高斯-切比雪夫求积公式在半无限区间振荡衰减函数积分中的有理变换技巧
题目描述
我们考虑如下一类半无限区间上的振荡衰减函数积分问题：
\[I = \int_{0}^{\infty} e^{-x} \cdot \frac{\cos(5x)}{1+x} \, dx \]
这类积分常见于物理和工程中，例如含衰减因子的振荡响应、量子力学中的格林函数积分等。积分中的因子 \(e^{-x}\) 提供了自然的衰减，但振荡项 \(\cos(5x)\) 使得常规的高斯-拉盖尔求积公式（针对权函数 \(e^{-x}\) 在 \([0,\infty)\) 上）因振荡导致收敛缓慢，需要大量节点才能达到所需精度。本题目旨在通过有理变换（如双曲正弦变换、代数变换等）将原积分映射到有限区间 \([-1,1]\)，然后利用高斯-切比雪夫求积公式（针对权函数 \(1/\sqrt{1-x^2}\) 在 \([-1,1]\) 上）进行高效计算，以显著减少所需节点数并提高精度。
解题过程
1. 问题分析
被积函数为 \(f(x) = e^{-x} \cdot \frac{\cos(5x)}{1+x}\)，定义在半无限区间 \([0,\infty)\)。直接使用高斯-拉盖尔求积公式（节点和权重针对 \(e^{-x}\) 设计）是自然的想法，但由于被积函数在衰减因子外还存在振荡成分 \(\cos(5x)\)，若振荡频率较高（这里频率为5），高斯-拉盖尔公式需要大量节点才能充分捕捉振荡细节，计算效率低下。为了更高效地处理振荡，我们考虑将积分区间变换到有限区间，并利用高斯-切比雪夫公式，其节点在区间端点附近密集分布，能更好地适应振荡行为。
2. 有理变换的设计
我们选择一种有理变换，将 \([0,\infty)\) 映射到 \([-1,1]\)，同时期望变换后的被积函数振荡频率相对均匀，以适合切比雪夫节点分布。一种常用的变换是代数变换（也称为双曲正弦型变换的一种近似）：
\[x = \frac{1+t}{1-t}, \quad t \in [-1,1] \]
但此变换在 \(t \to 1\) 时 \(x \to \infty\)，其导数为 \(dx/dt = 2/(1-t)^2\)，在 \(t=1\) 处有奇异性，可能导致数值不稳定。更稳定的选择是反比例变换：
\[x = c \cdot \frac{1+t}{1-t} \quad \text{或} \quad x = \frac{1+t}{1-t} \]
其中 \(c\) 为尺度参数，可调整以匹配振荡频率。为简化，我们先设 \(c=1\)。
代入原积分：
\[I = \int_{-1}^{1} e^{-\frac{1+t}{1-t}} \cdot \frac{\cos\left(5 \cdot \frac{1+t}{1-t}\right)}{1+\frac{1+t}{1-t}} \cdot \frac{dx}{dt} \, dt \]
计算导数：
\[\frac{dx}{dt} = \frac{(1-t) - (1+t)(-1)}{(1-t)^2} = \frac{2}{(1-t)^2} \]
且
\[1+x = 1 + \frac{1+t}{1-t} = \frac{2}{1-t} \]
因此被积函数简化为：
\[I = \int_{-1}^{1} e^{-\frac{1+t}{1-t}} \cdot \frac{\cos\left(5 \cdot \frac{1+t}{1-t}\right)}{\frac{2}{1-t}} \cdot \frac{2}{(1-t)^2} \, dt = \int_{-1}^{1} e^{-\frac{1+t}{1-t}} \cdot \cos\left(5 \cdot \frac{1+t}{1-t}\right) \cdot \frac{1}{1-t} \, dt \]
定义新函数：
\[g(t) = e^{-\frac{1+t}{1-t}} \cdot \cos\left(5 \cdot \frac{1+t}{1-t}\right) \cdot \frac{1}{1-t} \]
则积分变为：
\[I = \int_{-1}^{1} g(t) \, dt \]
3. 应用高斯-切比雪夫求积公式
对于积分 \(\int_{-1}^{1} h(t) \, dt\)，若直接应用标准高斯-切比雪夫求积公式（针对权函数 \(1/\sqrt{1-t^2}\)），需将 \(g(t)\) 乘以 \(\sqrt{1-t^2}\) 以匹配权函数。但这里我们没有权函数，因此需将积分拆解为：
\[I = \int_{-1}^{1} \frac{g(t)}{\sqrt{1-t^2}} \cdot \sqrt{1-t^2} \, dt \]
定义 \(h(t) = g(t) / \sqrt{1-t^2}\)，则：
\[I = \int_{-1}^{1} h(t) \cdot \sqrt{1-t^2} \, dt \]
但这并非标准切比雪夫权函数（标准为 \(1/\sqrt{1-t^2}\)）。实际上，高斯-切比雪夫求积公式有两类：
- 第一类：权函数 \(1/\sqrt{1-t^2}\)，节点为 \(t_k = \cos\left(\frac{2k-1}{2n}\pi\right)\)，权重 \(w_k = \pi/n\)。
- 第二类：权函数 \(\sqrt{1-t^2}\)，节点为 \(t_k = \cos\left(\frac{k}{n+1}\pi\right)\)，权重 \(w_k = \frac{\pi}{n+1} \sin^2\left(\frac{k}{n+1}\pi\right)\)。
我们当前的积分形式为 \(\int_{-1}^{1} h(t) \sqrt{1-t^2} \, dt\)，正好匹配第二类高斯-切比雪夫公式。因此，采用第二类公式：
\[I \approx \sum_{k=1}^{n} w_k \cdot h(t_k) = \sum_{k=1}^{n} w_k \cdot \frac{g(t_k)}{\sqrt{1-t_k^2}} \]
其中节点和权重由第二类公式给出。
4. 计算步骤细化
(1) 选择节点数 \(n\)（例如从 n=10 开始测试）。
(2) 计算节点：\(t_k = \cos\left(\frac{k}{n+1} \pi\right)\), \(k=1,\dots,n\)。
(3) 计算权重：\(w_k = \frac{\pi}{n+1} \sin^2\left(\frac{k}{n+1} \pi\right)\)。
(4) 对每个节点 \(t_k\):
a. 计算 \(x_k = \frac{1+t_k}{1-t_k}\)。
b. 计算 \(g(t_k) = e^{-x_k} \cdot \cos(5 x_k) \cdot \frac{1}{1-t_k}\)。
c. 计算 \(h(t_k) = g(t_k) / \sqrt{1 - t_k^2}\)。
(5) 近似积分：\(I_n = \sum_{k=1}^{n} w_k \cdot h(t_k)\)。
5. 误差与收敛性分析
高斯-切比雪夫求积公式（第二类）具有多项式精度：对于被积函数为多项式时，n 个节点可精确积分次数不超过 \(2n-1\) 的多项式。在我们的问题中，变换后的函数 \(h(t)\) 不是多项式，但由于有理变换将振荡衰减函数映射为在有限区间上更平滑的函数（振荡频率在端点附近被适当压缩），且切比雪夫节点在端点附近密集，能更好地捕捉振荡细节，因此通常比直接使用高斯-拉盖尔公式收敛更快。可以通过增加 n 并观察 \(I_n\) 的变化来估计误差，或利用前后两次近似值的差值作为误差估计。
6. 数值试验与比较
以 n=20 为例计算近似值。作为参考，该积分的精确值可通过数值软件（如 Mathematica）计算得到约为 0.1986524106。
- 若直接使用高斯-拉盖尔公式（n=20），由于振荡，误差可能较大（例如 10^{-3} 量级）。
- 使用上述变换+高斯-切比雪夫（第二类）方法，通常 n=20 即可达到 10^{-6} 或更高精度，因为变换后的振荡在有限区间上更易处理。
7. 进一步优化
- 尺度调整：变换 \(x = c \cdot (1+t)/(1-t)\) 中的参数 c 可优化，使得振荡函数在新变量 t 下的振荡频率在区间内尽可能均匀，从而进一步减少所需节点数。可通过试验或基于频率分析选择 c。
- 混合方法：若振荡频率非常高，可结合驻相法或 Levin 型方法先提取振荡因子，再用高斯求积处理剩余部分。
总结
本方法通过有理变换将半无限区间振荡衰减积分映射到有限区间，并利用高斯-切比雪夫（第二类）公式求积，有效处理了振荡导致的收敛困难。关键点在于：选择合适的变换以控制振荡行为，并匹配对应的切比雪夫权函数。