Sylvester方程求解的Bartels-Stewart算法
字数 2480 2025-12-07 17:36:11

Sylvester方程求解的Bartels-Stewart算法

题目描述：
给定实数矩阵A（m×m）、B（n×n）、C（m×n），求解未知矩阵X（m×n），使其满足Sylvester方程：AX + XB = C。其中A和B通常是上三角矩阵（或可通过相似变换化为上三角形式）。Bartels-Stewart算法是求解该方程的经典直接法，其核心思想是通过Schur分解将方程转化为三角形式，然后通过前向/后向代入高效求解。

解题过程循序渐进讲解：

步骤1：问题转化与Schur分解
原始的Sylvester方程 AX + XB = C 中，若A和B是稠密的一般矩阵，直接求解效率低。Bartels-Stewart算法的第一步是利用实Schur分解（或复Schur分解，若矩阵有复特征值）将A和B转化为上三角形式。

  • 对A进行实Schur分解：A = U R_A U^T，其中U是正交矩阵（m×m），R_A是拟上三角矩阵（实Schur形式，对角块为1×1或2×2，对应实特征值或共轭复特征值对）。
  • 对B进行实Schur分解：B = V R_B V^T，其中V是正交矩阵（n×n），R_B是拟上三角矩阵。
    将分解代入原方程：U R_A U^T X + X V R_B V^T = C。
    左乘U^T，右乘V，并令 Y = U^T X V，C' = U^T C V，得到化简后的方程：
    R_A Y + Y R_B = C'。
    此时R_A和R_B都是拟上三角矩阵，方程结构更简单。

步骤2：分块化与元素递推求解
由于R_A和R_B是拟上三角矩阵，我们可以从最后一个行/列开始，逐块（或逐元素）求解Y。将矩阵分块，设R_A是m×m，R_B是n×n，Y和C'也相应分块。从最后一个块（右下角）开始求解。
具体地，将R_A、R_B、Y、C'进行分块。设R_A的最后一行/列为第m块（可能是1×1或2×2块），R_B的最后一行/列为第n块（同样可能是1×1或2×2块），Y和C'对应分块。则方程可写为：
R_A(1:m, 1:m) Y(1:m, 1:n) + Y(1:m, 1:n) R_B(1:n, 1:n) = C'(1:m, 1:n)。
但更有效的是聚焦于最后一行/列块，通过将Y按列分块（对应R_B的列分块）或按行分块（对应R_A的行分块）来递推。

通常采用按列分块：设R_B的最后一列块（第n列块）是1×1或2×2，记R_B的右下角块为R_B_nn（可能为标量或2×2矩阵），对应Y的最后一列块为Y_n（m×1或m×2矩阵）。从原方程中提取涉及Y_n的部分：
R_A Y_n + Y_n R_B_nn = C'n - Σ{k=n+1}^{n} (Y_k R_B_kn) （注意求和实际上只到n-1，因为R_B是上三角，R_B_kn对k<n可能非零）。
由于R_B是上三角，R_B_kn当k<n时可能非零，但R_B_kn已知，且Y_k对k>n尚未知（因为我们从最后一列开始求解），所以实际上我们需要从最后一列（n）开始，向前推进到第一列。对于第j列块（从n递减到1），方程变为：
R_A Y_j + Y_j R_B_jj = C'j - Σ{k=j+1}^{n} (Y_k R_B_kj)。
这里右边是已知的，因为Y_k（k>j）已经在前面的步骤中求出。R_B_jj是1×1或2×2块，R_A是m×m拟上三角矩阵。

步骤3：求解小规模Sylvester方程
对于每个列块j，我们需要解一个关于Y_j的矩阵方程：R_A Y_j + Y_j S = D，其中S = R_B_jj是小矩阵（1×1或2×2），D是已知的m×p矩阵（p=1或2，对应S的尺寸）。这是一个小规模的Sylvester方程，可以用直接法高效求解。

  • 若S是1×1标量s，则方程变为 R_A Y_j + Y_j s = D，即 (R_A + s I) Y_j = D。这相当于求解一个线性方程组，系数矩阵是R_A + s I（拟上三角矩阵），可用前向代入法快速求解（因为拟上三角矩阵，但需注意2×2块可能使系统分块三角）。
  • 若S是2×2矩阵，设S = [s11, s12; s21, s22]，Y_j是m×2矩阵，记Y_j = [y1, y2]。则方程可写为两个方程：
    R_A y1 + y1 s11 + y2 s21 = d1,
    R_A y2 + y1 s12 + y2 s22 = d2。
    这是一个关于y1和y2的耦合线性系统，可将其重写为一个大系统：将y1和y2堆叠为2m维向量，利用Kronecker积形式，但更高效的是直接利用R_A的拟上三角结构，通过类似前向代入的方法逐行求解（需处理2×2耦合）。

步骤4：恢复原变量X
当所有列块Y_j求解完毕后，得到完整的Y。最后通过逆变换恢复X：X = U Y V^T。因为U和V是正交矩阵，乘法可直接进行。

算法总结：

  1. 计算A和B的实Schur分解：A = U R_A U^T, B = V R_B V^T。
  2. 计算C' = U^T C V。
  3. 对j = n, n-1, ..., 1（按R_B的列块逆序）：
    a. 计算右端项 D = C'j - Σ{k=j+1}^{n} (Y_k R_B_kj)。
    b. 求解小规模Sylvester方程：R_A Y_j + Y_j R_B_jj = D。
  4. 得到Y后，计算X = U Y V^T。

注意事项：

  • 该算法需要O(m^3 + n^3)的Schur分解成本，以及O(m^2 n + m n^2)的求解成本，适合稠密矩阵。
  • 若A和B有共同特征值使得R_A和-R_B有相同特征值，则方程可能奇异或无解。
  • 对于大规模稀疏矩阵，通常使用迭代法（如Krylov子空间方法）而非Bartels-Stewart算法。
Sylvester方程求解的Bartels-Stewart算法 题目描述 ： 给定实数矩阵A（m×m）、B（n×n）、C（m×n），求解未知矩阵X（m×n），使其满足Sylvester方程：AX + XB = C。其中A和B通常是上三角矩阵（或可通过相似变换化为上三角形式）。Bartels-Stewart算法是求解该方程的经典直接法，其核心思想是通过Schur分解将方程转化为三角形式，然后通过前向/后向代入高效求解。 解题过程循序渐进讲解 ： 步骤1：问题转化与Schur分解 原始的Sylvester方程 AX + XB = C 中，若A和B是稠密的一般矩阵，直接求解效率低。Bartels-Stewart算法的第一步是利用实Schur分解（或复Schur分解，若矩阵有复特征值）将A和B转化为上三角形式。 对A进行实Schur分解：A = U R_ A U^T，其中U是正交矩阵（m×m），R_ A是拟上三角矩阵（实Schur形式，对角块为1×1或2×2，对应实特征值或共轭复特征值对）。 对B进行实Schur分解：B = V R_ B V^T，其中V是正交矩阵（n×n），R_ B是拟上三角矩阵。 将分解代入原方程：U R_ A U^T X + X V R_ B V^T = C。 左乘U^T，右乘V，并令 Y = U^T X V，C' = U^T C V，得到化简后的方程： R_ A Y + Y R_ B = C'。 此时R_ A和R_ B都是拟上三角矩阵，方程结构更简单。 步骤2：分块化与元素递推求解 由于R_ A和R_ B是拟上三角矩阵，我们可以从最后一个行/列开始，逐块（或逐元素）求解Y。将矩阵分块，设R_ A是m×m，R_ B是n×n，Y和C'也相应分块。从最后一个块（右下角）开始求解。 具体地，将R_ A、R_ B、Y、C'进行分块。设R_ A的最后一行/列为第m块（可能是1×1或2×2块），R_ B的最后一行/列为第n块（同样可能是1×1或2×2块），Y和C'对应分块。则方程可写为： R_ A(1:m, 1:m) Y(1:m, 1:n) + Y(1:m, 1:n) R_ B(1:n, 1:n) = C'(1:m, 1:n)。 但更有效的是聚焦于最后一行/列块，通过将Y按列分块（对应R_ B的列分块）或按行分块（对应R_ A的行分块）来递推。 通常采用按列分块：设R_ B的最后一列块（第n列块）是1×1或2×2，记R_ B的右下角块为R_ B_ nn（可能为标量或2×2矩阵），对应Y的最后一列块为Y_ n（m×1或m×2矩阵）。从原方程中提取涉及Y_ n的部分： R_ A Y_ n + Y_ n R_ B_ nn = C' n - Σ {k=n+1}^{n} (Y_ k R_ B_ kn) （注意求和实际上只到n-1，因为R_ B是上三角，R_ B_ kn对k <n可能非零）。 由于R_ B是上三角，R_ B_ kn当k<n时可能非零，但R_ B_ kn已知，且Y_ k对k>n尚未知（因为我们从最后一列开始求解），所以实际上我们需要从最后一列（n）开始，向前推进到第一列。对于第j列块（从n递减到1），方程变为： R_ A Y_ j + Y_ j R_ B_ jj = C' j - Σ {k=j+1}^{n} (Y_ k R_ B_ kj)。 这里右边是已知的，因为Y_ k（k>j）已经在前面的步骤中求出。R_ B_ jj是1×1或2×2块，R_ A是m×m拟上三角矩阵。 步骤3：求解小规模Sylvester方程 对于每个列块j，我们需要解一个关于Y_ j的矩阵方程：R_ A Y_ j + Y_ j S = D，其中S = R_ B_ jj是小矩阵（1×1或2×2），D是已知的m×p矩阵（p=1或2，对应S的尺寸）。这是一个小规模的Sylvester方程，可以用直接法高效求解。 若S是1×1标量s，则方程变为 R_ A Y_ j + Y_ j s = D，即 (R_ A + s I) Y_ j = D。这相当于求解一个线性方程组，系数矩阵是R_ A + s I（拟上三角矩阵），可用前向代入法快速求解（因为拟上三角矩阵，但需注意2×2块可能使系统分块三角）。 若S是2×2矩阵，设S = [ s11, s12; s21, s22]，Y_ j是m×2矩阵，记Y_ j = [ y1, y2 ]。则方程可写为两个方程： R_ A y1 + y1 s11 + y2 s21 = d1, R_ A y2 + y1 s12 + y2 s22 = d2。 这是一个关于y1和y2的耦合线性系统，可将其重写为一个大系统：将y1和y2堆叠为2m维向量，利用Kronecker积形式，但更高效的是直接利用R_ A的拟上三角结构，通过类似前向代入的方法逐行求解（需处理2×2耦合）。 步骤4：恢复原变量X 当所有列块Y_ j求解完毕后，得到完整的Y。最后通过逆变换恢复X：X = U Y V^T。因为U和V是正交矩阵，乘法可直接进行。 算法总结 ： 计算A和B的实Schur分解：A = U R_ A U^T, B = V R_ B V^T。 计算C' = U^T C V。 对j = n, n-1, ..., 1（按R_ B的列块逆序）： a. 计算右端项 D = C' j - Σ {k=j+1}^{n} (Y_ k R_ B_ kj)。 b. 求解小规模Sylvester方程：R_ A Y_ j + Y_ j R_ B_ jj = D。 得到Y后，计算X = U Y V^T。 注意事项 ： 该算法需要O(m^3 + n^3)的Schur分解成本，以及O(m^2 n + m n^2)的求解成本，适合稠密矩阵。 若A和B有共同特征值使得R_ A和-R_ B有相同特征值，则方程可能奇异或无解。 对于大规模稀疏矩阵，通常使用迭代法（如Krylov子空间方法）而非Bartels-Stewart算法。