合并相邻同色方块的最小成本问题（相邻同色可消除进阶版）
字数 4600 2025-12-07 04:29:42

合并相邻同色方块的最小成本问题（相邻同色可消除进阶版）

题目描述
给定一个由小写字母组成的字符串 s，每个字符代表一种颜色的方块。你可以进行如下操作：选择一段连续的同色方块子串，将其全部消除。消除长度为 len 的子串的成本是 len，但消除后，其左右两侧的剩余部分（如果有）会连接在一起。你的目标是找到消除整个字符串 s 的最小总成本。

注意：本题与“相邻同色可合并/消除”的经典问题不同，此处一次操作可以消除任意长度的连续同色方块（而不只是两个相邻相同），消除后两侧连接，可能形成新的连续同色段。例如，"aaabb"，你可以一次消除三个连续的 'a'，成本为3，剩下 "bb"，然后消除两个 'b'，成本为2，总成本为5。但你也可以先消除中间的 'a'（成本1），剩下 "aabb"，然后消除两个 'a'（成本2），再消除两个 'b'（成本2），总成本为5。但可能存在更优策略。

解题思路
这是一个区间DP问题，我们需要考虑如何将字符串拆分成子区间，并计算每个子区间完全消除的最小成本。
定义 dp[l][r] 为消除子串 s[l:r+1]（包含两端）的最小成本。
我们需要思考状态转移：对于区间 [l, r]，有两种情况：

  1. 将整个区间视为一个整体一次消除（当 s[l] == s[r] 时才有可能，但不一定最优，因为中间可能夹着其他颜色）。
  2. 将区间分成若干部分分别消除，但需要考虑消除中间部分后，两端可能因为同色而“合并”成更长的同色段，从而减少后续消除成本。这是本题的关键难点。

一个经典思路是：在区间 [l, r] 中，我们考虑第一个字符 s[l] 如何被消除。它必须和某个同色的位置 k 一起消除（可能 k 在区间中间或右端），在消除 s[l] 和 s[k] 之间的所有方块时，我们可以把中间的部分先消除干净，使 s[l] 和 s[k] 相邻，然后一起消除。但注意，s[l] 和 s[k] 可能和区间内的其他同色位置一起消除，所以可以扩展为：将区间分成三部分：[l+1, k-1]、[k, r]，但这样不好处理。更通用的方法是引入“辅助信息”。

标准解法：
定义 dp[l][r] 为将区间 [l, r] 消除到“与 s[l] 同色的连续段”的最小成本，然后最终再加上消除这个同色段的成本。但这样比较复杂。
更常见的定义是：dp[l][r] 表示消除区间 [l, r] 的最小成本，但转移时考虑将区间按“最后被消除的同色段”划分。
我们可以先预处理，将原字符串压缩成“颜色+长度”的形式，但本题是简单版本，每个字符就是一个方块，长度都是1，但连续同色可以一起消除。
实际我们可以采用如下状态转移：

  • 如果 l > r，区间为空，成本为0。
  • 一般情况，我们考虑将区间分成两部分：[l, k] 和 [k+1, r] 分别消除，总成本为 dp[l][k] + dp[k+1][r]。但这样会忽略“中间消除后两端合并”的情况。
    例如 "aba"，如果先消除中间的 'b'，剩下 "aa"，然后可以一起消除，总成本为 1+2=3，而直接分成两段消除则成本更高。
    所以我们需要特殊处理当 s[l] == s[r] 时，可以先消除中间部分，使 s[l] 和 s[r] 相邻，然后和区间内其他同色的一起消除。

优化思路：
一个经典DP定义是：dp[l][r] 表示消除区间 [l, r] 的最小成本，但额外记录“消除后，左右两侧颜色”信息？不现实，因为两侧颜色可能不同。
更常见的做法是：定义 dp[l][r] 表示在消除区间 [l, r] 时，假设在区间左侧“已经有一个与 s[l] 同色的连续段，可以与之合并消除”，那么消除整个区间（包括左侧那个虚拟段）的最小成本。但这需要额外状态。

简化版本（本题常用）：
设 dp[l][r] 表示消除区间 [l, r] 的最小成本。
转移时，枚举与 s[l] 同色的位置 k（l < k <= r 且 s[l] == s[k]），考虑将区间 [l+1, k-1] 先消除，使 s[l] 和 s[k] 相邻，然后它们可以与区间 [k, r] 中其他同色的一起消除。但这样不好处理，因为 [k, r] 中可能还有同色的。

正确状态设计：
定义 dp[l][r] 表示消除区间 [l, r] 的最小成本。
转移方程：

  1. 直接消除整个区间为同色段（如果全是同色）：成本为区间长度。
  2. 否则，我们考虑第一个字符 s[l] 如何被消除。它要么单独消除（成本1 + dp[l+1][r]），要么与后面某个同色的位置 k 一起消除。
    如果与 k 一起消除，则先消除 [l+1, k-1]，使 s[l] 和 s[k] 相邻，然后它们成为同色连续段的一部分，再消除这个连续段和区间 [k, r] 的剩余部分。但这样很复杂。

更清晰的解法（区间DP标准解法之一）：
定义 dp[l][r] 表示将区间 [l, r] 消除的最小成本，但允许“在消除前，区间左侧已经有一个与 s[l] 同色的连续段（长度可为0）”，那么总成本为 dp[l][r]。
但通常我们使用更简单的思路：
设 dp[l][r] 为消除区间 [l, r] 的最小成本。
状态转移：

  • 如果 l == r，成本为1。
  • 如果 s[l] == s[r]，则我们可以先消除 [l+1, r-1]，使 s[l] 和 s[r] 相邻，然后它们可以一起消除（与区间内其他同色的合并），所以 dp[l][r] = dp[l+1][r-1] + (s[l]==s[r] ? 0 : 0) ？不对，因为即使同色，也不一定最优一起消除。
    实际上，当 s[l] == s[r] 时，我们可以考虑最后消除 s[l] 和 s[r] 所在的整个同色段，那么我们可以将区间分成：[l, k] 和 [k+1, r]，但要求 s[l] == s[k] 且 s[k] == s[r]，这样中间可以连接。但更通用的方法是：

最终常用状态转移（参考“移除盒子”问题的简化版，但这里每次消除连续同色段成本是段长）：
我们考虑“将区间 [l, r] 消除，且假设在消除前，区间左侧有 cnt 个与 s[l] 同色的连续方块（已准备好一起消除）”，这个 cnt 是额外的状态。但本题是相邻同色消除，可以简化：
我们可以先预处理，将连续同色段压缩成一个“块”，每个块有颜色和长度，然后 DP 时考虑消除整个块序列。但题目是每个字符一个方块，所以块长度都是1，但连续同色可一起消除。
简化模型：设字符串已经是压缩后的颜色序列（无连续同色），例如 "abac"，则一次消除只能消除一个位置（成本1），但消除后相邻颜色可能相同，可连续消除。这实际上和“移除盒子”问题类似，但每次消除成本是消除的个数。
但我们可以用区间DP直接做：

定义 dp[l][r] 为消除区间 [l, r] 的最小成本。
转移：

  1. 单独消除 s[l]：成本 = 1 + dp[l+1][r]。
  2. 枚举 k 在 [l+1, r] 中，如果 s[l] == s[k]，则考虑先将 [l+1, k-1] 消除，使 s[l] 和 s[k] 相邻，然后一起消除，但 [k, r] 部分还未消除。此时，s[l] 和 s[k] 已经是相邻同色，它们可以视为一个整体（长度为2），在消除 [k, r] 之前或之后消除。但这样不好转移。

实际上，我们可以用另一种常见思路：
设 dp[l][r] 表示消除区间 [l, r] 的最小成本，且假设在区间左侧“附加了若干个与 s[l] 同色的方块”（这些方块是之前剩下的，可以和 s[l] 一起消除），但这样需要三维DP。
本题数据范围较小（假设 n <= 100），可以用三维DP：dp[l][r][k] 表示在区间 [l, r] 的左侧，还有 k 个与 s[l] 同色的方块（这些方块不是区间内的），消除“这 k 个方块 + 区间 [l, r]”的最小成本。
转移：

  • 如果消除这 k 个方块和 s[l] 一起（即消除 k+1 个同色块），成本 = (k+1) + dp[l+1][r][0]。
  • 或者，我们保留这 k 个方块，在区间内找一个位置 m（l < m <= r 且 s[l] == s[m]），先消除 [l+1, m-1]，使左侧的 k 个方块和 s[l] 与 s[m] 相邻，然后一起考虑，即状态转移为：
    dp[l][r][k] = min(dp[l][r][k], dp[l+1][m-1][0] + dp[m][r][k+1])。

初始：dp[l][r][k] 初始为无穷大，dp[l][r][0] 为单独消除区间的最小成本。
目标：dp[0][n-1][0]。

详细步骤（三维DP法）：

  1. 预处理：无。
  2. 状态定义：dp[l][r][k] 如上，0 <= l <= r < n，0 <= k < n（k 最大为区间长度）。
  3. 初始化：dp[l][r][k] = INF，dp[l][l][k] = (k+1)（因为消除 k 个外部同色块和这一个字符，成本为块长度 k+1）。
  4. 状态转移（区间长度从小到大）：
    • 对于区间 [l, r] 和 k：
      a. 直接消除左侧 k 个块和 s[l]：dp[l][r][k] = min(dp[l][r][k], (k+1) + dp[l+1][r][0])。
      b. 枚举 m 在 [l+1, r]，如果 s[l] == s[m]，则先消除 [l+1, m-1]，使左侧 k 个块和 s[l] 与 s[m] 结合，然后处理 [m, r] 且左侧有 k+1 个块（因为加上了 s[l]）：
      dp[l][r][k] = min(dp[l][r][k], dp[l+1][m-1][0] + dp[m][r][k+1])。
  5. 最终答案：dp[0][n-1][0]。

举例：s = "abaca"，n=5。

  • 区间 [0,4]，k=0，s[0]='a'，枚举 m=2（s[2]='a'），则 dp[0][4][0] = dp[1][1][0] + dp[2][4][1] = 1 + ... 逐步计算可得结果。

时间复杂度：O(n^4)（因为三重循环区间+一重枚举m），但实际 n 较小时可接受。可优化为 O(n^3) 但本题不要求。

总结：
本题是区间DP中“相邻同色消除”问题的变种，重点在于处理消除中间部分后两侧同色合并的情况，通过增加状态“左侧附加同色块个数”来准确计算合并后的消除成本，从而得到最优解。

合并相邻同色方块的最小成本问题（相邻同色可消除进阶版） 题目描述 给定一个由小写字母组成的字符串 s ，每个字符代表一种颜色的方块。你可以进行如下操作：选择一段连续的同色方块子串，将其全部消除。消除长度为 len 的子串的成本是 len ，但消除后，其左右两侧的剩余部分（如果有）会连接在一起。你的目标是找到消除整个字符串 s 的最小总成本。 注意：本题与“相邻同色可合并/消除”的经典问题不同，此处一次操作可以消除任意长度的连续同色方块（而不只是两个相邻相同），消除后两侧连接，可能形成新的连续同色段。例如， "aaabb" ，你可以一次消除三个连续的 'a' ，成本为3，剩下 "bb" ，然后消除两个 'b' ，成本为2，总成本为5。但你也可以先消除中间的 'a' （成本1），剩下 "aabb" ，然后消除两个 'a' （成本2），再消除两个 'b' （成本2），总成本为5。但可能存在更优策略。 解题思路 这是一个区间DP问题，我们需要考虑如何将字符串拆分成子区间，并计算每个子区间完全消除的最小成本。 定义 dp[l][r] 为消除子串 s[l:r+1] （包含两端）的最小成本。 我们需要思考状态转移：对于区间 [l, r] ，有两种情况： 将整个区间视为一个整体一次消除（当 s[l] == s[r] 时才有可能，但不一定最优，因为中间可能夹着其他颜色）。 将区间分成若干部分分别消除，但需要考虑消除中间部分后，两端可能因为同色而“合并”成更长的同色段，从而减少后续消除成本。这是本题的关键难点。 一个经典思路是：在区间 [l, r] 中，我们考虑第一个字符 s[l] 如何被消除。它必须和某个同色的位置 k 一起消除（可能 k 在区间中间或右端），在消除 s[l] 和 s[k] 之间的所有方块时，我们可以把中间的部分先消除干净，使 s[l] 和 s[k] 相邻，然后一起消除。但注意， s[l] 和 s[k] 可能和区间内的其他同色位置一起消除，所以可以扩展为：将区间分成三部分： [l+1, k-1] 、 [k, r] ，但这样不好处理。更通用的方法是引入“辅助信息”。 标准解法 ： 定义 dp[l][r] 为将区间 [l, r] 消除到“与 s[l] 同色的连续段”的最小成本，然后最终再加上消除这个同色段的成本。但这样比较复杂。 更常见的定义是： dp[l][r] 表示消除区间 [l, r] 的最小成本，但转移时考虑将区间按“最后被消除的同色段”划分。 我们可以先预处理，将原字符串压缩成“颜色+长度”的形式，但本题是简单版本，每个字符就是一个方块，长度都是1，但连续同色可以一起消除。 实际我们可以采用如下状态转移： 如果 l > r ，区间为空，成本为0。 一般情况，我们考虑将区间分成两部分： [l, k] 和 [k+1, r] 分别消除，总成本为 dp[l][k] + dp[k+1][r] 。但这样会忽略“中间消除后两端合并”的情况。 例如 "aba" ，如果先消除中间的 'b' ，剩下 "aa" ，然后可以一起消除，总成本为 1+2=3，而直接分成两段消除则成本更高。 所以我们需要特殊处理当 s[l] == s[r] 时，可以先消除中间部分，使 s[l] 和 s[r] 相邻，然后和区间内其他同色的一起消除。 优化思路 ： 一个经典DP定义是： dp[l][r] 表示消除区间 [l, r] 的最小成本，但额外记录“消除后，左右两侧颜色”信息？不现实，因为两侧颜色可能不同。 更常见的做法是：定义 dp[l][r] 表示在消除区间 [l, r] 时，假设在区间左侧“已经有一个与 s[l] 同色的连续段，可以与之合并消除”，那么消除整个区间（包括左侧那个虚拟段）的最小成本。但这需要额外状态。 简化版本（本题常用）： 设 dp[l][r] 表示消除区间 [l, r] 的最小成本。 转移时，枚举与 s[l] 同色的位置 k （ l < k <= r 且 s[l] == s[k] ），考虑将区间 [l+1, k-1] 先消除，使 s[l] 和 s[k] 相邻，然后它们可以与区间 [k, r] 中其他同色的一起消除。但这样不好处理，因为 [k, r] 中可能还有同色的。 正确状态设计 ： 定义 dp[l][r] 表示消除区间 [l, r] 的最小成本。 转移方程： 直接消除整个区间为同色段（如果全是同色）：成本为区间长度。 否则，我们考虑第一个字符 s[l] 如何被消除。它要么单独消除（成本1 + dp[ l+1][ r]），要么与后面某个同色的位置 k 一起消除。 如果与 k 一起消除，则先消除 [l+1, k-1] ，使 s[l] 和 s[k] 相邻，然后它们成为同色连续段的一部分，再消除这个连续段和区间 [k, r] 的剩余部分。但这样很复杂。 更清晰的解法 （区间DP标准解法之一）： 定义 dp[l][r] 表示将区间 [l, r] 消除的最小成本，但允许“在消除前，区间左侧已经有一个与 s[l] 同色的连续段（长度可为0）”，那么总成本为 dp[l][r] 。 但通常我们使用更简单的思路： 设 dp[l][r] 为消除区间 [l, r] 的最小成本。 状态转移： 如果 l == r ，成本为1。 如果 s[l] == s[r] ，则我们可以先消除 [l+1, r-1] ，使 s[l] 和 s[r] 相邻，然后它们可以一起消除（与区间内其他同色的合并），所以 dp[l][r] = dp[l+1][r-1] + (s[l]==s[r] ? 0 : 0) ？不对，因为即使同色，也不一定最优一起消除。 实际上，当 s[l] == s[r] 时，我们可以考虑最后消除 s[l] 和 s[r] 所在的整个同色段，那么我们可以将区间分成： [l, k] 和 [k+1, r] ，但要求 s[l] == s[k] 且 s[k] == s[r] ，这样中间可以连接。但更通用的方法是： 最终常用状态转移 （参考“移除盒子”问题的简化版，但这里每次消除连续同色段成本是段长）： 我们考虑“将区间 [l, r] 消除，且假设在消除前，区间左侧有 cnt 个与 s[l] 同色的连续方块（已准备好一起消除）”，这个 cnt 是额外的状态。但本题是相邻同色消除，可以简化： 我们可以先预处理，将连续同色段压缩成一个“块”，每个块有颜色和长度，然后 DP 时考虑消除整个块序列。但题目是每个字符一个方块，所以块长度都是1，但连续同色可一起消除。 简化模型：设字符串已经是压缩后的颜色序列（无连续同色），例如 "abac" ，则一次消除只能消除一个位置（成本1），但消除后相邻颜色可能相同，可连续消除。这实际上和“移除盒子”问题类似，但每次消除成本是消除的个数。 但我们可以用区间DP直接做： 定义 dp[l][r] 为消除区间 [l, r] 的最小成本。 转移： 单独消除 s[l] ：成本 = 1 + dp[ l+1][ r ]。 枚举 k 在 [l+1, r] 中，如果 s[l] == s[k] ，则考虑先将 [l+1, k-1] 消除，使 s[l] 和 s[k] 相邻，然后一起消除，但 [k, r] 部分还未消除。此时， s[l] 和 s[k] 已经是相邻同色，它们可以视为一个整体（长度为2），在消除 [k, r] 之前或之后消除。但这样不好转移。 实际上，我们可以用另一种常见思路： 设 dp[l][r] 表示消除区间 [l, r] 的最小成本，且假设在区间左侧“附加了若干个与 s[l] 同色的方块”（这些方块是之前剩下的，可以和 s[l] 一起消除），但这样需要三维DP。 本题数据范围较小（假设 n <= 100），可以用三维DP： dp[l][r][k] 表示在区间 [l, r] 的左侧，还有 k 个与 s[l] 同色的方块（这些方块不是区间内的），消除“这 k 个方块 + 区间 [ l, r ]”的最小成本。 转移： 如果消除这 k 个方块和 s[l] 一起（即消除 k+1 个同色块），成本 = (k+1) + dp[ l+1][ r][ 0 ]。 或者，我们保留这 k 个方块，在区间内找一个位置 m （ l < m <= r 且 s[l] == s[m] ），先消除 [l+1, m-1] ，使左侧的 k 个方块和 s[l] 与 s[m] 相邻，然后一起考虑，即状态转移为： dp[l][r][k] = min(dp[l][r][k], dp[l+1][m-1][0] + dp[m][r][k+1]) 。 初始： dp[l][r][k] 初始为无穷大， dp[l][r][0] 为单独消除区间的最小成本。 目标： dp[0][n-1][0] 。 详细步骤 （三维DP法）： 预处理：无。 状态定义： dp[l][r][k] 如上， 0 <= l <= r < n ， 0 <= k < n （k 最大为区间长度）。 初始化： dp[l][r][k] = INF ， dp[l][l][k] = (k+1) （因为消除 k 个外部同色块和这一个字符，成本为块长度 k+1）。 状态转移（区间长度从小到大）： 对于区间 [l, r] 和 k： a. 直接消除左侧 k 个块和 s[l] ： dp[l][r][k] = min(dp[l][r][k], (k+1) + dp[l+1][r][0]) 。 b. 枚举 m 在 [l+1, r] ，如果 s[l] == s[m] ，则先消除 [l+1, m-1] ，使左侧 k 个块和 s[l] 与 s[m] 结合，然后处理 [m, r] 且左侧有 k+1 个块（因为加上了 s[l] ）： dp[l][r][k] = min(dp[l][r][k], dp[l+1][m-1][0] + dp[m][r][k+1]) 。 最终答案： dp[0][n-1][0] 。 举例 ：s = "abaca"，n=5。 区间 [ 0,4]，k=0，s[ 0]='a'，枚举 m=2（s[ 2]='a'），则 dp[ 0][ 4][ 0] = dp[ 1][ 1][ 0] + dp[ 2][ 4][ 1 ] = 1 + ... 逐步计算可得结果。 时间复杂度 ：O(n^4)（因为三重循环区间+一重枚举m），但实际 n 较小时可接受。可优化为 O(n^3) 但本题不要求。 总结 ： 本题是区间DP中“相邻同色消除”问题的变种，重点在于处理消除中间部分后两侧同色合并的情况，通过增加状态“左侧附加同色块个数”来准确计算合并后的消除成本，从而得到最优解。