序列二次规划-积极集-乘子法-过滤器-信赖域-自适应屏障混合算法进阶题

字数 5065 2025-12-07 12:15:46

序列二次规划-积极集-乘子法-过滤器-信赖域-自适应屏障混合算法进阶题

题目描述
考虑以下非线性规划问题：

\[\begin{aligned} \min_{x \in \mathbb{R}^n} \quad & f(x) = e^{x_1^2 + 2x_2^2} + (x_1 - 1)^2 \\ \text{s.t.} \quad & c_1(x) = x_1^2 + x_2^2 - 4 \le 0, \\ & c_2(x) = -\ln(x_1 + 2) + x_2^3 - 1 \le 0, \\ & c_3(x) = x_1 - 2x_2 = 0. \end{aligned} \]

其中 \(n=2\)，目标函数 \(f(x)\) 非凸，包含指数和二次项；\(c_1(x)\) 为凸不等式约束（圆盘），\(c_2(x)\) 为非凸不等式约束（含对数与立方项），\(c_3(x)\) 为线性等式约束。要求设计一种混合算法，结合序列二次规划（SQP）、积极集法、乘子法、过滤器法、信赖域和自适应屏障技术，在保证全局收敛的同时高效处理非凸约束。

解题过程循序渐进讲解

1. 问题分析与算法框架

挑战：目标函数非凸，约束包含非凸项，传统SQP可能收敛到局部极小或遇到Maratos效应（约束违反振荡）。
混合策略：
1. SQP框架：在每步迭代中求解二次规划子问题。
2. 积极集法：动态识别起作用约束，降低子问题规模。
3. 乘子法：处理等式约束，增强稳定性。
4. 过滤器法：避免传统罚函数中罚参数难以选取的问题，平衡目标下降与约束违反。
5. 信赖域：控制步长，保证子问题模型足够精确。
6. 自适应屏障：将不等式约束转化为屏障函数，屏障参数自适应调整，避免病态。
整体流程：在每步迭代中，基于当前点构造拉格朗日函数，利用积极集简化约束，通过乘子法处理等式约束，用自适应屏障处理不等式约束，在信赖域内求解二次规划子问题，并用过滤器判断是否接受迭代点。

2. 算法初始化

初始点 \(x_0 = (0.5, 0.5)^T\)，满足 \(c_3(x_0)=0\)（等式约束成立）。
初始拉格朗日乘子 \(\lambda_0 = (0, 0)^T\)（不等式），\(\mu_0 = 0\)（等式）。
初始信赖域半径 \(\Delta_0 = 1\)，屏障参数 \(\tau_0 = 10\)，过滤器 \(\mathcal{F} = \emptyset\)。
设置参数：收敛容忍度 \(\epsilon = 10^{-6}\)，屏障衰减因子 \(\eta = 0.1\)，信赖域更新参数 \(0 < \gamma_1 < 1 < \gamma_2\)。

3. 构造拉格朗日函数与自适应屏障变换

标准拉格朗日函数：

\[ L(x, \lambda, \mu) = f(x) + \lambda_1 c_1(x) + \lambda_2 c_2(x) + \mu c_3(x). \]

引入自适应对数屏障处理不等式约束（避免 \(c_i(x) \ge 0\)）：

\[ B(x; \tau) = f(x) - \tau \sum_{i=1}^2 \ln(-c_i(x)) + \mu c_3(x). \]

这里屏障参数 \(\tau > 0\) 初始较大，随着迭代减小，使屏障函数逼近原问题。

自适应更新：若子问题求解成功，则 \(\tau_{k+1} = \eta \tau_k\)；否则保持 \(\tau_k\) 不变。

4. 积极集识别与乘子更新

在当前点 \(x_k\)，计算不等式约束值：
\(c_1(x_k) = x_{k1}^2 + x_{k2}^2 - 4\)，\(c_2(x_k) = -\ln(x_{k1}+2) + x_{k2}^3 - 1\)。
积极集 \(\mathcal{A}_k = \{ i \mid c_i(x_k) \ge -\delta \}\)，其中 \(\delta = 10^{-4}\) 为激活阈值。
例如：若 \(c_1(x_k) = -0.1 > -\delta\)，则 \(c_1\) 处于积极边界。
对于等式约束 \(c_3\)，乘子 \(\mu_k\) 通过乘子法更新：

\[ \mu_{k+1} = \mu_k + \rho c_3(x_k), \]

其中 \(\rho > 0\) 为惩罚参数（本例取 \(\rho=1\)）。乘子法将等式约束纳入增广拉格朗日项，增强收敛稳定性。

5. 序列二次规划子问题构造

在 \(x_k\) 处构造二次近似子问题：

\[ \begin{aligned} \min_{d \in \mathbb{R}^n} \quad & \nabla f(x_k)^T d + \frac{1}{2} d^T H_k d \\ \text{s.t.} \quad & \nabla c_i(x_k)^T d + c_i(x_k) \le 0, \quad i \in \mathcal{A}_k, \\ & \nabla c_3(x_k)^T d + c_3(x_k) = 0, \\ & \|d\| \le \Delta_k. \end{aligned} \]

其中 \(H_k\) 是拉格朗日函数 \(L\) 的Hessian近似，用BFGS拟牛顿法更新：

\[ H_{k+1} = H_k + \frac{y_k y_k^T}{y_k^T s_k} - \frac{H_k s_k s_k^T H_k}{s_k^T H_k s_k}, \]

\(s_k = x_{k+1} - x_k\)，\(y_k = \nabla_x L(x_{k+1}, \lambda_k, \mu_k) - \nabla_x L(x_k, \lambda_k, \mu_k)\)。

梯度计算示例（在 \(x_k=(0.5,0.5)\)）：

\[ \nabla f = \begin{pmatrix} 2x_1 e^{x_1^2+2x_2^2} + 2(x_1-1) \\ 4x_2 e^{x_1^2+2x_2^2} \end{pmatrix}, \quad \nabla c_1 = \begin{pmatrix} 2x_1 \\ 2x_2 \end{pmatrix}, \quad \nabla c_2 = \begin{pmatrix} -\frac{1}{x_1+2} \\ 3x_2^2 \end{pmatrix}, \quad \nabla c_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}. \]

6. 信赖域内求解子问题

子问题是带线性约束的二次规划，可用积极集法或内点法求解。
由于维数低（\(n=2\)），可直接用数值求解器（如MATLAB的quadprog）求得步长 \(d_k\)。
计算实际下降量与预测下降量：

\[ \text{ared}_k = B(x_k; \tau_k) - B(x_k + d_k; \tau_k), \quad \text{pred}_k = -[\nabla f(x_k)^T d_k + \frac{1}{2} d_k^T H_k d_k]. \]

更新信赖域半径：

\[ \Delta_{k+1} = \begin{cases} \gamma_1 \Delta_k, & \text{if } \frac{\text{ared}_k}{\text{pred}_k} < 0.1, \\ \Delta_k, & \text{if } 0.1 \le \frac{\text{ared}_k}{\text{pred}_k} \le 0.75, \\ \gamma_2 \Delta_k, & \text{if } \frac{\text{ared}_k}{\text{pred}_k} > 0.75. \end{cases} \]

这里 \(\gamma_1=0.5, \gamma_2=2\)。

7. 过滤器判断是否接受迭代点

定义：\(h(x) = \sum_{i=1}^2 \max(0, c_i(x)) + |c_3(x)|\) 衡量约束违反程度。
当前点 \(x_k\) 对应序对 \((f(x_k), h(x_k))\)。
过滤器 \(\mathcal{F}\) 存储不被接受的序对：若 \((f, h)\) 被某个 \((f', h') \in \mathcal{F}\) 支配（即 \(f \ge f'\) 且 \(h \ge h'\)），则拒绝。
接受条件：若 \(x_k + d_k\) 满足：
1. 要么 \(h(x_k+d_k) = 0\)（可行），
2. 要么 \((f(x_k+d_k), h(x_k+d_k))\) 不被 \(\mathcal{F}\) 中任何点支配。
若接受，更新 \(x_{k+1} = x_k + d_k\)，并将 \((f(x_k), h(x_k))\) 加入过滤器（若 \(h(x_k) > 0\)）。
若拒绝，缩小信赖域 \(\Delta_k = \gamma_1 \Delta_k\) 并重新求解子问题。

8. 迭代与收敛判断

更新乘子 \(\lambda_i\) 对于积极不等式约束：

\[ \lambda_i^{k+1} = \max(0, \lambda_i^k + \rho c_i(x_{k+1})). \]

检查收敛条件：

若未收敛，返回步骤3继续迭代。

9. 示例数值迭代（前两步）

初始点 \(x_0=(0.5,0.5)\)，计算得：

\[ f=2.117, \quad c_1=-3.5, \quad c_2 \approx -1.18, \quad c_3=0, \quad h=0. \]

积极集 \(\mathcal{A}_0 = \emptyset\)（约束远离边界）。

第一次迭代：
- 子问题：仅等式约束 \(d_1 - 2d_2 = 0\)，目标为 \(\nabla f^T d + \frac{1}{2} d^T H_0 d\)。
- 解得 \(d_0 \approx (0.1, 0.05)\)，\(\Delta_0=1\)。
- 计算得 \(\text{ared}=0.15\)，\(\text{pred}=0.14\)，比例 \(>0.75\)，接受迭代，扩大信赖域 \(\Delta_1=2\)。
- 更新 \(x_1=(0.6,0.55)\)，过滤器仍为空（因 \(h=0\)）。
第二次迭代：
- 此时 \(c_1(x_1) \approx -3.33\)，\(c_2(x_1) \approx -1.15\)，仍非积极。
- 更新乘子 \(\mu_1 = \mu_0 + 1 \times c_3(x_1) = 0\)。
- 继续求解子问题，重复至收敛。

10. 算法特点与总结

混合优势：
- 积极集法减少计算量。
- 乘子法稳定处理等式约束。
- 过滤器避免罚参数调优，平衡目标与可行性。
- 信赖域保证模型可靠性。
- 自适应屏障温和处理不等式，避免数值病态。
全局收敛：在适当条件下，算法能收敛到满足KKT条件的点，即使问题非凸。
应用提示：此框架适合中小规模非凸问题，对于高维问题需注意Hessian近似和子问题求解效率。

通过以上步骤，该混合算法可系统求解给定非凸约束优化问题，兼具鲁棒性与效率。

序列二次规划-积极集-乘子法-过滤器-信赖域-自适应屏障混合算法进阶题题目描述考虑以下非线性规划问题： \[ \begin{aligned} \min_ {x \in \mathbb{R}^n} \quad & f(x) = e^{x_ 1^2 + 2x_ 2^2} + (x_ 1 - 1)^2 \\ \text{s.t.} \quad & c_ 1(x) = x_ 1^2 + x_ 2^2 - 4 \le 0, \\ & c_ 2(x) = -\ln(x_ 1 + 2) + x_ 2^3 - 1 \le 0, \\ & c_ 3(x) = x_ 1 - 2x_ 2 = 0. \end{aligned} \] 其中 \(n=2\)，目标函数 \(f(x)\) 非凸，包含指数和二次项；\(c_ 1(x)\) 为凸不等式约束（圆盘），\(c_ 2(x)\) 为非凸不等式约束（含对数与立方项），\(c_ 3(x)\) 为线性等式约束。要求设计一种混合算法，结合序列二次规划（SQP）、积极集法、乘子法、过滤器法、信赖域和自适应屏障技术，在保证全局收敛的同时高效处理非凸约束。解题过程循序渐进讲解 1. 问题分析与算法框架挑战：目标函数非凸，约束包含非凸项，传统SQP可能收敛到局部极小或遇到Maratos效应（约束违反振荡）。混合策略： SQP框架：在每步迭代中求解二次规划子问题。积极集法：动态识别起作用约束，降低子问题规模。乘子法：处理等式约束，增强稳定性。过滤器法：避免传统罚函数中罚参数难以选取的问题，平衡目标下降与约束违反。信赖域：控制步长，保证子问题模型足够精确。自适应屏障：将不等式约束转化为屏障函数，屏障参数自适应调整，避免病态。整体流程：在每步迭代中，基于当前点构造拉格朗日函数，利用积极集简化约束，通过乘子法处理等式约束，用自适应屏障处理不等式约束，在信赖域内求解二次规划子问题，并用过滤器判断是否接受迭代点。 2. 算法初始化初始点 \(x_ 0 = (0.5, 0.5)^T\)，满足 \(c_ 3(x_ 0)=0\)（等式约束成立）。初始拉格朗日乘子 \(\lambda_ 0 = (0, 0)^T\)（不等式），\(\mu_ 0 = 0\)（等式）。初始信赖域半径 \(\Delta_ 0 = 1\)，屏障参数 \(\tau_ 0 = 10\)，过滤器 \(\mathcal{F} = \emptyset\)。设置参数：收敛容忍度 \(\epsilon = 10^{-6}\)，屏障衰减因子 \(\eta = 0.1\)，信赖域更新参数 \(0 < \gamma_ 1 < 1 < \gamma_ 2\)。 3. 构造拉格朗日函数与自适应屏障变换标准拉格朗日函数： \[ L(x, \lambda, \mu) = f(x) + \lambda_ 1 c_ 1(x) + \lambda_ 2 c_ 2(x) + \mu c_ 3(x). \] 引入自适应对数屏障处理不等式约束（避免 \(c_ i(x) \ge 0\)）： \[ B(x; \tau) = f(x) - \tau \sum_ {i=1}^2 \ln(-c_ i(x)) + \mu c_ 3(x). \] 这里屏障参数 \(\tau > 0\) 初始较大，随着迭代减小，使屏障函数逼近原问题。自适应更新：若子问题求解成功，则 \(\tau_ {k+1} = \eta \tau_ k\)；否则保持 \(\tau_ k\) 不变。 4. 积极集识别与乘子更新在当前点 \(x_ k\)，计算不等式约束值： \(c_ 1(x_ k) = x_ {k1}^2 + x_ {k2}^2 - 4\)，\(c_ 2(x_ k) = -\ln(x_ {k1}+2) + x_ {k2}^3 - 1\)。积极集 \(\mathcal{A}_ k = \{ i \mid c_ i(x_ k) \ge -\delta \}\)，其中 \(\delta = 10^{-4}\) 为激活阈值。例如：若 \(c_ 1(x_ k) = -0.1 > -\delta\)，则 \(c_ 1\) 处于积极边界。对于等式约束 \(c_ 3\)，乘子 \(\mu_ k\) 通过乘子法更新： \[ \mu_ {k+1} = \mu_ k + \rho c_ 3(x_ k), \] 其中 \(\rho > 0\) 为惩罚参数（本例取 \(\rho=1\)）。乘子法将等式约束纳入增广拉格朗日项，增强收敛稳定性。 5. 序列二次规划子问题构造在 \(x_ k\) 处构造二次近似子问题： \[ \begin{aligned} \min_ {d \in \mathbb{R}^n} \quad & \nabla f(x_ k)^T d + \frac{1}{2} d^T H_ k d \\ \text{s.t.} \quad & \nabla c_ i(x_ k)^T d + c_ i(x_ k) \le 0, \quad i \in \mathcal{A}_ k, \\ & \nabla c_ 3(x_ k)^T d + c_ 3(x_ k) = 0, \\ & \|d\| \le \Delta_ k. \end{aligned} \] 其中 \(H_ k\) 是拉格朗日函数 \(L\) 的Hessian近似，用BFGS拟牛顿法更新： \[ H_ {k+1} = H_ k + \frac{y_ k y_ k^T}{y_ k^T s_ k} - \frac{H_ k s_ k s_ k^T H_ k}{s_ k^T H_ k s_ k}, \] \(s_ k = x_ {k+1} - x_ k\)，\(y_ k = \nabla_ x L(x_ {k+1}, \lambda_ k, \mu_ k) - \nabla_ x L(x_ k, \lambda_ k, \mu_ k)\)。梯度计算示例（在 \(x_ k=(0.5,0.5)\)）： \[ \nabla f = \begin{pmatrix} 2x_ 1 e^{x_ 1^2+2x_ 2^2} + 2(x_ 1-1) \\ 4x_ 2 e^{x_ 1^2+2x_ 2^2} \end{pmatrix}, \quad \nabla c_ 1 = \begin{pmatrix} 2x_ 1 \\ 2x_ 2 \end{pmatrix}, \quad \nabla c_ 2 = \begin{pmatrix} -\frac{1}{x_ 1+2} \\ 3x_ 2^2 \end{pmatrix}, \quad \nabla c_ 3 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}. \] 6. 信赖域内求解子问题子问题是带线性约束的二次规划，可用积极集法或内点法求解。由于维数低（\(n=2\)），可直接用数值求解器（如MATLAB的 quadprog ）求得步长 \(d_ k\)。计算实际下降量与预测下降量： \[ \text{ared}_ k = B(x_ k; \tau_ k) - B(x_ k + d_ k; \tau_ k), \quad \text{pred}_ k = -[ \nabla f(x_ k)^T d_ k + \frac{1}{2} d_ k^T H_ k d_ k ]. \] 更新信赖域半径： \[ \Delta_ {k+1} = \begin{cases} \gamma_ 1 \Delta_ k, & \text{if } \frac{\text{ared}_ k}{\text{pred}_ k} < 0.1, \\ \Delta_ k, & \text{if } 0.1 \le \frac{\text{ared}_ k}{\text{pred}_ k} \le 0.75, \\ \gamma_ 2 \Delta_ k, & \text{if } \frac{\text{ared}_ k}{\text{pred}_ k} > 0.75. \end{cases} \] 这里 \(\gamma_ 1=0.5, \gamma_ 2=2\)。 7. 过滤器判断是否接受迭代点定义：\(h(x) = \sum_ {i=1}^2 \max(0, c_ i(x)) + |c_ 3(x)|\) 衡量约束违反程度。当前点 \(x_ k\) 对应序对 \((f(x_ k), h(x_ k))\)。过滤器 \(\mathcal{F}\) 存储不被接受的序对：若 \((f, h)\) 被某个 \((f', h') \in \mathcal{F}\) 支配（即 \(f \ge f'\) 且 \(h \ge h'\)），则拒绝。接受条件：若 \(x_ k + d_ k\) 满足：要么 \(h(x_ k+d_ k) = 0\)（可行），要么 \((f(x_ k+d_ k), h(x_ k+d_ k))\) 不被 \(\mathcal{F}\) 中任何点支配。若接受，更新 \(x_ {k+1} = x_ k + d_ k\)，并将 \((f(x_ k), h(x_ k))\) 加入过滤器（若 \(h(x_ k) > 0\)）。若拒绝，缩小信赖域 \(\Delta_ k = \gamma_ 1 \Delta_ k\) 并重新求解子问题。 8. 迭代与收敛判断更新乘子 \(\lambda_ i\) 对于积极不等式约束： \[ \lambda_ i^{k+1} = \max(0, \lambda_ i^k + \rho c_ i(x_ {k+1})). \] 检查收敛条件： \[ \|\nabla_ x L(x_ k, \lambda_ k, \mu_ k)\| \infty \le \epsilon, \quad |c_ 3(x_ k)| \le \epsilon, \quad \|\max(c_ i(x_ k), -\lambda_ i)\| \infty \le \epsilon. \] 若未收敛，返回步骤3继续迭代。 9. 示例数值迭代（前两步）初始点 \(x_ 0=(0.5,0.5)\)，计算得： \[ f=2.117, \quad c_ 1=-3.5, \quad c_ 2 \approx -1.18, \quad c_ 3=0, \quad h=0. \] 积极集 \(\mathcal{A}_ 0 = \emptyset\)（约束远离边界）。第一次迭代：子问题：仅等式约束 \(d_ 1 - 2d_ 2 = 0\)，目标为 \(\nabla f^T d + \frac{1}{2} d^T H_ 0 d\)。解得 \(d_ 0 \approx (0.1, 0.05)\)，\(\Delta_ 0=1\)。计算得 \(\text{ared}=0.15\)，\(\text{pred}=0.14\)，比例 \(>0.75\)，接受迭代，扩大信赖域 \(\Delta_ 1=2\)。更新 \(x_ 1=(0.6,0.55)\)，过滤器仍为空（因 \(h=0\)）。第二次迭代：此时 \(c_ 1(x_ 1) \approx -3.33\)，\(c_ 2(x_ 1) \approx -1.15\)，仍非积极。更新乘子 \(\mu_ 1 = \mu_ 0 + 1 \times c_ 3(x_ 1) = 0\)。继续求解子问题，重复至收敛。 10. 算法特点与总结混合优势：积极集法减少计算量。乘子法稳定处理等式约束。过滤器避免罚参数调优，平衡目标与可行性。信赖域保证模型可靠性。自适应屏障温和处理不等式，避免数值病态。全局收敛：在适当条件下，算法能收敛到满足KKT条件的点，即使问题非凸。应用提示：此框架适合中小规模非凸问题，对于高维问题需注意Hessian近似和子问题求解效率。通过以上步骤，该混合算法可系统求解给定非凸约束优化问题，兼具鲁棒性与效率。