基于随机抽样的序列凸逼近信赖域反射混合算法基础题
字数 5185 2025-12-08 06:54:59

基于随机抽样的序列凸逼近信赖域反射混合算法基础题

题目描述

考虑一个带不等式约束的非线性规划问题：

\[\begin{aligned} \min_{x \in \mathbb{R}^n} \quad & f(x) \\ \text{s.t.} \quad & g_i(x) \leq 0, \quad i = 1, \dots, m \end{aligned} \]

其中，目标函数 \(f(x)\) 是二阶连续可微的非凸函数，约束函数 \(g_i(x)\) 是二阶连续可微的凸函数。该问题的主要难点在于，目标函数 \(f(x)\) 在可行域内具有多个局部极小点，且其Hessian矩阵在迭代过程中可能不定，导致传统基于梯度的优化方法（如牛顿法）容易陷入局部最优或失效。此外，约束条件为凸不等式，但问题的规模（n和m）可能较大，使得每次迭代的凸子问题求解计算成本较高。

为高效求解此问题，我们提出一个结合随机抽样、序列凸逼近（SCA） 和信赖域反射（Trust Region Reflection） 的混合算法。算法的核心思想是：在每次迭代中，利用随机抽样技术对目标函数在当前迭代点附近进行局部探索，以增强逃离局部最优的能力；基于抽样信息构造目标函数的一个凸逼近模型；在信赖域框架下求解该凸逼近模型，并利用反射技术处理可能违反信赖域边界的情况，确保迭代的稳定性和收敛性。

解题过程循序渐进讲解

步骤1：问题分析与算法框架概览

  1. 问题特性：

    • 目标函数非凸，可能存在多个局部最优解。
    • 约束为凸不等式，可行域是一个凸集。
    • 直接应用牛顿法等需要计算Hessian矩阵的方法可能因矩阵不定而失败。
    • 希望设计一个能一定程度上探索解空间、避免早熟收敛的算法。

  2. 算法框架：
    我们的混合算法将在一个主迭代循环中进行。每次迭代（设为第k次）包含以下关键步骤：
    a. 随机局部抽样：在当前迭代点 \(x_k\) 周围的一个邻域内，随机生成若干样本点。
    b. 构建凸逼近模型：利用当前点 \(x_k\) 的梯度信息，以及抽样点提供的额外函数值信息，构造目标函数 \(f(x)\) 的一个凸逼近函数 \(\tilde{f}_k(x)\)。
    c. 构建信赖域子问题：在信赖域 \(\|x - x_k\| \leq \Delta_k\) 内，求解以凸逼近模型 \(\tilde{f}_k(x)\) 为目标、原约束 \(g_i(x) \leq 0\) 为约束的子问题。由于 \(\tilde{f}_k(x)\) 是凸的且约束是凸的，这是一个凸优化问题，理论上可高效求解。
    d. 反射步处理：在求解子问题时，如果试探步长（子问题解与当前点的差）达到或超过信赖域半径，可能会触发反射机制，以在可行域内寻找一个改进的移动方向。
    e. 接受判决与信赖域更新：计算实际目标函数下降量与模型预测下降量的比值，根据比值决定是否接受该步（更新 \(x_{k+1}\) ），并据此更新信赖域半径 \(\Delta_{k+1}\)。
    f. 迭代与收敛判断：重复以上步骤，直到满足收敛条件（如梯度范数足够小，或迭代步长足够小）。

步骤2：随机局部抽样

  1. 目的：在 \(x_k\) 附近进行有限次的函数值采样，以获取局部地形信息，辅助构建更稳健的凸逼近模型，特别是当 \(f(x)\) 在 \(x_k\) 处的二阶信息（Hessian）不“好用”时。
  2. 操作：从以 \(x_k\) 为中心、半径为 \(\delta_k\) （通常 \(\delta_k\) 与信赖域半径 \(\Delta_k\) 相关，例如 \(\delta_k = \eta \Delta_k, 0<\eta<1\) ）的超球内，均匀随机抽取 \(N\) 个点 \(\{x_k^{(1)}, x_k^{(2)}, ..., x_k^{(N)}\}\)。
  3. 信息获取：计算这些样本点的函数值 \(f(x_k^{(j)})\) 和梯度 \(\nabla f(x_k^{(j)})\) （如果可求且计算成本可接受）。这些信息将用于下一步构建凸逼近模型。

步骤3：构建凸逼近模型

  1. 基本思想：我们希望构造一个函数 \(\tilde{f}_k(x)\)，它在 \(x_k\) 处与 \(f(x)\) 具有相同的一阶特性（即函数值和梯度相等），并且本身是凸的，以便子问题是凸的。
  2. 一种构造方法（利用抽样点梯度信息）：
    如果抽样点梯度可用，我们可以构造一个分段线性凸下逼近。令：

\[ \tilde{f}_k(x) = \max_{j \in \{0, 1, ..., N\}} \left[ f(x_k^{(j)}) + \nabla f(x_k^{(j)})^T (x - x_k^{(j)}) \right] \]

其中，$ x_k^{(0)} = x_k $。这个函数是多个线性函数的最大值，因此是凸的（分段线性凸函数）。它在每个抽样点 $ x_k^{(j)} $ 处与 $ f(x) $ 相切，且由于凸性，有 $ \tilde{f}_k(x) \leq f(x) $ 对所有 $ x $ 成立（如果 $ f $ 是凸的，则为等式；但这里 $ f $ 非凸，所以是下界估计）。
  1. 另一种构造方法（仅利用抽样点函数值）：
    如果只计算了函数值，可以构造一个二次凸模型，其Hessian矩阵通过抽样点的函数值进行拟牛顿更新（如BFGS）来估计，并强制其正定性（例如，对特征值进行截断，将负特征值替换为一个小的正数）。

\[ \tilde{f}_k(x) = f(x_k) + \nabla f(x_k)^T (x - x_k) + \frac{1}{2} (x - x_k)^T B_k (x - x_k) \]

其中，$ B_k $ 是一个对称正定矩阵，利用抽样点的梯度和位移信息通过BFGS等公式更新得到，并保证其正定性。
  1. 模型特性：无论哪种方式，最终得到的 \(\tilde{f}_k(x)\) 是一个凸函数，且满足 \(\tilde{f}_k(x_k) = f(x_k)\)， \(\nabla \tilde{f}_k(x_k) = \nabla f(x_k)\) （对于二次模型，这是自然满足的；对于分段线性模型，当 \(j=0\) 时，在 \(x_k\) 处也满足）。

步骤4：构造并求解信赖域凸子问题

  1. 子问题形式：

\[ \begin{aligned} \min_{s \in \mathbb{R}^n} \quad & \tilde{f}_k(x_k + s) \\ \text{s.t.} \quad & g_i(x_k + s) \leq 0, \quad i = 1, \dots, m \\ & \|s\| \leq \Delta_k \end{aligned} \]

其中，$ s = x - x_k $ 是试探步， $ \Delta_k > 0 $ 是当前信赖域半径。这是一个凸优化问题（目标凸、约束凸、信赖域是凸集），可以用内点法、投影梯度法等凸优化算法高效求解。记其解为 $ s_k^* $，对应的候选点为 $ x_k^+ = x_k + s_k^* $。
  1. 反射步机制：在求解上述子问题时，如果由于信赖域边界 \(\|s\| = \Delta_k\) 的active约束，导致求解器找到的解正好在信赖域边界上（即 \(\|s_k^*\| = \Delta_k\)），且这个解对应的目标值改进不够理想，我们可以引入反射步。基本思想是，以 \(x_k\) 为中心，将试探步 \(s_k^*\) 进行反射，尝试一个更长的步长。具体来说，计算反射步 \(s_k^r = \beta s_k^*\)，其中 \(\beta > 1\)（例如 \(\beta = 1.5\) 或 2）。然后，将 \(x_k + s_k^r\) 投影回可行域和信赖域的交集（或进行裁剪），得到一个新的候选点 \(x_k^{r}\)。接着，我们同时评估 \(x_k^+\) 和 \(x_k^{r}\) 在实际目标函数 \(f\) 上的表现，选择更好的一个作为本次迭代的“最终”候选点 \(x_k^{cand}\)。这一机制有助于在可行域内进行更积极的探索，可能跳出局部洼地。

步骤5：接受判决与信赖域更新

  1. 计算实际下降与预测下降：
    • 实际下降： \(\text{ared}_k = f(x_k) - f(x_k^{cand})\)
    • 预测下降： \(\text{pred}_k = \tilde{f}_k(x_k) - \tilde{f}_k(x_k^{cand})\) （注意 \(\tilde{f}_k(x_k) = f(x_k)\)）
  2. 计算比值： \(\rho_k = \frac{\text{ared}_k}{\text{pred}_k}\)。这个比值衡量了模型预测的准确程度。
  3. 接受判决：
    • 如果 \(\rho_k > \eta_1\) （例如 \(\eta_1 = 10^{-4}\)），说明模型预测是可信的，实际下降足够好。令 \(x_{k+1} = x_k^{cand}\)。
    • 否则，拒绝这一步，保持 \(x_{k+1} = x_k\)。
  4. 信赖域半径更新（遵循标准信赖域策略）：
    • 如果 \(\rho_k > \eta_2\) （例如 \(\eta_2 = 0.75\)），说明模型非常准确，可以尝试扩大搜索区域： \(\Delta_{k+1} = \gamma_1 \Delta_k, \gamma_1 > 1\)。
    • 如果 \(\eta_1 \leq \rho_k \leq \eta_2\)，说明模型质量尚可，保持半径： \(\Delta_{k+1} = \Delta_k\)。
    • 如果 \(\rho_k < \eta_1\)，说明模型预测很差，需要缩小信赖域以改进模型局部近似精度： \(\Delta_{k+1} = \gamma_2 \Delta_k, 0 < \gamma_2 < 1\)。
  5. 抽样半径更新：通常将抽样半径与信赖域半径关联，例如 \(\delta_{k+1} = \eta \Delta_{k+1}\)。

步骤6：迭代与收敛

重复步骤2至步骤5，直到满足预设的收敛准则。常见的收敛准则包括：

  • 梯度条件： \(\|\nabla f(x_k) + \sum_{i=1}^m \lambda_i \nabla g_i(x_k)\| \leq \epsilon_g\)，其中 \(\lambda_i\) 是约束 \(g_i(x) \leq 0\) 对应的拉格朗日乘子估计（可以从最近一次子问题求解中获得）， \(\epsilon_g\) 是小正数。
  • 步长条件： \(\|x_{k+1} - x_k\| \leq \epsilon_x\)。
  • 函数值变化： \(|f(x_{k+1}) - f(x_k)| \leq \epsilon_f\)。
  • 最大迭代次数：达到预设的最大迭代次数 \(K_{max}\)。

算法优势与小结

  • 随机抽样：提供了局部探索能力，有助于避免陷入非凸函数的糟糕局部极值点，增强算法的全局探索特性。
  • 序列凸逼近：将复杂的非凸问题转化为一系列相对容易求解的凸子问题，保证了子问题求解的效率和可靠性。
  • 信赖域框架：通过自适应调整信赖域半径，控制步长大小，保证了算法的全局收敛性（在适当条件下可证明收敛到稳定点）。
  • 反射步：在信赖域边界活跃时提供了一种机制，尝试越过边界进行探索，可能带来额外的改进。

这个混合算法结合了随机探索、凸优化和信赖域控制的优点，适用于求解中等规模、目标函数非凸但约束为凸的非线性规划问题。其性能依赖于抽样点数 \(N\)、凸逼近模型的构建质量、以及信赖域和反射参数的选择。在实际应用中，这些参数需要根据具体问题进行调整。

基于随机抽样的序列凸逼近信赖域反射混合算法基础题 题目描述 考虑一个带不等式约束的非线性规划问题： \[ \begin{aligned} \min_ {x \in \mathbb{R}^n} \quad & f(x) \\ \text{s.t.} \quad & g_ i(x) \leq 0, \quad i = 1, \dots, m \end{aligned} \] 其中，目标函数 \( f(x) \) 是二阶连续可微的非凸函数，约束函数 \( g_ i(x) \) 是二阶连续可微的凸函数。该问题的主要难点在于，目标函数 \( f(x) \) 在可行域内具有多个局部极小点，且其Hessian矩阵在迭代过程中可能不定，导致传统基于梯度的优化方法（如牛顿法）容易陷入局部最优或失效。此外，约束条件为凸不等式，但问题的规模（n和m）可能较大，使得每次迭代的凸子问题求解计算成本较高。 为高效求解此问题，我们提出一个结合 随机抽样 、 序列凸逼近（SCA） 和 信赖域反射（Trust Region Reflection） 的混合算法。算法的核心思想是：在每次迭代中，利用随机抽样技术对目标函数在当前迭代点附近进行局部探索，以增强逃离局部最优的能力；基于抽样信息构造目标函数的一个凸逼近模型；在信赖域框架下求解该凸逼近模型，并利用反射技术处理可能违反信赖域边界的情况，确保迭代的稳定性和收敛性。 解题过程循序渐进讲解 步骤1：问题分析与算法框架概览 问题特性 ： 目标函数非凸，可能存在多个局部最优解。 约束为凸不等式，可行域是一个凸集。 直接应用牛顿法等需要计算Hessian矩阵的方法可能因矩阵不定而失败。 希望设计一个能一定程度上探索解空间、避免早熟收敛的算法。 算法框架 ： 我们的混合算法将在一个 主迭代循环 中进行。每次迭代（设为第k次）包含以下关键步骤： a. 随机局部抽样 ：在当前迭代点 \( x_ k \) 周围的一个邻域内，随机生成若干样本点。 b. 构建凸逼近模型 ：利用当前点 \( x_ k \) 的梯度信息，以及抽样点提供的额外函数值信息，构造目标函数 \( f(x) \) 的一个凸逼近函数 \( \tilde{f}_ k(x) \)。 c. 构建信赖域子问题 ：在信赖域 \( \|x - x_ k\| \leq \Delta_ k \) 内，求解以凸逼近模型 \( \tilde{f} k(x) \) 为目标、原约束 \( g_ i(x) \leq 0 \) 为约束的子问题。由于 \( \tilde{f} k(x) \) 是凸的且约束是凸的，这是一个凸优化问题，理论上可高效求解。 d. 反射步处理 ：在求解子问题时，如果试探步长（子问题解与当前点的差）达到或超过信赖域半径，可能会触发反射机制，以在可行域内寻找一个改进的移动方向。 e. 接受判决与信赖域更新 ：计算实际目标函数下降量与模型预测下降量的比值，根据比值决定是否接受该步（更新 \( x {k+1} \) ），并据此更新信赖域半径 \( \Delta {k+1} \)。 f. 迭代与收敛判断 ：重复以上步骤，直到满足收敛条件（如梯度范数足够小，或迭代步长足够小）。 步骤2：随机局部抽样 目的 ：在 \( x_ k \) 附近进行有限次的函数值采样，以获取局部地形信息，辅助构建更稳健的凸逼近模型，特别是当 \( f(x) \) 在 \( x_ k \) 处的二阶信息（Hessian）不“好用”时。 操作 ：从以 \( x_ k \) 为中心、半径为 \( \delta_ k \) （通常 \( \delta_ k \) 与信赖域半径 \( \Delta_ k \) 相关，例如 \( \delta_ k = \eta \Delta_ k, 0<\eta<1 \) ）的超球内，均匀随机抽取 \( N \) 个点 \( \{x_ k^{(1)}, x_ k^{(2)}, ..., x_ k^{(N)}\} \)。 信息获取 ：计算这些样本点的函数值 \( f(x_ k^{(j)}) \) 和梯度 \( \nabla f(x_ k^{(j)}) \) （如果可求且计算成本可接受）。这些信息将用于下一步构建凸逼近模型。 步骤3：构建凸逼近模型 基本思想 ：我们希望构造一个函数 \( \tilde{f}_ k(x) \)，它在 \( x_ k \) 处与 \( f(x) \) 具有相同的一阶特性（即函数值和梯度相等），并且本身是凸的，以便子问题是凸的。 一种构造方法（利用抽样点梯度信息） ： 如果抽样点梯度可用，我们可以构造一个 分段线性凸下逼近 。令： \[ \tilde{f} k(x) = \max {j \in \{0, 1, ..., N\}} \left[ f(x_ k^{(j)}) + \nabla f(x_ k^{(j)})^T (x - x_ k^{(j)}) \right ] \] 其中，\( x_ k^{(0)} = x_ k \)。这个函数是多个线性函数的最大值，因此是凸的（分段线性凸函数）。它在每个抽样点 \( x_ k^{(j)} \) 处与 \( f(x) \) 相切，且由于凸性，有 \( \tilde{f}_ k(x) \leq f(x) \) 对所有 \( x \) 成立（如果 \( f \) 是凸的，则为等式；但这里 \( f \) 非凸，所以是下界估计）。 另一种构造方法（仅利用抽样点函数值） ： 如果只计算了函数值，可以构造一个 二次凸模型 ，其Hessian矩阵通过抽样点的函数值进行拟牛顿更新（如BFGS）来估计，并强制其正定性（例如，对特征值进行截断，将负特征值替换为一个小的正数）。 \[ \tilde{f}_ k(x) = f(x_ k) + \nabla f(x_ k)^T (x - x_ k) + \frac{1}{2} (x - x_ k)^T B_ k (x - x_ k) \] 其中，\( B_ k \) 是一个对称正定矩阵，利用抽样点的梯度和位移信息通过BFGS等公式更新得到，并保证其正定性。 模型特性 ：无论哪种方式，最终得到的 \( \tilde{f}_ k(x) \) 是一个凸函数，且满足 \( \tilde{f}_ k(x_ k) = f(x_ k) \)， \( \nabla \tilde{f}_ k(x_ k) = \nabla f(x_ k) \) （对于二次模型，这是自然满足的；对于分段线性模型，当 \( j=0 \) 时，在 \( x_ k \) 处也满足）。 步骤4：构造并求解信赖域凸子问题 子问题形式 ： \[ \begin{aligned} \min_ {s \in \mathbb{R}^n} \quad & \tilde{f}_ k(x_ k + s) \\ \text{s.t.} \quad & g_ i(x_ k + s) \leq 0, \quad i = 1, \dots, m \\ & \|s\| \leq \Delta_ k \end{aligned} \] 其中，\( s = x - x_ k \) 是试探步， \( \Delta_ k > 0 \) 是当前信赖域半径。这是一个凸优化问题（目标凸、约束凸、信赖域是凸集），可以用内点法、投影梯度法等凸优化算法高效求解。记其解为 \( s_ k^* \)，对应的候选点为 \( x_ k^+ = x_ k + s_ k^* \)。 反射步机制 ：在求解上述子问题时，如果由于信赖域边界 \( \|s\| = \Delta_ k \) 的active约束，导致求解器找到的解正好在信赖域边界上（即 \( \|s_ k^ \| = \Delta_ k \)），且这个解对应的目标值改进不够理想，我们可以引入 反射步 。基本思想是，以 \( x_ k \) 为中心，将试探步 \( s_ k^ \) 进行反射，尝试一个更长的步长。具体来说，计算反射步 \( s_ k^r = \beta s_ k^* \)，其中 \( \beta > 1 \)（例如 \( \beta = 1.5 \) 或 2）。然后，将 \( x_ k + s_ k^r \) 投影回可行域和信赖域的交集（或进行裁剪），得到一个新的候选点 \( x_ k^{r} \)。接着，我们同时评估 \( x_ k^+ \) 和 \( x_ k^{r} \) 在实际目标函数 \( f \) 上的表现，选择更好的一个作为本次迭代的“最终”候选点 \( x_ k^{cand} \)。这一机制有助于在可行域内进行更积极的探索，可能跳出局部洼地。 步骤5：接受判决与信赖域更新 计算实际下降与预测下降 ： 实际下降： \( \text{ared}_ k = f(x_ k) - f(x_ k^{cand}) \) 预测下降： \( \text{pred}_ k = \tilde{f}_ k(x_ k) - \tilde{f}_ k(x_ k^{cand}) \) （注意 \( \tilde{f}_ k(x_ k) = f(x_ k) \)） 计算比值 ： \( \rho_ k = \frac{\text{ared}_ k}{\text{pred}_ k} \)。这个比值衡量了模型预测的准确程度。 接受判决 ： 如果 \( \rho_ k > \eta_ 1 \) （例如 \( \eta_ 1 = 10^{-4} \)），说明模型预测是可信的，实际下降足够好。令 \( x_ {k+1} = x_ k^{cand} \)。 否则，拒绝这一步，保持 \( x_ {k+1} = x_ k \)。 信赖域半径更新 （遵循标准信赖域策略）： 如果 \( \rho_ k > \eta_ 2 \) （例如 \( \eta_ 2 = 0.75 \)），说明模型非常准确，可以尝试扩大搜索区域： \( \Delta_ {k+1} = \gamma_ 1 \Delta_ k, \gamma_ 1 > 1 \)。 如果 \( \eta_ 1 \leq \rho_ k \leq \eta_ 2 \)，说明模型质量尚可，保持半径： \( \Delta_ {k+1} = \Delta_ k \)。 如果 \( \rho_ k < \eta_ 1 \)，说明模型预测很差，需要缩小信赖域以改进模型局部近似精度： \( \Delta_ {k+1} = \gamma_ 2 \Delta_ k, 0 < \gamma_ 2 < 1 \)。 抽样半径更新 ：通常将抽样半径与信赖域半径关联，例如 \( \delta_ {k+1} = \eta \Delta_ {k+1} \)。 步骤6：迭代与收敛 重复步骤2至步骤5，直到满足预设的收敛准则。常见的收敛准则包括： 梯度条件 ： \( \|\nabla f(x_ k) + \sum_ {i=1}^m \lambda_ i \nabla g_ i(x_ k)\| \leq \epsilon_ g \)，其中 \( \lambda_ i \) 是约束 \( g_ i(x) \leq 0 \) 对应的拉格朗日乘子估计（可以从最近一次子问题求解中获得）， \( \epsilon_ g \) 是小正数。 步长条件 ： \( \|x_ {k+1} - x_ k\| \leq \epsilon_ x \)。 函数值变化 ： \( |f(x_ {k+1}) - f(x_ k)| \leq \epsilon_ f \)。 最大迭代次数 ：达到预设的最大迭代次数 \( K_ {max} \)。 算法优势与小结 随机抽样 ：提供了局部探索能力，有助于避免陷入非凸函数的糟糕局部极值点，增强算法的全局探索特性。 序列凸逼近 ：将复杂的非凸问题转化为一系列相对容易求解的凸子问题，保证了子问题求解的效率和可靠性。 信赖域框架 ：通过自适应调整信赖域半径，控制步长大小，保证了算法的全局收敛性（在适当条件下可证明收敛到稳定点）。 反射步 ：在信赖域边界活跃时提供了一种机制，尝试越过边界进行探索，可能带来额外的改进。 这个混合算法结合了随机探索、凸优化和信赖域控制的优点，适用于求解中等规模、目标函数非凸但约束为凸的非线性规划问题。其性能依赖于抽样点数 \( N \)、凸逼近模型的构建质量、以及信赖域和反射参数的选择。在实际应用中，这些参数需要根据具体问题进行调整。