 \(\gamma_2 = 2\)）。

4. 子问题求解与可行性处理
线性规划子问题可能因线性化导致不可行。此时引入松弛变量或采用恢复步骤，例如求解可行性松弛问题：

\[\min_{p, s} \; \|s\| \quad \text{s.t.} \quad \tilde{c}_{i,k}(p) = s_i, \; i \in \mathcal{E}, \quad \tilde{c}_{i,k}(p) \geq -s_i, \; i \in \mathcal{I}, \; \|p\| \leq \Delta_k, \]

以得到可行方向。另一种方式是暂时忽略约束，求解无约束线性化问题，再通过投影恢复可行性。

5. 收敛性条件
算法在以下条件之一满足时停止：

  • 试探步范数 \(\|p_k\|\) 小于容差 \(\epsilon\)。
  • 最优性条件误差小于容差：例如，当前点的KKT残差（包括梯度条件、互补松弛条件）足够小。
  • 达到最大迭代次数。

6. 算法步骤总结

  1. 初始化：给定初始点 \(x_0\)，初始信赖域半径 \(\Delta_0 > 0\)，参数 \(0 < \eta_1 < \eta_2 < 1\)，\(0 < \gamma_1 < 1 < \gamma_2\)，容差 \(\epsilon > 0\)，设 \(k = 0\)。
  2. 计算当前梯度 \(\nabla f(x_k)\) 和约束函数值、梯度。
  3. 求解线性规划子问题，得到试探步 \(p_k\)。
  4. 计算比值 \(\rho_k = \frac{f(x_k) - f(x_k + p_k)}{-\nabla f(x_k)^\top p_k}\)。
  5. 根据 \(\rho_k\) 按前述规则更新信赖域半径，并决定是否接受步长：若 \(\rho_k \geq \eta_1\)，则 \(x_{k+1} = x_k + p_k\)；否则 \(x_{k+1} = x_k\)。
  6. 检查收敛条件，若满足则停止；否则令 \(k = k+1\)，返回步骤2。

7. 算法特点

  • 适应性：信赖域半径根据模型拟合度自动调整，避免无效迭代。
  • 全局收敛：在适当条件下（如函数有下界、梯度 Lipschitz 连续），算法可收敛到稳定点。
  • 适用性：适用于中等规模的非凸问题，但线性化可能导致收敛速度较慢（线性收敛）。
  • 扩展：可结合二阶信息（如拟牛顿更新）加速，或引入滤子（filter）处理约束冲突。

通过以上步骤，该混合算法在非凸环境下平衡了探索（信赖域扩大）与开发（信赖域缩小），逐步逼近局部最优解。

自适应信赖域-序列线性规划混合算法进阶题 题目描述 ： 考虑一个带非线性等式和不等式约束的优化问题： \[ \begin{aligned} \min_ {x \in \mathbb{R}^n} \quad & f(x) \\ \text{s.t.} \quad & c_ i(x) = 0, \quad i \in \mathcal{E}, \\ & c_ i(x) \geq 0, \quad i \in \mathcal{I}, \end{aligned} \] 其中 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 和 \(c_ i: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 均为二阶连续可微函数，但非凸。目标函数和约束可能高度非线性，且可行域可能非凸。要求设计一种混合算法，将 自适应信赖域（Adaptive Trust Region） 与 序列线性规划（Sequential Linear Programming, SLP） 结合，在每一步迭代中动态调整信赖域半径，并利用线性化模型求解子问题，确保算法在非凸环境下能稳定收敛到局部最优解。 解题过程循序渐进讲解 ： 1. 算法框架概述 本混合算法的核心思想是：在每一步迭代点 \(x_ k\)，构造目标函数和约束的线性近似模型，并在一个自适应调整的信赖域内求解该线性规划子问题，得到试探步 \(p_ k\)。通过比较实际下降量与预测下降量，决定是否接受该步长，并更新信赖域半径。整个过程通过序列线性逼近和信赖域控制，保证全局收敛性。 2. 线性化模型构建 在当前迭代点 \(x_ k\)，对 \(f(x)\) 和 \(c_ i(x)\) 做一阶泰勒展开： \[ \begin{aligned} \tilde{f} k(p) &= f(x_ k) + \nabla f(x_ k)^\top p, \\ \tilde{c} {i,k}(p) &= c_ i(x_ k) + \nabla c_ i(x_ k)^\top p, \quad i \in \mathcal{E} \cup \mathcal{I}, \end{aligned} \] 其中 \(p = x - x_ k\) 为试探步。于是，在信赖域 \(\|p\| \leq \Delta_ k\) 内得到线性规划子问题： \[ \begin{aligned} \min_ {p \in \mathbb{R}^n} \quad & \tilde{f} k(p) \\ \text{s.t.} \quad & \tilde{c} {i,k}(p) = 0, \quad i \in \mathcal{E}, \\ & \tilde{c} {i,k}(p) \geq 0, \quad i \in \mathcal{I}, \\ & \|p\| \leq \Delta_ k, \end{aligned} \] 这里 \(\Delta_ k > 0\) 是当前信赖域半径，范数通常取 \(\ell_ 2\) 或 \(\ell \infty\)。 3. 自适应信赖域机制 信赖域半径 \(\Delta_ k\) 根据每步的近似精度动态调整。定义实际下降量： \[ \text{ared}_ k = f(x_ k) - f(x_ k + p_ k), \] 和预测下降量： \[ \text{pred}_ k = \tilde{f}_ k(0) - \tilde{f}_ k(p_ k) = -\nabla f(x_ k)^\top p_ k. \] 计算比值： \[ \rho_ k = \frac{\text{ared}_ k}{\text{pred}_ k}. \] 根据 \(\rho_ k\) 更新信赖域半径： 若 \(\rho_ k < \eta_ 1\)（例如 \(\eta_ 1 = 0.1\)），说明线性模型拟合差，拒绝步长 \(p_ k\)，缩小信赖域：\(\Delta_ {k+1} = \gamma_ 1 \Delta_ k\)（例如 \(\gamma_ 1 = 0.5\)）。 若 \(\rho_ k \geq \eta_ 1\)，接受步长 \(x_ {k+1} = x_ k + p_ k\)，并调整半径： 若 \(\rho_ k < \eta_ 2\)（例如 \(\eta_ 2 = 0.75\)），保持半径：\(\Delta_ {k+1} = \Delta_ k\)。 若 \(\rho_ k \geq \eta_ 2\)，说明模型拟合好，扩大半径：\(\Delta_ {k+1} = \gamma_ 2 \Delta_ k\)（例如 \(\gamma_ 2 = 2\)）。 4. 子问题求解与可行性处理 线性规划子问题可能因线性化导致不可行。此时引入松弛变量或采用恢复步骤，例如求解可行性松弛问题： \[ \min_ {p, s} \; \|s\| \quad \text{s.t.} \quad \tilde{c} {i,k}(p) = s_ i, \; i \in \mathcal{E}, \quad \tilde{c} {i,k}(p) \geq -s_ i, \; i \in \mathcal{I}, \; \|p\| \leq \Delta_ k, \] 以得到可行方向。另一种方式是暂时忽略约束，求解无约束线性化问题，再通过投影恢复可行性。 5. 收敛性条件 算法在以下条件之一满足时停止： 试探步范数 \(\|p_ k\|\) 小于容差 \(\epsilon\)。 最优性条件误差小于容差：例如，当前点的KKT残差（包括梯度条件、互补松弛条件）足够小。 达到最大迭代次数。 6. 算法步骤总结 初始化：给定初始点 \(x_ 0\)，初始信赖域半径 \(\Delta_ 0 > 0\)，参数 \(0 < \eta_ 1 < \eta_ 2 < 1\)，\(0 < \gamma_ 1 < 1 < \gamma_ 2\)，容差 \(\epsilon > 0\)，设 \(k = 0\)。 计算当前梯度 \(\nabla f(x_ k)\) 和约束函数值、梯度。 求解线性规划子问题，得到试探步 \(p_ k\)。 计算比值 \(\rho_ k = \frac{f(x_ k) - f(x_ k + p_ k)}{-\nabla f(x_ k)^\top p_ k}\)。 根据 \(\rho_ k\) 按前述规则更新信赖域半径，并决定是否接受步长：若 \(\rho_ k \geq \eta_ 1\)，则 \(x_ {k+1} = x_ k + p_ k\)；否则 \(x_ {k+1} = x_ k\)。 检查收敛条件，若满足则停止；否则令 \(k = k+1\)，返回步骤2。 7. 算法特点 适应性 ：信赖域半径根据模型拟合度自动调整，避免无效迭代。 全局收敛 ：在适当条件下（如函数有下界、梯度 Lipschitz 连续），算法可收敛到稳定点。 适用性 ：适用于中等规模的非凸问题，但线性化可能导致收敛速度较慢（线性收敛）。 扩展 ：可结合二阶信息（如拟牛顿更新）加速，或引入滤子（filter）处理约束冲突。 通过以上步骤，该混合算法在非凸环境下平衡了探索（信赖域扩大）与开发（信赖域缩小），逐步逼近局部最优解。