字符串的幂次分割问题
字数 2911 2025-12-08 00:56:59

字符串的幂次分割问题

给定一个字符串 s 和一个整数 k。我们可以将 s 分割成若干非空子串，如果某个子串 t 满足：

  • t 可以由它的某个真前缀重复多次得到（即 t 是该真前缀的幂次，例如 "abab" 可由 "ab" 重复 2 次得到，"abc" 不是任何真前缀的幂次，因为其最小重复单元是自身，但真前缀不能是自身）。

但本题的规则略有特殊：

  • 只有当子串 t 的长度能整除 k 时，才允许将其作为一个分割单元。
  • 将字符串分割成若干这样的子串后，每个子串都会有一个得分：
    • 如果子串 t 是幂次串（由长度小于 t 的真前缀重复构成），得分为 a（给定正整数）。
    • 否则，得分为 b（给定负整数，即惩罚）。
  • 总得分为各子串得分之和。
  • 可以任意分割，也可以不分割（即整个字符串作为一个子串处理），但必须保证每个子串的长度是 k 的整数倍。

求最大可能得分。

解题思路

这个问题是区间动态规划的一个变体。
我们需要考虑两点：

  1. 如何判断一个子串是否为“幂次串”（即由真前缀重复构成）。
  2. 如何在满足“长度是 k 的整数倍”的条件下，进行最优分割。

定义：

  • 子串 s[i:j] 表示从索引 i 到 j-1（左闭右开，长度 len = j-i）。
  • 幂次串条件：假设子串长度为 L，如果存在整数 m > 1 和长度 d 使得 L = m * d，且 s[i:i+L] 由 s[i:i+d] 重复 m 次构成，则它是幂次串。注意，d 必须整除 L，且 d < L（真前缀）。

步骤 1：判断幂次串的快速方法

对于一个子串 s[l:r]（长度 L = r-l+1），我们需要检查是否存在长度 d 满足：

  • d 整除 L 且 d < L。
  • 对任意 t 从 0 到 L-1，有 s[l + t] == s[l + (t % d)]。

这可以在 O(L × 约数个数) 内完成，但为了优化，我们可以用 KMP 的“最小周期”方法：

  • 对于长度为 L 的字符串，其最小周期 p 满足 L % p == 0 且 p 是最小的。
  • 如果 p < L，则说明字符串是周期串，由长度为 p 的前缀重复 L/p 次构成。

因此我们可以提前预处理一个二维数组 period[l][r] 表示子串 s[l:r+1] 的最小周期长度。
计算 period[l][r] 可以用 KMP 前缀函数在 O(n³) 内完成（n 是字符串长度），但更简单的方法是暴力检查约数，因为 n ≤ 200 时是可接受的。

步骤 2：动态规划状态定义

定义 dp[i] 表示从前 i 个字符（即 s[0:i]）中获得的最大得分。
注意：dp[0] = 0（空串得分为 0）。

转移时，我们需要考虑最后一个子串的结束位置是 i，起始位置是 j（0 ≤ j < i），且子串长度 (i-j) 必须能被 k 整除。

状态转移方程：

dp[i] = max(dp[i], dp[j] + score(j, i-1))

其中 score(l, r) 表示子串 s[l:r+1] 的得分：

  • 如果它是幂次串（即 period[l][r] < (r-l+1)），得分为 a。
  • 否则，得分为 b。

但这里有一个关键：整个子串长度必须整除 k，所以如果 (r-l+1) % k != 0，则该子串不能作为分割单元，所以 score(l, r) 在这种无效情况下应设为负无穷（即不允许）。

步骤 3：计算 period 数组

我们可以在 O(n³) 内暴力计算：
对每个 (l, r)，长度 len = r-l+1，枚举所有整除 len 的数 d（d < len），检查是否满足周期性。
检查方法：看从 l+d 到 r 的每个字符是否等于 l + ( (pos-l) % d ) 位置的字符。

若找到最小的 d 满足周期条件，则 period[l][r] = d，否则 period[l][r] = len（即最小周期是自身）。

步骤 4：动态规划实现顺序

我们按 i 从 1 到 n 遍历：

  • 对每个 i，遍历 j 从 0 到 i-1，如果 (i-j) % k == 0，则计算得分并更新 dp[i]。
    初始化 dp[0]=0，dp[其它]=-∞（因为可能有负分，所以初始化为负无穷，表示不可达）。

最终答案 = dp[n]。

步骤 5：示例演算

假设：
s = "ababab", k=2, a=5, b=-2。

字符串长度 n=6。

预处理 period 矩阵（只列举重要部分）：

  • "ab" (l=0,r=1, len=2)：周期是自身 2（因为 d=1 不行，'a'≠'b'），所以不是幂次串。
  • "abab" (l=0,r=3, len=4)：d=2 时，s[0]='a',s[2]='a'，s[1]='b',s[3]='b'，满足，周期=2<4，是幂次串。
  • "ababab" (l=0,r=5, len=6)：d=2 时，检查 "ab" 重复 3 次，满足，周期=2<6，是幂次串。

动态规划：
dp[0]=0

i=2（考虑前 2 个字符 "ab"）：
j=0，长度=2 整除 k=2，"ab" 不是幂次串，得分=-2，dp[2]=dp[0]+(-2)=-2

i=4（前 4 个字符）：

  • 整体不分：j=0，长度=4 整除 2，"abab" 是幂次串，得分=5，dp[4]=dp[0]+5=5
  • 分割成 "ab"+"ab"：先到 j=2，长度=2，"ab" 得分=-2，dp[4] = max(dp[4], dp[2]+(-2)) = max(5, -2-2=-4) = 5

i=6：

  • 整体不分：j=0，长度=6 整除 2，"ababab" 是幂次串，得分=5，dp[6]=5
  • 分割成 "abab"+"ab"：j=4，长度=2，"ab" 得分=-2，dp[6]=max(5, dp[4]+(-2)=5-2=3)=5
  • 分割成 "ab"+"abab"：j=2，长度=4，"abab" 得分=5，dp[6]=max(5, dp[2]+5= -2+5=3)=5
  • 分割成 "ab"+"ab"+"ab"：
    这对应 j=2 和 j=4 的两步，但我们可以从 j=4 得到：dp[4]+score(4,5)，score(4,5)="ab" 得分=-2，dp[6]=max(5, dp[4]-2=5-2=3)=5

最终 dp[6]=5。

步骤 6：算法复杂度

  • 预处理 period：O(n³)，但可以优化到 O(n²) 用 KMP，这里用暴力 O(n³) 在 n≤200 可接受。
  • DP：O(n²)。

总 O(n³) 可接受。

字符串的幂次分割问题 给定一个字符串 s 和一个整数 k 。我们可以将 s 分割成若干 非空 子串，如果某个子串 t 满足： t 可以由它的某个 真前缀 重复多次得到（即 t 是该真前缀的幂次，例如 "abab" 可由 "ab" 重复 2 次得到， "abc" 不是任何真前缀的幂次，因为其最小重复单元是自身，但真前缀不能是自身）。 但本题的规则略有特殊： 只有当子串 t 的长度能 整除 k 时，才允许将其作为一个分割单元。 将字符串分割成若干这样的子串后，每个子串都会有一个得分： 如果子串 t 是幂次串（由长度小于 t 的真前缀重复构成），得分为 a （给定正整数）。 否则，得分为 b （给定负整数，即惩罚）。 总得分为各子串得分之和。 可以任意分割，也可以不分割（即整个字符串作为一个子串处理），但必须保证每个子串的长度是 k 的整数倍。 求 最大可能得分 。 解题思路 这个问题是区间动态规划的一个变体。 我们需要考虑两点： 如何判断一个子串是否为“幂次串”（即由真前缀重复构成）。 如何在满足“长度是 k 的整数倍”的条件下，进行最优分割。 定义 ： 子串 s[i:j] 表示从索引 i 到 j-1 （左闭右开，长度 len = j-i ）。 幂次串条件：假设子串长度为 L ，如果存在整数 m > 1 和长度 d 使得 L = m * d ，且 s[i:i+L] 由 s[i:i+d] 重复 m 次构成，则它是幂次串。注意， d 必须整除 L ，且 d < L （真前缀）。 步骤 1：判断幂次串的快速方法 对于一个子串 s[l:r] （长度 L = r-l+1 ），我们需要检查是否存在长度 d 满足： d 整除 L 且 d < L 。 对任意 t 从 0 到 L-1 ，有 s[l + t] == s[l + (t % d)] 。 这可以在 O(L × 约数个数) 内完成，但为了优化，我们可以用 KMP 的“最小周期”方法： 对于长度为 L 的字符串，其最小周期 p 满足 L % p == 0 且 p 是最小的。 如果 p < L ，则说明字符串是周期串，由长度为 p 的前缀重复 L/p 次构成。 因此我们可以提前预处理一个二维数组 period[l][r] 表示子串 s[l:r+1] 的最小周期长度。 计算 period[l][r] 可以用 KMP 前缀函数在 O(n³) 内完成（n 是字符串长度），但更简单的方法是暴力检查约数，因为 n ≤ 200 时是可接受的。 步骤 2：动态规划状态定义 定义 dp[i] 表示 从前 i 个字符 （即 s[0:i] ）中获得的最大得分。 注意： dp[0] = 0 （空串得分为 0）。 转移时，我们需要考虑最后一个子串的结束位置是 i ，起始位置是 j （ 0 ≤ j < i ），且子串长度 (i-j) 必须能被 k 整除。 状态转移方程： 其中 score(l, r) 表示子串 s[l:r+1] 的得分： 如果它是幂次串（即 period[l][r] < (r-l+1) ），得分为 a 。 否则，得分为 b 。 但这里有一个关键： 整个子串长度必须整除 k ，所以如果 (r-l+1) % k != 0 ，则该子串不能作为分割单元，所以 score(l, r) 在这种无效情况下应设为负无穷（即不允许）。 步骤 3：计算 period 数组 我们可以在 O(n³) 内暴力计算： 对每个 (l, r) ，长度 len = r-l+1 ，枚举所有整除 len 的数 d （ d < len ），检查是否满足周期性。 检查方法：看从 l+d 到 r 的每个字符是否等于 l + ( (pos-l) % d ) 位置的字符。 若找到最小的 d 满足周期条件，则 period[l][r] = d ，否则 period[l][r] = len （即最小周期是自身）。 步骤 4：动态规划实现顺序 我们按 i 从 1 到 n 遍历： 对每个 i ，遍历 j 从 0 到 i-1，如果 (i-j) % k == 0 ，则计算得分并更新 dp[i] 。 初始化 dp[0]=0 ， dp[其它]=-∞ （因为可能有负分，所以初始化为负无穷，表示不可达）。 最终答案 = dp[n] 。 步骤 5：示例演算 假设： s = "ababab" , k=2 , a=5 , b=-2 。 字符串长度 n=6。 预处理 period 矩阵 （只列举重要部分）： "ab" ( l=0,r=1 , len=2)：周期是自身 2（因为 d=1 不行，'a'≠'b'），所以不是幂次串。 "abab" ( l=0,r=3 , len=4)：d=2 时，s[ 0]='a',s[ 2]='a'，s[ 1]='b',s[ 3]='b'，满足，周期=2 <4，是幂次串。 "ababab" ( l=0,r=5 , len=6)：d=2 时，检查 "ab" 重复 3 次，满足，周期=2 <6，是幂次串。 动态规划 ： dp[0]=0 i=2（考虑前 2 个字符 "ab" ）： j=0，长度=2 整除 k=2， "ab" 不是幂次串，得分=-2， dp[2]=dp[0]+(-2)=-2 i=4（前 4 个字符）： 整体不分：j=0，长度=4 整除 2， "abab" 是幂次串，得分=5， dp[4]=dp[0]+5=5 分割成 "ab"+"ab" ：先到 j=2，长度=2， "ab" 得分=-2， dp[4] = max(dp[4], dp[2]+(-2)) = max(5, -2-2=-4) = 5 i=6： 整体不分：j=0，长度=6 整除 2， "ababab" 是幂次串，得分=5， dp[6]=5 分割成 "abab"+"ab" ：j=4，长度=2， "ab" 得分=-2， dp[6]=max(5, dp[4]+(-2)=5-2=3)=5 分割成 "ab"+"abab" ：j=2，长度=4， "abab" 得分=5， dp[6]=max(5, dp[2]+5= -2+5=3)=5 分割成 "ab"+"ab"+"ab" ： 这对应 j=2 和 j=4 的两步，但我们可以从 j=4 得到： dp[4]+score(4,5) ， score(4,5) = "ab" 得分=-2， dp[6]=max(5, dp[4]-2=5-2=3)=5 最终 dp[6]=5 。 步骤 6：算法复杂度 预处理 period：O(n³)，但可以优化到 O(n²) 用 KMP，这里用暴力 O(n³) 在 n≤200 可接受。 DP：O(n²)。 总 O(n³) 可接受。