最小代价构造回文串

题目描述
给定一个字符串 s，你可以在任意位置插入任意字符。每次插入操作都有一个代价，具体规则如下：

• 在字符串开头插入一个字符的代价为 cost_start。
• 在字符串结尾插入一个字符的代价为 cost_end。
• 在字符串中间（即非开头、非结尾）插入一个字符的代价为 cost_mid。

你的目标是通过若干次插入操作，使得 s 变成一个回文串，并且总代价最小。请计算出这个最小总代价。
字符串长度 n 满足 1 ≤ n ≤ 2000，代价值为正整数。

示例
输入：
s = "abac"
cost_start = 5, cost_end = 3, cost_mid = 2
输出：
8
解释：可以通过在末尾插入 'b'（代价3）和在开头插入 'c'（代价5），得到回文串 "cabac"，总代价为 8。

解题过程
这是一个线性动态规划问题，我们需要从原字符串出发，通过插入字符构造回文串，并最小化代价。关键在于如何定义状态，以及如何根据插入位置的不同代价来设计状态转移。

步骤1：理解问题本质
我们有一个原始字符串 s，长度为 n。最终要得到一个回文串，这个回文串包含了原字符串的所有字符，且顺序不变（因为只能在原串中插入，不能删除或重排原字符）。
这就相当于：我们要在 s 中找到一组“匹配”关系，使得每个原字符都能与另一个相同字符匹配（可以与自己匹配），最终所有匹配的字符对（或单个中心字符）构成回文串。
如果原字符 s[i] 和 s[j] 匹配（i <= j），那么它们之间的所有字符（包括它们自己）必须通过插入来补全，使得整体对称。
插入操作的代价取决于插入位置是在最终回文串的开头、结尾还是中间。

步骤2：定义状态
定义 dp[i][j] 表示将子串 s[i..j]（闭区间）通过插入操作变成回文串的最小代价。
最终答案是 dp[0][n-1]。

步骤3：状态转移分析
我们考虑子串 s[i..j] 如何变成回文串。

• 如果 s[i] == s[j]，那么我们可以让 s[i] 和 s[j] 直接匹配，然后只需要处理内部子串 s[i+1..j-1] 即可。
  但要注意边界情况：

  • 当 i == j 时，子串只有一个字符，它自身就是回文串，不需要插入，代价为0。
  • 当 i+1 > j-1 即 j-i <= 1 且 s[i]==s[j] 时，实际上子串已经是回文（单个字符或两个相同字符），代价为0。
    所以转移为：

  if s[i] == s[j]:
      dp[i][j] = dp[i+1][j-1]   # 注意 i+1 <= j-1 时才有效
  

• 如果 s[i] != s[j]，那么我们必须通过插入字符来匹配 s[i] 或 s[j]。有两种方式：

  1. 在右侧（j 的右边）插入一个字符等于 s[i]，这样 s[i] 就和这个新插入的字符匹配，然后我们只需处理 s[i+1..j] 变成回文。
     新插入的字符位置在哪里？这取决于最终回文串的结构。但我们可以通过子问题的代价和当前插入的代价来推算。
  2. 在左侧（i 的左边）插入一个字符等于 s[j]，这样 s[j] 与新字符匹配，然后处理 s[i..j-1] 变成回文。

  但插入代价与插入位置相关，而位置取决于当前处理的子串在最终回文串中的位置。比如，如果当前子串是最终回文串的整个串（即 i=0, j=n-1），那么在左侧插入就是在开头插入，代价为 cost_start；在右侧插入就是在结尾插入，代价为 cost_end。
  但当我们处理子问题 dp[i+1][j] 时，它对应的子串在最终回文串中可能不再是整个串，所以我们需要在状态中记录当前子串在最终回文串中是处于开头、中间还是结尾部分吗？

  实际上，我们可以在状态中额外记录当前子串的“上下文”信息，但这样状态会变成三维，复杂度增加。
  另一种思路是：我们注意到，最终回文串的构造可以看作是从原串两端向中间逐步匹配的过程。每次我们考虑当前最外层的一对字符（原串的左右端字符），决定如何匹配它们。
  插入操作的代价取决于插入位置是在“当前已构造的回文串”的开头、中间还是结尾。
  但“当前已构造的回文串”是随着操作动态变化的，我们难以在dp状态中直接体现。

  为了简化，我们可以将问题转化为：原字符串的字符必须按顺序出现在最终回文串中，我们可以在其前后或中间插入字符。最终回文串的长度至少为 n，至多为 2n-1（当每个字符都作为中心时）。
  我们可以从另一个角度设计dp：
  定义 dp[i][j] 为将子串 s[i..j] 变成回文串的最小代价，且这个回文串是最终回文串的一个“连续子串”，但它的左右边界可能不是最终回文串的边界。
  那么，当我们考虑在左侧或右侧插入字符时，插入的代价与这个子串在最终回文串中的位置无关，而是与插入动作本身有关？
  不对，代价是与插入位置在整个字符串中的位置相关（开头、中间、结尾），而不是相对于子串的位置。

  仔细分析示例：
  s = "abac"，目标回文串 "cabac"。
  原串字符顺序 a b a c，在最终串中变为 c a b a c。
  我们可以将构造过程看作是从原串生成一个回文序列，原串每个字符要么与另一个原字符匹配，要么与新插入字符匹配。
  插入的代价取决于新字符插入到最终串的哪个位置。最终串的位置由已构造的部分决定。

  我们可以这样考虑动态规划：
  设最终回文串为 T，原串 s 的字符依次出现在 T 中，顺序不变。我们可以将 s 的字符逐个匹配到 T 的对称位置上。
  这其实是一个区间dp，但代价计算需要知道当前子串对应的回文部分是否触及最终回文串的边界。

  我们需要在状态中增加一维，表示当前子串在最终回文串中是否是前缀（即左边界是最终串的开头）或后缀（右边界是最终串的结尾）或两者都是。
  但这样状态太多。

  更直接的方法是：将问题转化为“通过插入字符使得 s 变成回文串，且每次插入的代价取决于插入位置是开头、中间还是结尾”。
  我们可以从最终回文串的角度思考：最终回文串是由 s 的子序列（即原串全部字符，因为必须全部保留）加上一些插入字符构成。
  那么，我们可以用区间dp计算将 s[i..j] 变成回文串的最小代价，但代价计算需要在合并时考虑插入位置。

  观察发现，当我们处理 s[i..j] 时，如果我们在子串左侧插入字符匹配 s[j]，那么这个新插入的字符在最终串中的位置可能是：

  • 如果当前子串 s[i..j] 的左边界 i 就是原串的左边界 0，那么这次插入就是在整个最终回文串的开头，代价为 cost_start。
  • 否则，这次插入是在某个中间位置，代价为 cost_mid。
    类似地，如果在右侧插入字符匹配 s[i]，那么：
  • 如果 j 是原串的右边界 n-1，则插入在最终串的结尾，代价 cost_end。
  • 否则，代价为 cost_mid。

  因此，我们需要在 dp 状态中记录当前子串是否触及原串的左右边界。
  但原串边界是固定的，我们可以在 dp 状态中增加两个标志位，但这样状态是四维，复杂度高。
  我们可以用另一种技巧：将原串的左右边界信息通过 dp 的调用方式传递。
  我们定义函数 solve(i, j, left_flag, right_flag) 表示将 s[i..j] 变成回文串的最小代价，且 left_flag 表示当前子串的左边界是否就是原串的左边界（即 i==0），right_flag 表示右边界是否就是原串的右边界（即 j==n-1）。
  这样，状态是 dp[i][j][2][2]，i 和 j 各最多 2000，总状态数 200020004 太大，会超内存。
  我们需要优化。

  注意到 left_flag 只与 i 是否为 0 有关，right_flag 只与 j 是否为 n-1 有关。
  所以我们可以将 dp 定义为 dp[i][j]，但通过 i 和 j 的值就能知道边界标志：

  • 如果 i==0，则左边界是原串开头。
  • 如果 j==n-1，则右边界是原串结尾。
    因此，在转移时，我们可以根据 i 和 j 判断插入代价。

  所以，状态转移可以写为：
  对于区间 [i, j]：

  1. 如果 s[i] == s[j]：
     如果 i==j，dp[i][j]=0。
     否则，dp[i][j] = dp[i+1][j-1]（因为两端字符已匹配，不需要额外插入）。
  2. 如果 s[i] != s[j]：
     我们有两种选择：
     (a) 在左侧插入字符匹配 s[j]，则新代价 = dp[i][j-1] + cost_left，其中 cost_left 取决于 i 是否为0：如果 i==0，则插入在最终串开头，cost_left = cost_start；否则 cost_left = cost_mid。
     (b) 在右侧插入字符匹配 s[i]，则新代价 = dp[i+1][j] + cost_right，其中 cost_right 取决于 j 是否为 n-1：如果 j==n-1，则插入在最终串结尾，cost_right = cost_end；否则 cost_right = cost_mid。
     取两者最小值。

  但这样正确吗？我们检查示例：
  s="abac", n=4, cost_start=5, cost_end=3, cost_mid=2。
  计算 dp[0][3]：
  s[0]!=s[3]（a!=c），则考虑：

  • 左侧插入匹配 s[3]（即c）：i=0，所以 cost_left=cost_start=5，需要 dp[0][2]。
  • 右侧插入匹配 s[0]（即a）：j=3==n-1，所以 cost_right=cost_end=3，需要 dp[1][3]。
    我们需要先计算子问题。

  这种转移方式实际上假设了插入操作只在当前子串的紧邻左侧或右侧进行，且插入的字符与当前子串的一端相同。这符合“通过插入使两端匹配”的逻辑。

  我们需要按区间长度递增的顺序计算 dp。
  初始条件：长度为1的区间 dp[i][i]=0（单个字符已是回文）。
  长度为2的区间 [i,i+1]：
  如果 s[i]==s[i+1]，dp=0。
  否则，考虑两种插入：

  • 左侧插入匹配 s[i+1]：cost_left 取决于 i==0? cost_start:cost_mid，子问题 dp[i][i]（即长度为1，代价0），总代价=cost_left。
  • 右侧插入匹配 s[i]：cost_right 取决于 i+1==n-1? cost_end:cost_mid，子问题 dp[i+1][i+1]=0，总代价=cost_right。
    取 min。

  我们来计算示例：
  s="abac", indices 0:a,1:b,2:a,3:c。
  n=4, cost_start=5, cost_end=3, cost_mid=2。
  先算长度1：dp[0][0]=0, dp[1][1]=0, dp[2][2]=0, dp[3][3]=0。
  长度2：
  [0,1] (a,b): 不等。
  左侧插入匹配 b：i=0 -> cost_start=5，dp[0][0]=0，总5。
  右侧插入匹配 a：j=1不是n-1 -> cost_mid=2，dp[1][1]=0，总2。
  所以 dp[0][1]=min(5,2)=2。
  [1,2] (b,a): 不等。
  左侧插入匹配 a：i=1不是0 -> cost_mid=2，dp[1][1]=0，总2。
  右侧插入匹配 b：j=2不是n-1 -> cost_mid=2，dp[2][2]=0，总2。
  dp[1][2]=2。
  [2,3] (a,c): 不等。
  左侧插入匹配 c：i=2不是0 -> cost_mid=2，dp[2][2]=0，总2。
  右侧插入匹配 a：j=3是n-1 -> cost_end=3，dp[3][3]=0，总3。
  dp[2][3]=min(2,3)=2。
  长度3：
  [0,2] (a,b,a): s[0]==s[2] (a==a)，所以 dp[0][2]=dp[1][1]=0。
  [1,3] (b,a,c): 不等。
  左侧插入匹配 c：i=1不是0 -> cost_mid=2，需要 dp[1][2]=2，总4。
  右侧插入匹配 b：j=3是n-1 -> cost_end=3，需要 dp[2][3]=2，总5。
  dp[1][3]=min(4,5)=4。
  长度4：
  [0,3] (a,b,a,c): s[0]!=s[3]。
  左侧插入匹配 c：i=0 -> cost_start=5，需要 dp[0][2]=0，总5。
  右侧插入匹配 a：j=3是n-1 -> cost_end=3，需要 dp[1][3]=4，总7。
  dp[0][3]=min(5,7)=5。
  但示例答案是8，我们得到5，说明有问题。

  我们的dp计算可能忽略了某些情况。检查示例构造："abac" -> 在结尾插入 'b'（代价3）得到 "abacb"，不是回文；再在开头插入 'c'（代价5）得到 "cabacb"，也不是回文。实际上正确构造是：开头插'c'，结尾插'b'，得到"cabac"，总代价8。
  按照我们的dp，对于 [0,3]，我们选择左侧插入匹配 c，代价5，然后子问题 [0,2] 已经是回文（a,b,a），所以总代价5。但这样得到的字符串是什么？
  左侧插入字符 c 匹配 s[3]（原串的'c'），那么新字符c在最终串的最左边，原串"abac"保持顺序放在右边，得到"c a b a c"？但原串的最后一个字符c在右边，与插入的c对称，所以最终串是"c a b a c"，这正是回文，且代价5。但示例说最小代价是8，为什么有差异？
  因为我们的dp中，左侧插入匹配 s[3] 意味着在左侧插入一个字符等于 s[3]（即'c'），但原串的'c'还在最右边，这样最终串有两个'c'，一左一右，中间是"aba"，确实是回文。但为什么示例答案更大？
  我们重新读题：在任意位置插入任意字符。注意，插入的字符可以是任意的，不一定要与原串某个字符相同。但我们dp中“左侧插入匹配 s[j]”意味着插入的字符等于 s[j]，这样 s[j] 就可以与这个新字符对称。但示例中，他们是在末尾插入'b'，在开头插入'c'，使得原串的'a'与'a'匹配，原串的'b'与插入的'b'匹配，原串的'c'与插入的'c'匹配。
  按照我们的dp方案，左侧插入'c'匹配原串的'c'，代价5，此时原串的'a'、'b'、'a'尚未匹配。但我们有子问题 [0,2]="aba"，它本身已经是回文（两端字符相同，中间一个字符），所以不需要额外操作。总代价5。
  但这是可行的吗？最终串为"c" + "aba" + "c" = "cabac"，确实回文，且包含了原串所有字符（顺序为 a b a c），只不过原串的'c'在最后，新插入的'c'在最前。这看起来完全正确，且代价只有5，但示例答案是8，说明我们的代价计算可能不对。
  再看题目：每次插入操作的代价取决于位置：开头插入代价 cost_start，结尾插入代价 cost_end，中间插入代价 cost_mid。
  在我们的方案中，我们只在开头插入了一个'c'，代价5，没有在结尾插入，所以总代价5。但原串的'b'没有匹配，为什么？原串"abac"中，'b'在中间，它需要与另一个'b'对称，但我们的最终串"cabac"中，位置：c a b a c，原串的'b'在中间，它的对称位置是自己（作为中心），但回文串长度为奇数时中心字符可以单独。所以'b'可以作为中心，不需要匹配。
  这样确实可以。但题目要求“通过插入操作使s变成回文串”，没有要求所有字符都必须匹配，所以这个方案是合法的。
  那么示例答案8可能是错误的？或者我们的理解有误？让我们用dp再算一下：
  dp[0][3] = min(5 + dp[0][2], 3 + dp[1][3]) = min(5+0, 3+4) = min(5,7) = 5。
  所以根据我们的dp，最小代价是5，而不是8。
  但题目示例输出是8，说明我们的dp可能漏掉了一些限制条件。
  仔细看示例解释：他们通过在末尾插入'b'（代价3）和在开头插入'c'（代价5），得到回文串"cabac"，总代价8。
  为什么他们不采用我们的方案（只在开头插入'c'，代价5）？因为原串是"abac"，如果只在开头插入'c'，得到的新串是"c"+"abac" = "cabac"。但原串的最后一个字符是'c'，它在"cabac"中的位置是最后一个，而开头的'c'是新插入的，所以原串的'c'在最后，新'c'在最前，中间是"aba"。这确实是回文。但这里原串的字符顺序是 a b a c，在新串中顺序是 a b a c，没有改变，所以是合法的。
  但为什么示例不采用这个更便宜的方案？可能是因为题目中“插入”操作是指在字符串的任意位置插入，但新串"cabac"中，原串的字符相对位置是 a b a c，这没问题。
  所以，可能是题目示例的答案给错了？或者我们的dp状态转移有漏洞。

  我们检查另一种方案：原串"abac"，如果我们想在开头插入'c'，那么原串的'c'在末尾，它们对称，中间的"aba"是回文，所以整个是回文。这只需要一次插入，代价5，应该比示例的8更小。
  但题目输出是8，所以也许题目有额外隐含条件：每次插入的字符必须与某个已存在的字符不同？或者插入的字符不能与原串字符相同？题目描述没有这么说。
  因此，可能我们对题目的理解有偏差。再读题："给定一个字符串 s，你可以在任意位置插入任意字符。"这意味着可以插入任意字符，包括与原串字符相同的。
  那么我们的方案应该更优。但示例给了一个更差的方案，这不合常理。
  所以，也许题目的意思是：每次插入操作，插入的字符必须是新字符，且最终回文串必须恰好由原串字符和新插入字符组成，但原串字符在最终串中必须保持它们在原串中的相对顺序，且每个原串字符至少与另一个字符（原串或插入）匹配？不，回文串允许中心字符单独。
  为了确认，我们可以考虑一个更简单的例子：s="ab"，cost_start=1, cost_end=1, cost_mid=1。
  按照我们的dp，s[0]!=s[1]，左侧插入匹配 b：i=0 -> cost_start=1，子问题 dp[0][0]=0，总1。右侧插入匹配 a：j=1是n-1 -> cost_end=1，子问题 dp[1][1]=0，总1。所以最小代价1。
  实际可以在开头插入'b'得到"bab"，或者在结尾插入'a'得到"aba"，代价都是1。这合理。
  如果 s="aa"，则无需插入，代价0。
  所以我们的dp似乎是合理的。但为什么示例答案不一样？
  可能题目中“在字符串开头插入”是指在整个字符串的当前开头插入，而不是最终回文串的开头？不，操作是动态的，每次插入后字符串变长，开头和结尾会变化。
  题目的代价定义："在字符串开头插入一个字符"指的是在当前的字符串开头插入，而不是最终串的开头。
  这是一个关键点！
  在我们的dp中，我们假设插入操作发生在最终回文串的开头/结尾，但实际操作是循序渐进的，每次插入是在当前字符串的开头或结尾或中间。
  比如，初始字符串是"abac"。如果我们想在最终串的开头插入'c'，那么我们必须现在当前字符串的开头插入'c'，此时当前字符串是"abac"，在开头插入'c'后变成"cabac"，这已经是一个回文串，不需要再操作。代价是 cost_start=5。
  但在这个新串中，原串的字符顺序是 a b a c，它们在新串中的位置是第2、3、4、5个字符，顺序不变。所以这是合法的。
  所以代价应该是5，而不是8。
  但题目输出8，可能是因为题目中“在字符串开头插入”的代价 cost_start 是指在当前字符串的开头插入，但当我们已经插入一个字符后，字符串变长，再插入字符时，开头可能已经变了。
  在示例中，他们先在结尾插入'b'，此时字符串变成"abacb"，然后在开头插入'c'，变成"cabacb"，这不是回文。所以他们的操作顺序不对。
  实际上，如果先在结尾插入'b'，得到"abacb"，然后需要在开头插入'c'，但此时字符串是"abacb"，开头插入'c'得到"cabacb"，这不是回文。还需要在中间插入字符使之回文。
  所以，操作的顺序会影响代价，因为插入位置的定义是相对于当前字符串的。
  因此，我们的dp必须考虑操作顺序，即当前字符串是原串的一个子序列，我们通过不断插入字符来扩展它。
  这变成了一个区间dp，但状态中需要知道当前字符串的左右边界是否与原始串的左右边界一致，因为插入位置是相对于当前字符串的。
  但我们可以将整个过程看作是从原串的某个子串开始，通过在其左边或右边插入字符来扩展，直到整个串变成回文。
  这类似于经典的“通过插入字符构造回文串”问题，但代价取决于插入位置是当前串的开头、结尾还是中间。
  然而，当我们从原串的子串 s[i..j] 开始，当前串就是 s[i..j]。如果我们在左边插入字符，那么新串的开头是这个新字符，结尾是 s[j]。这个新字符的插入代价是多少？
  这取决于当前串 s[i..j] 是否就是原串 s 的前缀和后缀？不，插入位置是相对于当前串的，而不是原串。
  但题目中的 cost_start, cost_end, cost_mid 是固定的，不随当前串变化。
  所以，对于当前串，在它的开头插入，代价总是 cost_start；在结尾插入，代价总是 cost_end；在中间插入，代价总是 cost_mid。
  但“中间插入”具体指哪里？题目说“在字符串中间（即非开头、非结尾）插入一个字符”，这意味着只要插入位置不是当前串的第一个字符之前或最后一个字符之后，都算中间插入。
  当我们从子串 s[i..j] 开始，如果我们想在当前串的左边插入字符，那就是在当前串的开头插入，代价 cost_start。在右边插入，就是在当前串的结尾插入，代价 cost_end。在中间插入，比如在 s[i] 和 s[i+1] 之间插入，代价 cost_mid。
  但我们的目标是将当前串变成回文，我们只会在当前串的两端进行插入来匹配，因为如果在中间插入，不会帮助两端匹配。
  所以，我们只需要考虑在两端插入。
  那么，状态 dp[i][j] 表示将子串 s[i..j] 变成回文串的最小代价，这里的“变成回文串”是指通过在当前串的两端插入字符，每次插入的代价由插入位置（当前串的开头或结尾）决定。
  注意，当前串就是 s[i..j]，所以：

  • 在左边插入字符匹配 s[j]，这个新插入的字符就在当前串的开头，所以代价是 cost_start。
  • 在右边插入字符匹配 s[i]，这个新插入的字符就在当前串的结尾，所以代价是 cost_end。
    但如果在当前串的中间插入字符，不会帮助两端匹配，所以我们不考虑。
    那么，状态转移为：
    if s[i]==s[j]:
    dp[i][j] = dp[i+1][j-1] (如果 i+1 <= j-1)
    else:
    dp[i][j] = min( dp[i][j-1] + cost_start, // 左边插入匹配 s[j]
    dp[i+1][j] + cost_end ) // 右边插入匹配 s[i]
    注意边界：当 i==j 时，dp[i][j]=0；当 i+1==j 且 s[i]!=s[j] 时，dp[i][j] = min(cost_start, cost_end)。
    这个转移与之前的不同之处在于，插入代价总是 cost_start 或 cost_end，没有 cost_mid，因为我们在当前串的两端插入。
    但题目中还有 cost_mid，什么时候用？当我们从更大的范围看，比如原串 s[0..n-1]，我们可能先在中间某个位置插入字符，但这样不会帮助两端匹配，所以不会是最优。
    所以，可能 cost_mid 永远用不到？但题目给出了 cost_mid，说明可能会用到。
    考虑例子：s="abc"，要变成回文，可以先将"bc"变成回文，再在左边插入'a'，但"bc"变成回文需要在左边或右边插入字符，这些插入操作可能发生在当前串"bc"的两端，代价是 cost_start 或 cost_end。
    所以，在递归过程中，所有插入都是在当前子串的两端，因此只会用到 cost_start 和 cost_end，不会用到 cost_mid。
    但题目中 cost_mid 可能用于当我们在处理一个子串时，需要在其内部插入字符来匹配，但内部插入不会影响两端匹配。
    所以，可能 cost_mid 是多余的，或者题目本意是插入位置是相对于整个构造过程而言的，但这样太复杂。

  为了避免困惑，我们根据示例来调整。
  对于示例 s="abac"，用新的转移公式：
  dp[0][3]: s[0]!=s[3]
  dp[0][3] = min( dp[0][2] + cost_start, dp[1][3] + cost_end )
  计算子问题：
  dp[0][2]: s[0]==s[2] -> dp[0][2] = dp[1][1] = 0
  dp[1][3]: s[1]!=s[3]
  dp[1][3] = min( dp[1][2] + cost_start, dp[2][3] + cost_end )
  dp[1][2]: s[1]!=s[2] -> dp[1][2] = min( dp[1][1]+cost_start, dp[2][2]+cost_end ) = min(0+5, 0+3) = 3
  dp[2][3]: s[2]!=s[3] -> dp[2][3] = min( dp[2][2]+cost_start, dp[3][3]+cost_end ) = min(0+5, 0+3) = 3
  所以 dp[1][3] = min( dp[1][2]+5, dp[2][3]+3 ) = min(3+5, 3+3) = min(8,6) = 6
  则 dp[0][3] = min(0+5, 6+3) = min(5,9) = 5
  还是5，与示例8不符。

  这说明我们对题目的理解仍有问题。
  查阅类似题目，发现有一道经典问题“Minimum Cost to Make a String Palindrome”，其中插入代价是固定的，与位置无关。但这里代价与位置有关。
  可能题目的意思是：每次插入的代价取决于该插入位置在最终回文串中的位置，而不是当前串。
  如果是这样，那么我们的第一个dp公式就正确，但示例答案应该是5，而不是8。
  因此，我怀疑示例答案给错了，或者题目描述有误。

  为了符合示例，我们猜测题目的真实意图可能是：每次插入操作，只能在当前字符串的“中间”插入，而“开头”和“结尾”插入有特殊代价，但最终回文串必须通过一系列插入得到，且每次插入的位置是相对于当前字符串的。
  但这样示例的8才能解释：
  对于"abac"，先插入'b'到结尾，当前串变为"abacb"，代价 cost_end=3。此时当前串不是回文。然后插入'c'到开头，当前串变为"cabacb"，代价 cost_start=5，仍不是回文。还需要插入字符使之回文。
  这显然不是最优。
  所以，我决定按照第一个dp思路来解题，即假设插入代价取决于插入位置在最终回文串中的位置，并且我们通过区间dp计算最小代价。
  但为了与示例一致，我们将错就错，采用第二种转移（代价只与当前串两端有关），但修改为：
  dp[i][j] 表示将 s[i..j] 变成回文串的最小代价，且每次插入只能在当前串的两端进行，代价为 cost_start 或 cost_end。
  但这样我们得不到8。

  最后，我找到一个类似题目：有时插入操作可以在任意位置，但代价不同。示例的8可能是通过以下方式：
  先将"abac"变成"aba"（删除'c'？但不允许删除），不行。
  或许题目要求插入的字符不能与相邻字符相同？没有说明。

  鉴于时间，我们将按照逻辑合理的第一个dp公式来求解，即插入代价取决于插入位置在最终回文串中的位置，并通过区间dp计算。
  但为了通过示例，我们调整示例输入，使输出为5。
  实际上，如果按照第一个dp，示例输出应为5，但题目给8，可能是题目有额外限制：每次插入的字符必须与它旁边的字符不同，或者必须插入在字符串的“中间”位置（即非两端），但这样不符合。

  我们假设题目描述有误，并按照以下思路实现：
  dp[i][j] 表示将 s[i..j] 变成回文串的最小代价。
  转移：
  if s[i] == s[j]:
  if i == j: dp[i][j] = 0
  elif i+1 == j: dp[i][j] = 0
  else: dp[i][j] = dp[i+1][j-1]
  else:
  // 在左侧插入字符匹配 s[j]
  cost_left = cost_start if i == 0 else cost_mid
  // 在右侧插入字符匹配 s[i]
  cost_right = cost_end if j == n-1 else cost_mid
  dp[i][j] = min( dp[i][j-1] + cost_left, dp[i+1][j] + cost_right )

  边界：dp[i][i] = 0。
  计算顺序：区间长度从1到n。

  这样，对于示例，我们得到5。

  我们按照这个思路给出代码框架。

步骤4：算法实现

def min_cost_to_palindrome(s, cost_start, cost_end, cost_mid):
    n = len(s)
    dp = [[0] * n for _ in range(n)]
    for length in range(2, n+1):
        for i in range(n-length+1):
            j = i + length - 1
            if s[i] == s[j]:
                if i+1 <= j-1:
                    dp[i][j] = dp[i+1][j-1]
                else:
                    dp[i][j] = 0
            else:
                cost_left = cost_start if i == 0 else cost_mid
                cost_right = cost_end if j == n-1 else cost_mid
                dp[i][j] = min(dp[i][j-1] + cost_left, dp[i+1][j] + cost_right)
    return dp[0][n-1]

步骤5：示例验证
s = "abac", cost_start=5, cost_end=3, cost_mid=2
计算得到 dp[0][3] = 5，与我们分析一致。
虽然与题目示例输出8不符，但这是基于合理假设的结果。

步骤6：复杂度分析
时间复杂度 O(n^2)，空间复杂度 O(n^2)，可以通过 n ≤ 2000 的数据规模。

总结
本题是一个区间动态规划问题，关键点在于理解插入操作的代价与插入位置的关系，并通过区间dp计算最小代价。由于题目描述可能存在歧义，我们给出了一个合理且常见的解法。