带限制的区间合并问题（给定区间合并的最小成本）
字数 8715 2025-12-06 22:11:03

带限制的区间合并问题（给定区间合并的最小成本）

题目描述
给定一个长度为 n 的数组 nums，以及一个二维数组 restrictions，其中 restrictions[i] = [l_i, r_i, cost_i] 表示如果合并区间 [l_i, r_i] 内的所有元素，需要额外支付 cost_i 的成本（索引从 0 开始）。你可以进行任意次合并操作，每次操作选择一个连续子数组（区间）将其合并为一个元素，该元素的值等于子数组中所有元素的和。每次合并操作的代价为：被合并的子数组中所有元素之和，加上所有满足 l_i ≤ 区间左端点 ≤ 区间右端点 ≤ r_i 的额外成本 cost_i。目标是最终将整个数组合并为单个元素，求最小总成本。

示例
nums = [1, 2, 3]
restrictions = [[0, 1, 2], [1, 2, 1]]
解释：

  • 如果先合并 [0,1]：代价 = (1+2) + 2 = 5，数组变为 [3, 3]
    再合并 [0,1]：代价 = (3+3) + 0 = 6（没有限制完全覆盖 [0,1]）
    总成本 = 5+6 = 11
  • 如果先合并 [1,2]：代价 = (2+3) + 1 = 6，数组变为 [1, 5]
    再合并 [0,1]：代价 = (1+5) + 0 = 6
    总成本 = 6+6 = 12
  • 如果直接合并 [0,2]：代价 = (1+2+3) + (2+1) = 6+3 = 9（两个限制都覆盖 [0,2]）
    总成本 = 9
    所以最小总成本为 9。

解题过程

1. 问题理解与转化
这是区间动态规划的典型问题：将一个区间通过一系列合并操作变成一个元素，每次合并的代价取决于区间内元素和以及附加的限制成本。目标是最小化总合并成本。
关键点：

  • 每次合并一个连续子区间，合并后该区间变成一个值为元素和的单元素。
  • 限制条件 restrictions 定义了某些特定区间合并时的附加成本。
  • 最终整个数组合并成一个元素，相当于对区间 [0, n-1] 进行一系列合并操作。

2. 状态定义
定义 dp[i][j] 表示将子数组 nums[i..j] 合并成单个元素的最小总成本。
我们要求的是 dp[0][n-1]。

3. 状态转移方程
考虑最后一次合并：在合并区间 [i,j] 时，我们总可以选择一个分割点 k（i ≤ k < j），表示先将 [i,k] 和 [k+1,j] 分别合并成两个元素，然后再将这两个元素合并。但注意：合并操作可以是任意顺序，不一定总是二分合并。不过，在动态规划中，我们可以将任意合并序列视为：最后一次合并是将两个已合并的部分合并。因此，我们可以枚举最后一次合并的分割点 k。

但这里有一个问题：附加成本 cost 是针对整个被合并的区间计算的。如果我们在 dp[i][j] 中直接合并 [i,j]，附加成本会基于当前区间是否完全覆盖某个限制区间来计算。
更精确地说，当我们合并区间 [i,j] 时，代价为：
sum(nums[i..j]) + 所有满足 i ≤ l 且 r ≤ j 的限制的 cost 之和
然后，合并 [i,j] 之前，左右部分 [i,k] 和 [k+1,j] 已经分别合并完成，其成本已经包含在 dp[i][k] 和 dp[k+1][j] 中。

因此，状态转移为：
dp[i][j] = min_{i ≤ k < j} { dp[i][k] + dp[k+1][j] } + sum[i][j] + extra[i][j]
其中 sum[i][j] 是 nums[i..j] 的元素和，extra[i][j] 是所有完全包含在 [i,j] 内的限制的 cost 之和。

4. 预处理
为了高效计算，我们需要：

  • 前缀和 prefixSum，使得 sum[i][j] = prefixSum[j+1] - prefixSum[i]，O(1) 得到。
  • 计算 extra[i][j]：对于每个限制 [l, r, cost]，如果 i ≤ l 且 r ≤ j，则 cost 应加入 extra[i][j]。
    我们可以预先构建一个二维数组 extra，通过遍历所有限制来填充：
    对每个限制 [l, r, cost]，枚举所有 i ≤ l 且 r ≤ j 的区间 [i,j]，将 cost 加到 extra[i][j] 上。
    但这样复杂度 O(n^2 * m)，其中 m 是限制数量。可以优化：
    实际上 extra[i][j] 可以这样计算：
    对于每个区间 [i,j]，检查所有限制，满足条件则累加。由于 n ≤ 100 左右时可行，我们先采用直接方法。

5. 动态规划计算顺序
区间 DP 通常按区间长度从小到大计算：

  • 长度 len 从 1 到 n：
    len=1 时，dp[i][i] = 0（单个元素无需合并，但注意：单个元素合并代价为0，因为不需要操作？实际上，题目要求最终合并成单个元素，所以当区间长度为1时，已经是一个元素，成本为0）。
  • 对每个起点 i，计算 j = i+len-1，枚举分割点 k 从 i 到 j-1，更新 dp[i][j]。

6. 边界情况

  • 如果没有限制，extra 全为 0，问题退化为标准的石子合并问题（但标准石子合并是合并相邻两堆，每次代价为两堆和，这里是合并任意连续区间，代价为区间和，实际上等价，因为合并区间 [i,j] 的代价等于最终合并时该区间所有元素被累加的次数，可以用哈夫曼树思想，但这里我们用区间DP）。
  • 限制可能重叠，一个合并操作可能触发多个限制的附加成本。
  • 限制区间可能不会被任何合并完全包含，则不会触发附加成本。

7. 算法步骤

  1. 计算前缀和数组 prefix，长度 n+1。
  2. 初始化 extra 为 n x n 的零矩阵。
  3. 遍历每个限制 [l, r, cost]：
    • 遍历所有 i 从 0 到 l：
      • 遍历所有 j 从 r 到 n-1：
        • extra[i][j] += cost
          复杂度 O(m * n^2)，如果 n 较大，可优化为差分+二维前缀和，但这里先按基础方法。
  4. 初始化 dp 为 n x n 的矩阵，dp[i][i] = 0。
  5. 对于长度 len 从 2 到 n：
    • 对于 i 从 0 到 n-len：
      j = i+len-1
      dp[i][j] = INF
      • 对于 k 从 i 到 j-1：
        dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k+1][j])
        dp[i][j] += (prefix[j+1] - prefix[i]) + extra[i][j]
  6. 返回 dp[0][n-1]。

8. 示例演算
nums = [1,2,3], n=3
prefix = [0,1,3,6]
restrictions: [0,1,2] 和 [1,2,1]
计算 extra:

  • 限制 [0,1,2]: i≤0, j≥1 → 区间 [0,1],[0,2] 加2
  • 限制 [1,2,1]: i≤1, j≥2 → 区间 [1,2],[0,2] 加1
    得到: extra[0][1]=2, extra[0][2]=3, extra[1][2]=1

dp 计算:
len=1: dp[0][0]=0, dp[1][1]=0, dp[2][2]=0
len=2:

  • [0,1]: k 只有 0: dp[0][0]+dp[1][1]=0, 加上 sum=1+2=3, extra=2 → dp[0][1]=5
  • [1,2]: 同理: 0+0 + (2+3) + 1 = 6
    len=3: [0,2]:
    枚举 k=0: dp[0][0]+dp[1][2]=0+6=6
    k=1: dp[0][1]+dp[2][2]=5+0=5
    取 min=5，加上 sum=6, extra=3 → dp[0][2]=5+6+3=14? 等等，这里似乎不对，因为直接合并 [0,2] 的代价是 6+3=9，但 dp 计算中，k=0 和 k=1 代表先分别合并左右再合并，但这样会重复计算限制吗？检查一下：
    我们的状态转移假设最后一次合并是整个区间 [i,j]，那么 extra[i][j] 只应在最后一次合并时加一次。但在 dp[i][k] 和 dp[k+1][j] 中，它们可能已经包含了一些限制成本，这些限制是严格在它们子区间内的，不会与 extra[i][j] 重复。
    但注意：extra[i][j] 包含所有完全在 [i,j] 内的限制，包括那些可能完全在左半或右半的。这样，在 dp[i][k] 中已经加过的限制，在 extra[i][j] 中又被加一次，导致重复。
    所以我们的定义有误！

9. 纠正状态定义
我们需要确保每个限制的附加成本只被计算一次，在它被完全包含的最小区间合并时计算。
因此，我们修改：
dp[i][j] 表示将区间 [i,j] 合并成一个元素的最小总成本，并且我们规定在 dp[i][j] 的合并过程中，只有当某个操作合并的区间恰好完全包含某个限制区间时，才加上该限制的 cost。但这样很难直接 DP。

换一种思路：将限制成本视为“合并某个特定区间时必须额外支付的成本”。那么，在合并序列中，如果一个限制区间 [l,r] 被某个合并操作完全包含，则该 cost 被加一次。
我们可以在状态转移中，枚举最后一次合并的区间 [p,q] 包含在 [i,j] 中，但这会变成三维 DP，复杂度高。

另一种标准方法：将限制成本直接加到合并整个区间 [i,j] 的代价中，但在子区间合并时，不能再重复加。
所以我们需要保证 extra[i][j] 只包含那些 l ≥ i 且 r ≤ j 且 l,r 没有被更小区间合并时加过的限制。但这样不可行。

实际上，这个问题可以转化为：每个限制的 cost 只在合并操作恰好覆盖该限制区间时支付一次。那么我们定义 dp[i][j] 时，可以这样转移：
dp[i][j] = min( 直接合并整个区间 [i,j] 的代价, 枚举分割点 k 分成两个子区间合并 )
其中直接合并整个区间的代价 = sum[i][j] + 所有满足 i ≤ l 且 r ≤ j 的 cost 之和。
而分割合并的代价 = dp[i][k] + dp[k+1][j] + sum[i][j] （因为最后合并 [i,j] 时，代价是合并两个子区间的元素和，即 sum[i][j]，但此时不再加限制 cost，因为限制区间已经被子区间的合并覆盖过了）。

验证：
在分割合并时，最后一步合并 [i,j] 只是将两个已合并的元素相加，不会触发任何限制（因为限制区间必须完全包含在合并的区间内，而最后一步合并的区间是 [i,j]，但限制区间可能完全在左半或右半，在子区间合并时已经触发过 cost）。
所以我们需要确保在子区间合并时，如果某个限制区间完全在子区间内，其 cost 已被计入子区间的 dp 中。

因此，修正状态转移：
dp[i][j] = min(
sum[i][j] + extra[i][j], // 直接合并整个区间
min_{i ≤ k < j} (dp[i][k] + dp[k+1][j] + sum[i][j])
)
但注意，sum[i][j] 在两种情况下都会出现，因为最后合并区间 [i,j] 时，总要把所有元素加起来。

10. 重新演算示例
nums = [1,2,3]
extra: [0,1]=2, [0,2]=3, [1,2]=1
len=2:
[0,1]: 直接合并: 3+2=5, 分割: dp[0][0]+dp[1][1]+3=0+0+3=3, 取 min=3? 但分割时，最后合并 [0,1] 没有触发限制 [0,1,2] 的 cost，但该限制应该被触发一次。所以实际上，在分割情况下，限制 [0,1] 完全在子区间 [0,1] 内，但子区间长度是2，在合并子区间时，我们应该用直接合并的方式，而不是继续分割。
所以我们需要在 dp[i][j] 的定义中，允许直接合并整个区间，也允许分割。但分割时，子区间的合并也应该允许直接合并或再分割。

所以我们的转移方程是：
dp[i][j] = min(
sum[i][j] + extra[i][j], // 直接合并
min_{i ≤ k < j} (dp[i][k] + dp[k+1][j] + sum[i][j]) // 分割成两段分别合并，再合并两段
)

计算 len=2:
[0,1]: 直接合并: 3+2=5, 分割: dp[0][0]+dp[1][1]+3=0+0+3=3 → 取 3。 但此时，限制 [0,1,2] 的 cost 没有被加，这是错误的，因为无论如何合并区间 [0,1]，只要它被合并，就会触发该 cost。
所以问题在于：分割时，限制 [0,1] 在子区间 [0,1] 内，但子区间 [0,1] 的合并我们用了分割方式（即分成 [0] 和 [1] 再合并），这最后合并 [0,1] 时，实际上就是直接合并整个区间 [0,1] 的一次操作，应该加 extra[0][1]。
因此，在 dp[i][j] 的定义中，我们应始终保证在合并区间 [i,j] 时，如果存在一个操作合并了某个子区间完全包含限制区间，则该限制 cost 被加一次。但在我们的分割转移中，假设最后一步只是合并两个已合并的元素，那么限制 [0,1] 不会被触发，因为它被在子区间合并时触发了。
但子区间合并时，我们用了 dp[0][1] 的值，而 dp[0][1] 应该已经包含了该限制 cost。

所以我们最初的 dp[0][1] 如果算作 3，就漏掉了限制 cost 2。
所以正确的 dp[0][1] 应该是：
直接合并: 3+2=5
分割: 但分割时，子区间 [0] 和 [1] 的合并代价为0，最后合并它们时，实际上就是直接合并 [0,1]，所以代价是 3+2=5，与直接合并相同。
所以 dp[0][1] 应该 = 5。

那么，分割转移中，dp[i][k] 和 dp[k+1][j] 必须代表将子区间合并成一个元素的最小成本，且这个合并过程已经包含了所有内部限制的成本。而最后合并这两个元素时，只是简单相加，不触发任何新限制（因为限制区间不可能跨两个子区间，否则不会被完全包含在 [i,j] 中？不对，限制区间可能跨两个子区间，比如限制 [0,2] 在 [0,3] 中，如果分割为 [0,1] 和 [2,3]，则该限制不会被触发，直到最后合并 [0,3] 时才触发）。

所以，分割转移必须考虑限制区间可能横跨左右子区间的情况，这些限制的成本只有在最后合并整个 [i,j] 时才被计入。
因此，我们需要区分：在合并区间 [i,j] 时，有些限制完全在左子区间，有些完全在右子区间，有些横跨左右。前两种已经在子区间 dp 中计入，横跨的只有在最后合并整个 [i,j] 时才计入。

所以 extra[i][j] 应只包括那些 l ≥ i 且 r ≤ j 且横跨左右子区间的限制？不，应该是所有完全在 [i,j] 内的限制，但在分割时，横跨的限制 cost 要额外加。

定义 cross[i][j][k] 为在区间 [i,j] 分割点为 k 时，那些满足 l ≤ k 且 r ≥ k+1 的限制 cost 和。即横跨左右子区间的限制。
那么状态转移：
dp[i][j] = min(
sum[i][j] + allExtra[i][j], // 直接合并，加所有限制
min_{i ≤ k < j} (dp[i][k] + dp[k+1][j] + sum[i][j] + cross[i][j][k])
)
其中 allExtra[i][j] 是完全包含在 [i,j] 内的所有限制 cost 和，cross[i][j][k] 是完全包含在 [i,j] 内且横跨 k 的限制 cost 和。

但 allExtra[i][j] = extraInLeft + extraInRight + cross，其中 extraInLeft 是完全在 [i,k] 内的限制，已经在 dp[i][k] 中计入，extraInRight 类似，cross 是横跨的。
所以直接合并时，加了所有限制，而分割合并时，只加横跨的限制。

验证示例：
allExtra[0][1] = 2, cross[0][1][0] 是横跨左右子区间 [0] 和 [1] 的限制，即限制 [0,1] 横跨，所以 cross=2。
dp[0][1] = min(
sum=3 + allExtra=2 →5,
dp[0][0]+dp[1][1]+sum=3 + cross=2 →5
) 所以 dp[0][1]=5，正确。

allExtra[0][2] = 2+1=3
cross[0][2][0]: 限制 [0,1] 横跨？l=0≤0, r=1≥1 → 横跨，cost=2；限制 [1,2] 横跨？l=1>0 不满足 l≤0，所以不算横跨 k=0。所以 cross=2。
k=1: 限制 [0,1] 横跨？l=0≤1, r=1<2 不横跨（因为 r=1 不大于等于 k+1=2），所以不横跨；限制 [1,2] 横跨？l=1≤1, r=2≥2 → 横跨，cost=1。所以 cross=1。

dp[0][2] 计算：
直接合并: 6+3=9
k=0: dp[0][0]+dp[1][2]+6+cross=2=0+?+6+2
先算 dp[1][2]: allExtra[1][2]=1, cross[1][2][1]? 区间[1,2] 分割点只有 k=1，但左右子区间是[1]和[2]，横跨的限制是[1,2]，cost=1。
dp[1][2] = min(
直接: 5+1=6,
分割: dp[1][1]+dp[2][2]+5+cross=1=0+0+5+1=6
) 所以 dp[1][2]=6。
那么 k=0: 0+6+6+2=14
k=1: dp[0][1]+dp[2][2]+6+cross=1=5+0+6+1=12
取 min(9,14,12)=9，正确。

11. 最终算法
预处理：

  • 前缀和 sum
  • allExtra[i][j]: 完全在 [i,j] 内的限制 cost 和
  • cross[i][j][k]: 完全在 [i,j] 内且满足 l ≤ k 且 r ≥ k+1 的限制 cost 和
    计算 cross 可以通过遍历限制，对每个限制 [l,r,c]，对所有 i≤l, r≤j, 且 k 在 [l, r-1] 内，cross[i][j][k] += c。复杂度 O(m*n^3) 较高，可优化，但若 n≤100 可接受。

DP:
初始化 dp[i][i]=0
for len=2 to n:
for i=0 to n-len:
j=i+len-1
// 直接合并
dp[i][j] = sum[i][j] + allExtra[i][j]
// 分割合并
for k=i to j-1:
dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k+1][j] + sum[i][j] + cross[i][j][k])
返回 dp[0][n-1]

12. 复杂度优化
cross[i][j][k] 可以不用三维数组，而在 DP 时实时计算：对于每个区间 [i,j] 和分割点 k，遍历所有限制，如果 i≤l≤k<r≤j，则累加 cost。复杂度 O(n^3 * m)，若 n 和 m 较小可行。

13. 最终答案
通过上述 DP 可求得最小总成本。示例中 dp[0][2]=9。

14. 总结
这道题是区间 DP 的变种，关键在于处理限制成本：每个限制成本只在合并操作完全覆盖该限制区间时支付一次。通过区分直接合并和分割合并，并在分割合并时只添加横跨左右子区间的限制成本，确保每个限制成本被精确计算一次。

带限制的区间合并问题（给定区间合并的最小成本） 题目描述 给定一个长度为 n 的数组 nums，以及一个二维数组 restrictions，其中 restrictions[ i] = [ l_ i, r_ i, cost_ i] 表示如果合并区间 [ l_ i, r_ i] 内的所有元素，需要额外支付 cost_ i 的成本（索引从 0 开始）。你可以进行任意次合并操作，每次操作选择一个连续子数组（区间）将其合并为一个元素，该元素的值等于子数组中所有元素的和。每次合并操作的代价为：被合并的子数组中所有元素之和，加上所有满足 l_ i ≤ 区间左端点 ≤ 区间右端点 ≤ r_ i 的额外成本 cost_ i。目标是最终将整个数组合并为单个元素，求最小总成本。 示例 nums = [ 1, 2, 3 ] restrictions = [ [ 0, 1, 2], [ 1, 2, 1] ] 解释： 如果先合并 [ 0,1]：代价 = (1+2) + 2 = 5，数组变为 [ 3, 3 ] 再合并 [ 0,1]：代价 = (3+3) + 0 = 6（没有限制完全覆盖 [ 0,1 ]） 总成本 = 5+6 = 11 如果先合并 [ 1,2]：代价 = (2+3) + 1 = 6，数组变为 [ 1, 5 ] 再合并 [ 0,1 ]：代价 = (1+5) + 0 = 6 总成本 = 6+6 = 12 如果直接合并 [ 0,2]：代价 = (1+2+3) + (2+1) = 6+3 = 9（两个限制都覆盖 [ 0,2 ]） 总成本 = 9 所以最小总成本为 9。 解题过程 1. 问题理解与转化 这是区间动态规划的典型问题：将一个区间通过一系列合并操作变成一个元素，每次合并的代价取决于区间内元素和以及附加的限制成本。目标是最小化总合并成本。 关键点： 每次合并一个连续子区间，合并后该区间变成一个值为元素和的单元素。 限制条件 restrictions 定义了某些特定区间合并时的附加成本。 最终整个数组合并成一个元素，相当于对区间 [ 0, n-1 ] 进行一系列合并操作。 2. 状态定义 定义 dp[ i][ j] 表示将子数组 nums[ i..j ] 合并成单个元素的最小总成本。 我们要求的是 dp[ 0][ n-1 ]。 3. 状态转移方程 考虑最后一次合并：在合并区间 [ i,j] 时，我们总可以选择一个分割点 k（i ≤ k < j），表示先将 [ i,k] 和 [ k+1,j ] 分别合并成两个元素，然后再将这两个元素合并。但注意：合并操作可以是任意顺序，不一定总是二分合并。不过，在动态规划中，我们可以将任意合并序列视为：最后一次合并是将两个已合并的部分合并。因此，我们可以枚举最后一次合并的分割点 k。 但这里有一个问题：附加成本 cost 是针对整个被合并的区间计算的。如果我们在 dp[ i][ j] 中直接合并 [ i,j ]，附加成本会基于当前区间是否完全覆盖某个限制区间来计算。 更精确地说，当我们合并区间 [ i,j ] 时，代价为： sum(nums[i..j]) + 所有满足 i ≤ l 且 r ≤ j 的限制的 cost 之和 然后，合并 [ i,j] 之前，左右部分 [ i,k] 和 [ k+1,j] 已经分别合并完成，其成本已经包含在 dp[ i][ k] 和 dp[ k+1][ j ] 中。 因此，状态转移为： dp[ i][ j] = min_ {i ≤ k < j} { dp[ i][ k] + dp[ k+1][ j] } + sum[ i][ j] + extra[ i][ j ] 其中 sum[ i][ j] 是 nums[ i..j] 的元素和，extra[ i][ j] 是所有完全包含在 [ i,j ] 内的限制的 cost 之和。 4. 预处理 为了高效计算，我们需要： 前缀和 prefixSum，使得 sum[ i][ j] = prefixSum[ j+1] - prefixSum[ i ]，O(1) 得到。 计算 extra[ i][ j]：对于每个限制 [ l, r, cost]，如果 i ≤ l 且 r ≤ j，则 cost 应加入 extra[ i][ j ]。 我们可以预先构建一个二维数组 extra，通过遍历所有限制来填充： 对每个限制 [ l, r, cost]，枚举所有 i ≤ l 且 r ≤ j 的区间 [ i,j]，将 cost 加到 extra[ i][ j ] 上。 但这样复杂度 O(n^2 * m)，其中 m 是限制数量。可以优化： 实际上 extra[ i][ j ] 可以这样计算： 对于每个区间 [ i,j ]，检查所有限制，满足条件则累加。由于 n ≤ 100 左右时可行，我们先采用直接方法。 5. 动态规划计算顺序 区间 DP 通常按区间长度从小到大计算： 长度 len 从 1 到 n： len=1 时，dp[ i][ i ] = 0（单个元素无需合并，但注意：单个元素合并代价为0，因为不需要操作？实际上，题目要求最终合并成单个元素，所以当区间长度为1时，已经是一个元素，成本为0）。 对每个起点 i，计算 j = i+len-1，枚举分割点 k 从 i 到 j-1，更新 dp[ i][ j ]。 6. 边界情况 如果没有限制，extra 全为 0，问题退化为标准的石子合并问题（但标准石子合并是合并相邻两堆，每次代价为两堆和，这里是合并任意连续区间，代价为区间和，实际上等价，因为合并区间 [ i,j ] 的代价等于最终合并时该区间所有元素被累加的次数，可以用哈夫曼树思想，但这里我们用区间DP）。 限制可能重叠，一个合并操作可能触发多个限制的附加成本。 限制区间可能不会被任何合并完全包含，则不会触发附加成本。 7. 算法步骤 计算前缀和数组 prefix，长度 n+1。 初始化 extra 为 n x n 的零矩阵。 遍历每个限制 [ l, r, cost ]： 遍历所有 i 从 0 到 l： 遍历所有 j 从 r 到 n-1： extra[ i][ j ] += cost 复杂度 O(m * n^2)，如果 n 较大，可优化为差分+二维前缀和，但这里先按基础方法。 初始化 dp 为 n x n 的矩阵，dp[ i][ i ] = 0。 对于长度 len 从 2 到 n： 对于 i 从 0 到 n-len： j = i+len-1 dp[ i][ j ] = INF 对于 k 从 i 到 j-1： dp[ i][ j] = min(dp[ i][ j], dp[ i][ k] + dp[ k+1][ j ]) dp[ i][ j] += (prefix[ j+1] - prefix[ i]) + extra[ i][ j ] 返回 dp[ 0][ n-1 ]。 8. 示例演算 nums = [ 1,2,3 ], n=3 prefix = [ 0,1,3,6 ] restrictions: [ 0,1,2] 和 [ 1,2,1 ] 计算 extra: 限制 [ 0,1,2]: i≤0, j≥1 → 区间 [ 0,1],[ 0,2 ] 加2 限制 [ 1,2,1]: i≤1, j≥2 → 区间 [ 1,2],[ 0,2 ] 加1 得到: extra[ 0][ 1]=2, extra[ 0][ 2]=3, extra[ 1][ 2 ]=1 dp 计算: len=1: dp[ 0][ 0]=0, dp[ 1][ 1]=0, dp[ 2][ 2 ]=0 len=2: [ 0,1]: k 只有 0: dp[ 0][ 0]+dp[ 1][ 1]=0, 加上 sum=1+2=3, extra=2 → dp[ 0][ 1 ]=5 [ 1,2 ]: 同理: 0+0 + (2+3) + 1 = 6 len=3: [ 0,2 ]: 枚举 k=0: dp[ 0][ 0]+dp[ 1][ 2 ]=0+6=6 k=1: dp[ 0][ 1]+dp[ 2][ 2 ]=5+0=5 取 min=5，加上 sum=6, extra=3 → dp[ 0][ 2]=5+6+3=14? 等等，这里似乎不对，因为直接合并 [ 0,2 ] 的代价是 6+3=9，但 dp 计算中，k=0 和 k=1 代表先分别合并左右再合并，但这样会重复计算限制吗？检查一下： 我们的状态转移假设最后一次合并是整个区间 [ i,j]，那么 extra[ i][ j] 只应在最后一次合并时加一次。但在 dp[ i][ k] 和 dp[ k+1][ j] 中，它们可能已经包含了一些限制成本，这些限制是严格在它们子区间内的，不会与 extra[ i][ j ] 重复。 但注意：extra[ i][ j] 包含所有完全在 [ i,j] 内的限制，包括那些可能完全在左半或右半的。这样，在 dp[ i][ k] 中已经加过的限制，在 extra[ i][ j ] 中又被加一次，导致重复。 所以我们的定义有误！ 9. 纠正状态定义 我们需要确保每个限制的附加成本只被计算一次，在它被完全包含的最小区间合并时计算。 因此，我们修改： dp[ i][ j] 表示将区间 [ i,j] 合并成一个元素的最小总成本，并且我们规定在 dp[ i][ j ] 的合并过程中，只有当某个操作合并的区间恰好完全包含某个限制区间时，才加上该限制的 cost。但这样很难直接 DP。 换一种思路：将限制成本视为“合并某个特定区间时必须额外支付的成本”。那么，在合并序列中，如果一个限制区间 [ l,r ] 被某个合并操作完全包含，则该 cost 被加一次。 我们可以在状态转移中，枚举最后一次合并的区间 [ p,q] 包含在 [ i,j ] 中，但这会变成三维 DP，复杂度高。 另一种标准方法：将限制成本直接加到合并整个区间 [ i,j ] 的代价中，但在子区间合并时，不能再重复加。 所以我们需要保证 extra[ i][ j ] 只包含那些 l ≥ i 且 r ≤ j 且 l,r 没有被更小区间合并时加过的限制。但这样不可行。 实际上，这个问题可以转化为：每个限制的 cost 只在合并操作恰好覆盖该限制区间时支付一次。那么我们定义 dp[ i][ j ] 时，可以这样转移： dp[ i][ j] = min( 直接合并整个区间 [ i,j ] 的代价, 枚举分割点 k 分成两个子区间合并 ) 其中直接合并整个区间的代价 = sum[ i][ j ] + 所有满足 i ≤ l 且 r ≤ j 的 cost 之和。 而分割合并的代价 = dp[ i][ k] + dp[ k+1][ j] + sum[ i][ j] （因为最后合并 [ i,j] 时，代价是合并两个子区间的元素和，即 sum[ i][ j ]，但此时不再加限制 cost，因为限制区间已经被子区间的合并覆盖过了）。 验证： 在分割合并时，最后一步合并 [ i,j] 只是将两个已合并的元素相加，不会触发任何限制（因为限制区间必须完全包含在合并的区间内，而最后一步合并的区间是 [ i,j ]，但限制区间可能完全在左半或右半，在子区间合并时已经触发过 cost）。 所以我们需要确保在子区间合并时，如果某个限制区间完全在子区间内，其 cost 已被计入子区间的 dp 中。 因此，修正状态转移： dp[ i][ j ] = min( sum[ i][ j] + extra[ i][ j ], // 直接合并整个区间 min_ {i ≤ k < j} (dp[ i][ k] + dp[ k+1][ j] + sum[ i][ j ]) ) 但注意，sum[ i][ j] 在两种情况下都会出现，因为最后合并区间 [ i,j ] 时，总要把所有元素加起来。 10. 重新演算示例 nums = [ 1,2,3 ] extra: [ 0,1]=2, [ 0,2]=3, [ 1,2 ]=1 len=2: [ 0,1]: 直接合并: 3+2=5, 分割: dp[ 0][ 0]+dp[ 1][ 1]+3=0+0+3=3, 取 min=3? 但分割时，最后合并 [ 0,1] 没有触发限制 [ 0,1,2] 的 cost，但该限制应该被触发一次。所以实际上，在分割情况下，限制 [ 0,1] 完全在子区间 [ 0,1 ] 内，但子区间长度是2，在合并子区间时，我们应该用直接合并的方式，而不是继续分割。 所以我们需要在 dp[ i][ j ] 的定义中，允许直接合并整个区间，也允许分割。但分割时，子区间的合并也应该允许直接合并或再分割。 所以我们的转移方程是： dp[ i][ j ] = min( sum[ i][ j] + extra[ i][ j ], // 直接合并 min_ {i ≤ k < j} (dp[ i][ k] + dp[ k+1][ j] + sum[ i][ j ]) // 分割成两段分别合并，再合并两段 ) 计算 len=2: [ 0,1]: 直接合并: 3+2=5, 分割: dp[ 0][ 0]+dp[ 1][ 1]+3=0+0+3=3 → 取 3。 但此时，限制 [ 0,1,2] 的 cost 没有被加，这是错误的，因为无论如何合并区间 [ 0,1 ]，只要它被合并，就会触发该 cost。 所以问题在于：分割时，限制 [ 0,1] 在子区间 [ 0,1] 内，但子区间 [ 0,1] 的合并我们用了分割方式（即分成 [ 0] 和 [ 1] 再合并），这最后合并 [ 0,1] 时，实际上就是直接合并整个区间 [ 0,1] 的一次操作，应该加 extra[ 0][ 1 ]。 因此，在 dp[ i][ j] 的定义中，我们应始终保证在合并区间 [ i,j] 时，如果存在一个操作合并了某个子区间完全包含限制区间，则该限制 cost 被加一次。但在我们的分割转移中，假设最后一步只是合并两个已合并的元素，那么限制 [ 0,1 ] 不会被触发，因为它被在子区间合并时触发了。 但子区间合并时，我们用了 dp[ 0][ 1] 的值，而 dp[ 0][ 1 ] 应该已经包含了该限制 cost。 所以我们最初的 dp[ 0][ 1 ] 如果算作 3，就漏掉了限制 cost 2。 所以正确的 dp[ 0][ 1 ] 应该是： 直接合并: 3+2=5 分割: 但分割时，子区间 [ 0] 和 [ 1] 的合并代价为0，最后合并它们时，实际上就是直接合并 [ 0,1 ]，所以代价是 3+2=5，与直接合并相同。 所以 dp[ 0][ 1 ] 应该 = 5。 那么，分割转移中，dp[ i][ k] 和 dp[ k+1][ j] 必须代表将子区间合并成一个元素的最小成本，且这个合并过程已经包含了所有内部限制的成本。而最后合并这两个元素时，只是简单相加，不触发任何新限制（因为限制区间不可能跨两个子区间，否则不会被完全包含在 [ i,j] 中？不对，限制区间可能跨两个子区间，比如限制 [ 0,2] 在 [ 0,3] 中，如果分割为 [ 0,1] 和 [ 2,3]，则该限制不会被触发，直到最后合并 [ 0,3 ] 时才触发）。 所以，分割转移必须考虑限制区间可能横跨左右子区间的情况，这些限制的成本只有在最后合并整个 [ i,j ] 时才被计入。 因此，我们需要区分：在合并区间 [ i,j] 时，有些限制完全在左子区间，有些完全在右子区间，有些横跨左右。前两种已经在子区间 dp 中计入，横跨的只有在最后合并整个 [ i,j ] 时才计入。 所以 extra[ i][ j] 应只包括那些 l ≥ i 且 r ≤ j 且横跨左右子区间的限制？不，应该是所有完全在 [ i,j ] 内的限制，但在分割时，横跨的限制 cost 要额外加。 定义 cross[ i][ j][ k] 为在区间 [ i,j ] 分割点为 k 时，那些满足 l ≤ k 且 r ≥ k+1 的限制 cost 和。即横跨左右子区间的限制。 那么状态转移： dp[ i][ j ] = min( sum[ i][ j] + allExtra[ i][ j ], // 直接合并，加所有限制 min_ {i ≤ k < j} (dp[ i][ k] + dp[ k+1][ j] + sum[ i][ j] + cross[ i][ j][ k ]) ) 其中 allExtra[ i][ j] 是完全包含在 [ i,j] 内的所有限制 cost 和，cross[ i][ j][ k] 是完全包含在 [ i,j ] 内且横跨 k 的限制 cost 和。 但 allExtra[ i][ j] = extraInLeft + extraInRight + cross，其中 extraInLeft 是完全在 [ i,k] 内的限制，已经在 dp[ i][ k ] 中计入，extraInRight 类似，cross 是横跨的。 所以直接合并时，加了所有限制，而分割合并时，只加横跨的限制。 验证示例： allExtra[ 0][ 1] = 2, cross[ 0][ 1][ 0] 是横跨左右子区间 [ 0] 和 [ 1] 的限制，即限制 [ 0,1 ] 横跨，所以 cross=2。 dp[ 0][ 1 ] = min( sum=3 + allExtra=2 →5, dp[ 0][ 0]+dp[ 1][ 1 ]+sum=3 + cross=2 →5 ) 所以 dp[ 0][ 1 ]=5，正确。 allExtra[ 0][ 2 ] = 2+1=3 cross[ 0][ 2][ 0]: 限制 [ 0,1] 横跨？l=0≤0, r=1≥1 → 横跨，cost=2；限制 [ 1,2 ] 横跨？l=1>0 不满足 l≤0，所以不算横跨 k=0。所以 cross=2。 k=1: 限制 [ 0,1] 横跨？l=0≤1, r=1<2 不横跨（因为 r=1 不大于等于 k+1=2），所以不横跨；限制 [ 1,2 ] 横跨？l=1≤1, r=2≥2 → 横跨，cost=1。所以 cross=1。 dp[ 0][ 2 ] 计算： 直接合并: 6+3=9 k=0: dp[ 0][ 0]+dp[ 1][ 2 ]+6+cross=2=0+?+6+2 先算 dp[ 1][ 2]: allExtra[ 1][ 2]=1, cross[ 1][ 2][ 1]? 区间[ 1,2] 分割点只有 k=1，但左右子区间是[ 1]和[ 2]，横跨的限制是[ 1,2 ]，cost=1。 dp[ 1][ 2 ] = min( 直接: 5+1=6, 分割: dp[ 1][ 1]+dp[ 2][ 2 ]+5+cross=1=0+0+5+1=6 ) 所以 dp[ 1][ 2 ]=6。 那么 k=0: 0+6+6+2=14 k=1: dp[ 0][ 1]+dp[ 2][ 2 ]+6+cross=1=5+0+6+1=12 取 min(9,14,12)=9，正确。 11. 最终算法 预处理： 前缀和 sum allExtra[ i][ j]: 完全在 [ i,j ] 内的限制 cost 和 cross[ i][ j][ k]: 完全在 [ i,j ] 内且满足 l ≤ k 且 r ≥ k+1 的限制 cost 和 计算 cross 可以通过遍历限制，对每个限制 [ l,r,c]，对所有 i≤l, r≤j, 且 k 在 [ l, r-1] 内，cross[ i][ j][ k] += c。复杂度 O(m* n^3) 较高，可优化，但若 n≤100 可接受。 DP: 初始化 dp[ i][ i ]=0 for len=2 to n: for i=0 to n-len: j=i+len-1 // 直接合并 dp[ i][ j] = sum[ i][ j] + allExtra[ i][ j ] // 分割合并 for k=i to j-1: dp[ i][ j] = min(dp[ i][ j], dp[ i][ k] + dp[ k+1][ j] + sum[ i][ j] + cross[ i][ j][ k ]) 返回 dp[ 0][ n-1 ] 12. 复杂度优化 cross[ i][ j][ k] 可以不用三维数组，而在 DP 时实时计算：对于每个区间 [ i,j] 和分割点 k，遍历所有限制，如果 i≤l≤k<r≤j，则累加 cost。复杂度 O(n^3 * m)，若 n 和 m 较小可行。 13. 最终答案 通过上述 DP 可求得最小总成本。示例中 dp[ 0][ 2 ]=9。 14. 总结 这道题是区间 DP 的变种，关键在于处理限制成本：每个限制成本只在合并操作完全覆盖该限制区间时支付一次。通过区分直接合并和分割合并，并在分割合并时只添加横跨左右子区间的限制成本，确保每个限制成本被精确计算一次。