非线性规划中的分支定界-内点法混合算法基础题
字数 3479 2025-12-08 09:24:57

非线性规划中的分支定界-内点法混合算法基础题

题目描述
考虑一个非线性整数规划问题，它是非线性规划（NLP）与整数规划（IP）的结合，称为混合整数非线性规划（MINLP）。这类问题通常包含非线性目标函数、非线性约束以及部分或全部决策变量要求取整数值（例如整数或0-1变量）。这类问题因其非凸性和组合爆炸特性，求解难度极大。分支定界法是一种经典的组合优化框架，用于处理离散变量，而内点法是求解连续非线性规划的有效方法。本题目要求你理解如何将这两种方法结合，设计一个基础的混合算法，用于求解中等规模的凸MINLP问题。

具体问题如下：
最小化非线性目标函数 \(f(x, y) = (x_1 - 2)^2 + (x_2 - 3)^2 + y_1^2\)，
满足约束：

  1. 非线性约束：\(x_1^2 + x_2^2 - 4 \leq 0\)；
  2. 线性约束：\(y_1 + y_2 \leq 3\)；
  3. 整数约束：\(y_1, y_2\) 为二进制变量（0或1）；
  4. 连续变量范围：\(x_1, x_2 \in [0, 5]\)。

要求：使用分支定界-内点法混合算法，在分支定界树的每个节点上，固定整数变量后，剩下的连续变量子问题（一个连续非线性规划）用内点法求解，以此获得该节点的界限，从而系统地搜索整数解空间，最终找到满足所有约束的全局最优解。

解题过程循序渐进讲解

第一步：理解问题与算法框架

  1. 问题分析：
    • 决策变量分为两组：连续变量 \(x = (x_1, x_2)\) 和整数变量 \(y = (y_1, y_2)\)，其中 \(y\) 是二进制变量。
    • 目标函数 \(f(x, y)\) 关于 \(x\) 是凸二次函数，关于 \(y\) 是线性项（因为 \(y_1^2 = y_1\) 当 \(y_1 \in \{0,1\}\)）。非线性约束是凸的圆盘区域。因此，若固定 \(y\)，剩下的是一个凸连续非线性规划（NLP），理论上内点法能高效求解。
  2. 算法框架：分支定界-内点法混合算法。
    • 分支定界：是一种树形搜索方法。根节点对应原问题（整数约束松弛为连续，即允许 \(y \in [0,1]\)）。每个节点代表一个子问题，其中部分整数变量的取值被固定（分支），其余整数变量被松弛。算法通过求解每个节点的连续松弛问题（用内点法）得到该节点的目标函数下界（对于最小化问题）。通过比较界限、剪枝、分支，逐步逼近最优整数解。
    • 内点法：用于求解每个节点的连续非线性规划子问题。内点法通过在可行域内部引入障碍函数，将约束问题转化为一系列无约束或等式约束问题，用牛顿法迭代求解，适合处理凸连续问题。

第二步：初始化与根节点处理

  1. 建立根节点：
    • 对应子问题：将整数约束 \(y_1, y_2 \in \{0,1\}\) 松弛为 \(0 \leq y_1, y_2 \leq 1\)，其他约束不变。这是一个连续非线性规划：

\[ \begin{aligned} \min \quad & (x_1 - 2)^2 + (x_2 - 3)^2 + y_1^2 \\ \text{s.t.} \quad & x_1^2 + x_2^2 - 4 \leq 0, \\ & y_1 + y_2 \leq 3, \\ & 0 \leq x_1, x_2 \leq 5, \\ & 0 \leq y_1, y_2 \leq 1. \end{aligned} \]

  1. 用内点法求解此连续松弛问题：
    • 内点法（障碍函数法）步骤简述：
      a. 将不等式约束 \(g(x) \leq 0\) 通过对数障碍函数转化为目标函数的加性项：\(B(x, y; \mu) = f(x, y) - \mu \sum_i \ln(-g_i(x, y))\)，其中 \(\mu > 0\) 是障碍参数，\(g_i\) 包括非线性约束和变量边界。
      b. 从初始可行内点开始，固定 \(\mu\)，用牛顿法求解无约束问题 \(\min B(x, y; \mu)\) 得到近似解。
      c. 逐步减小 \(\mu\)（例如 \(\mu_{k+1} = 0.1 \mu_k\)），重复牛顿法，直到满足收敛条件（如KKT残差足够小）。
    • 对于本例，假设内点法求得根节点最优解为 \((x_1^*, x_2^*, y_1^*, y_2^*) = (1.2, 1.6, 0.3, 0.7)\)，目标函数值 \(L_0 = 5.8\)。
    • 解释：由于整数约束被松弛，解中 \(y\) 非整数，但 \(L_0\) 是原MINLP问题的一个下界（因为松弛后可行域更大，目标值不会比原问题更差）。
  2. 记录全局上界 \(U = +\infty\)（目前无可行整数解），激活节点列表，将根节点加入。

第三步：分支定界迭代

  1. 选择节点：
    • 从激活节点列表中选择下界最小的节点（本例只有根节点，下界 \(L_0 = 5.8\)）。
  2. 检查整数可行性：
    • 当前节点解中 \(y_1^* = 0.3, y_2^* = 0.7\) 不满足整数约束，需要分支。
  3. 分支操作：
    • 选择分支变量：通常选分数部分最远离整数的变量，这里 \(y_1\) 的分数部分为0.3，\(y_2\) 为0.7，因此选 \(y_2\)（分数0.7更远）。
    • 创建两个子节点：
      • 子节点A：添加约束 \(y_2 = 0\)。
      • 子节点B：添加约束 \(y_2 = 1\)。
    • 将根节点标记为已探索，子节点A、B加入激活列表。
  4. 处理子节点A（\(y_2 = 0\)）：
    • 子问题：在根节点问题基础上固定 \(y_2 = 0\)，但 \(y_1\) 仍松弛为 \(0 \leq y_1 \leq 1\)。
    • 用内点法求解（此时问题只有连续变量 \(x_1, x_2, y_1\)）。假设求得最优解 \((1.3, 1.5, 0.4, 0)\)，目标值 \(L_A = 6.2\)。
    • 由于 \(y_1 = 0.4\) 仍非整数，该节点需继续分支（但暂时保留，等比较界限后决定）。
  5. 处理子节点B（\(y_2 = 1\)）：
    • 固定 \(y_2 = 1\)，用内点法求解。假设得到解 \((1.1, 1.7, 0.0, 1)\)，注意 \(y_1 = 0.0\) 恰好是整数，因此这是一个可行整数解！
    • 计算目标值：\(f = (1.1-2)^2 + (1.7-3)^2 + 0^2 = 0.81 + 1.69 = 2.5\)。所以 \(L_B = 2.5\)。
    • 更新全局上界 \(U = \min(U, 2.5) = 2.5\)。
  6. 剪枝：
    • 比较各节点下界与全局上界 \(U = 2.5\)：
      • 子节点A下界 \(L_A = 6.2 > U\)，说明该节点不可能产生比当前最好整数解更优的解，因此剪枝（从激活列表移除）。
      • 子节点B已得整数解，且目标值等于其下界，因此该节点也被剪枝（已探索完毕）。
    • 激活列表现为空。

第四步：终止与输出

  1. 由于激活列表为空，算法终止。
  2. 当前全局上界对应的解即为最优整数解：\((x_1, x_2, y_1, y_2) = (1.1, 1.7, 0, 1)\)，最优目标值 \(f^* = 2.5\)。

第五步：算法细节与注意事项

  1. 内点法求解子问题的关键点：
    • 每个子问题是凸连续NLP，内点法可保证收敛到全局最优（凸性假设下）。
    • 实践中，内点法需要选择初始可行点、障碍参数递减策略、牛顿法迭代精度等。
  2. 分支策略：
    • 除了分数部分远近，也可基于伪成本（pseudo-cost）或影响力选择分支变量。
    • 节点选择也可用最佳优先（选下界最小）或深度优先。
  3. 数值稳定性：
    • 内点法涉及Hessian矩阵计算和线性系统求解，当问题非凸或尺度不良时需正则化。
  4. 扩展：
    • 对于非凸MINLP，内点法可能只找到局部解，从而下界不严格，需结合全局优化技术（如空间分支）。

通过以上步骤，你应能理解分支定界-内点法混合算法的基本流程：在分支定界框架中，每个节点用内点法高效求解连续松弛，从而获得高质量的下界，通过系统剪枝减少搜索空间，最终找到全局最优整数解。

非线性规划中的分支定界-内点法混合算法基础题 题目描述 考虑一个非线性整数规划问题，它是非线性规划（NLP）与整数规划（IP）的结合，称为混合整数非线性规划（MINLP）。这类问题通常包含非线性目标函数、非线性约束以及部分或全部决策变量要求取整数值（例如整数或0-1变量）。这类问题因其非凸性和组合爆炸特性，求解难度极大。分支定界法是一种经典的组合优化框架，用于处理离散变量，而内点法是求解连续非线性规划的有效方法。本题目要求你理解如何将这两种方法结合，设计一个基础的混合算法，用于求解中等规模的凸MINLP问题。 具体问题如下： 最小化非线性目标函数 \( f(x, y) = (x_ 1 - 2)^2 + (x_ 2 - 3)^2 + y_ 1^2 \)， 满足约束： 非线性约束：\( x_ 1^2 + x_ 2^2 - 4 \leq 0 \)； 线性约束：\( y_ 1 + y_ 2 \leq 3 \)； 整数约束：\( y_ 1, y_ 2 \) 为二进制变量（0或1）； 连续变量范围：\( x_ 1, x_ 2 \in [ 0, 5 ] \)。 要求：使用分支定界-内点法混合算法，在分支定界树的每个节点上，固定整数变量后，剩下的连续变量子问题（一个连续非线性规划）用内点法求解，以此获得该节点的界限，从而系统地搜索整数解空间，最终找到满足所有约束的全局最优解。 解题过程循序渐进讲解 第一步：理解问题与算法框架 问题分析： 决策变量分为两组：连续变量 \( x = (x_ 1, x_ 2) \) 和整数变量 \( y = (y_ 1, y_ 2) \)，其中 \( y \) 是二进制变量。 目标函数 \( f(x, y) \) 关于 \( x \) 是凸二次函数，关于 \( y \) 是线性项（因为 \( y_ 1^2 = y_ 1 \) 当 \( y_ 1 \in \{0,1\} \)）。非线性约束是凸的圆盘区域。因此，若固定 \( y \)，剩下的是一个凸连续非线性规划（NLP），理论上内点法能高效求解。 算法框架：分支定界-内点法混合算法。 分支定界：是一种树形搜索方法。根节点对应原问题（整数约束松弛为连续，即允许 \( y \in [ 0,1 ] \)）。每个节点代表一个子问题，其中部分整数变量的取值被固定（分支），其余整数变量被松弛。算法通过求解每个节点的连续松弛问题（用内点法）得到该节点的目标函数下界（对于最小化问题）。通过比较界限、剪枝、分支，逐步逼近最优整数解。 内点法：用于求解每个节点的连续非线性规划子问题。内点法通过在可行域内部引入障碍函数，将约束问题转化为一系列无约束或等式约束问题，用牛顿法迭代求解，适合处理凸连续问题。 第二步：初始化与根节点处理 建立根节点： 对应子问题：将整数约束 \( y_ 1, y_ 2 \in \{0,1\} \) 松弛为 \( 0 \leq y_ 1, y_ 2 \leq 1 \)，其他约束不变。这是一个连续非线性规划： \[ \begin{aligned} \min \quad & (x_ 1 - 2)^2 + (x_ 2 - 3)^2 + y_ 1^2 \\ \text{s.t.} \quad & x_ 1^2 + x_ 2^2 - 4 \leq 0, \\ & y_ 1 + y_ 2 \leq 3, \\ & 0 \leq x_ 1, x_ 2 \leq 5, \\ & 0 \leq y_ 1, y_ 2 \leq 1. \end{aligned} \] 用内点法求解此连续松弛问题： 内点法（障碍函数法）步骤简述： a. 将不等式约束 \( g(x) \leq 0 \) 通过对数障碍函数转化为目标函数的加性项：\( B(x, y; \mu) = f(x, y) - \mu \sum_ i \ln(-g_ i(x, y)) \)，其中 \( \mu > 0 \) 是障碍参数，\( g_ i \) 包括非线性约束和变量边界。 b. 从初始可行内点开始，固定 \( \mu \)，用牛顿法求解无约束问题 \( \min B(x, y; \mu) \) 得到近似解。 c. 逐步减小 \( \mu \)（例如 \( \mu_ {k+1} = 0.1 \mu_ k \)），重复牛顿法，直到满足收敛条件（如KKT残差足够小）。 对于本例，假设内点法求得根节点最优解为 \( (x_ 1^ , x_ 2^ , y_ 1^ , y_ 2^ ) = (1.2, 1.6, 0.3, 0.7) \)，目标函数值 \( L_ 0 = 5.8 \)。 解释：由于整数约束被松弛，解中 \( y \) 非整数，但 \( L_ 0 \) 是原MINLP问题的一个下界（因为松弛后可行域更大，目标值不会比原问题更差）。 记录全局上界 \( U = +\infty \)（目前无可行整数解），激活节点列表，将根节点加入。 第三步：分支定界迭代 选择节点： 从激活节点列表中选择下界最小的节点（本例只有根节点，下界 \( L_ 0 = 5.8 \)）。 检查整数可行性： 当前节点解中 \( y_ 1^* = 0.3, y_ 2^* = 0.7 \) 不满足整数约束，需要分支。 分支操作： 选择分支变量：通常选分数部分最远离整数的变量，这里 \( y_ 1 \) 的分数部分为0.3，\( y_ 2 \) 为0.7，因此选 \( y_ 2 \)（分数0.7更远）。 创建两个子节点： 子节点A：添加约束 \( y_ 2 = 0 \)。 子节点B：添加约束 \( y_ 2 = 1 \)。 将根节点标记为已探索，子节点A、B加入激活列表。 处理子节点A（\( y_ 2 = 0 \)）： 子问题：在根节点问题基础上固定 \( y_ 2 = 0 \)，但 \( y_ 1 \) 仍松弛为 \( 0 \leq y_ 1 \leq 1 \)。 用内点法求解（此时问题只有连续变量 \( x_ 1, x_ 2, y_ 1 \)）。假设求得最优解 \( (1.3, 1.5, 0.4, 0) \)，目标值 \( L_ A = 6.2 \)。 由于 \( y_ 1 = 0.4 \) 仍非整数，该节点需继续分支（但暂时保留，等比较界限后决定）。 处理子节点B（\( y_ 2 = 1 \)）： 固定 \( y_ 2 = 1 \)，用内点法求解。假设得到解 \( (1.1, 1.7, 0.0, 1) \)，注意 \( y_ 1 = 0.0 \) 恰好是整数，因此这是一个可行整数解！ 计算目标值：\( f = (1.1-2)^2 + (1.7-3)^2 + 0^2 = 0.81 + 1.69 = 2.5 \)。所以 \( L_ B = 2.5 \)。 更新全局上界 \( U = \min(U, 2.5) = 2.5 \)。 剪枝： 比较各节点下界与全局上界 \( U = 2.5 \)： 子节点A下界 \( L_ A = 6.2 > U \)，说明该节点不可能产生比当前最好整数解更优的解，因此剪枝（从激活列表移除）。 子节点B已得整数解，且目标值等于其下界，因此该节点也被剪枝（已探索完毕）。 激活列表现为空。 第四步：终止与输出 由于激活列表为空，算法终止。 当前全局上界对应的解即为最优整数解：\( (x_ 1, x_ 2, y_ 1, y_ 2) = (1.1, 1.7, 0, 1) \)，最优目标值 \( f^* = 2.5 \)。 第五步：算法细节与注意事项 内点法求解子问题的关键点： 每个子问题是凸连续NLP，内点法可保证收敛到全局最优（凸性假设下）。 实践中，内点法需要选择初始可行点、障碍参数递减策略、牛顿法迭代精度等。 分支策略： 除了分数部分远近，也可基于伪成本（pseudo-cost）或影响力选择分支变量。 节点选择也可用最佳优先（选下界最小）或深度优先。 数值稳定性： 内点法涉及Hessian矩阵计算和线性系统求解，当问题非凸或尺度不良时需正则化。 扩展： 对于非凸MINLP，内点法可能只找到局部解，从而下界不严格，需结合全局优化技术（如空间分支）。 通过以上步骤，你应能理解分支定界-内点法混合算法的基本流程：在分支定界框架中，每个节点用内点法高效求解连续松弛，从而获得高质量的下界，通过系统剪枝减少搜索空间，最终找到全局最优整数解。