高斯-切比雪夫求积公式在带端点振荡函数积分中的变量替换与权重调整联合技巧
1. 题目描述
考虑计算带端点振荡的函数的积分，其一般形式为：
\[I = \int_{-1}^{1} f(x) \, w(x) \, dx \]
其中权函数 \(w(x) = 1/\sqrt{1 - x^2}\) 是第二类切比雪夫权函数。被积函数 \(f(x)\) 在端点 \(x = \pm 1\) 附近呈现振荡行为，例如 \(f(x) = \cos(k \cdot g(x))\) 或 \(f(x) = J_{\nu}(h(x))\)（贝塞尔函数），这里 \(g(x), h(x)\) 是光滑函数，但振荡频率 \(k\) 可能很高。标准的高斯-切比雪夫求积公式虽然能精确处理权函数 \(w(x)\)，但当 \(f(x)\) 自身在端点附近剧烈振荡时，直接使用会导致收敛缓慢，需要大量节点才能获得精确结果。本题旨在讲解如何通过设计一个变量替换，将振荡行为“平滑化”，并相应调整高斯-切比雪夫求积公式的节点与权重，从而在节点数较少时也能获得高精度近似。
2. 问题分析与核心思路
- 标准高斯-切比雪夫求积公式回顾：
对于权函数 \(w(x) = 1/\sqrt{1 - x^2}\) 在区间 \([-1, 1]\) 上的积分，其 \(n\) 点求积公式为：
\[ \int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i f(x_i) \]
节点 $ x_i = \cos\left( \frac{(2i-1)\pi}{2n} \right) $，权重 $ w_i = \frac{\pi}{n} $。这个公式对任意 $ f(x) \in C[-1, 1] $ 都能收敛，但对于端点振荡的 $ f $，收敛速度可能很慢，因为标准节点在端点附近较稀疏（余弦节点在端点密集，但被积函数振荡更剧烈）。
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核心难点：振荡函数的能量（或变化）集中在高频部分。标准的高斯求积公式（基于多项式插值）需要很高阶的多项式才能拟合振荡，这等价于需要很多节点。
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联合策略的核心思想：
- 变量替换（关键步骤）：找到一个单调可导的变换 \(x = \phi(t)\)，将原积分区间 \([-1, 1]\) 映射到自身，即 \(t \in [-1, 1] \mapsto x \in [-1, 1]\)。这个变换的目的是“拉伸”振荡剧烈的端点区域，使得在新的变量 \(t\) 下，被积函数的振荡频率相对均匀化或降低。同时，我们需要将权函数 \(w(x)\) 的因子也通过换元公式进行转换。
- 权重调整：完成变量替换后，积分变为关于新变量 \(t\) 的带权积分，但权函数可能不再是标准形式。我们需要将新的权函数吸收进被积函数，或者重新推导对应的求积公式。一种实用方法是：在变换后的积分上，仍然使用标准高斯-切比雪夫公式的节点和权重，但节点需要映射回原变量，并且权重需要乘以雅可比行列式的修正因子。
3. 解题过程循序渐进讲解
步骤1：构造针对端点振荡的变量替换
我们以一个典型端点振荡函数为例：\(f(x) = \cos\left( \frac{k}{1-x^2} \right)\)，在 \(x \to \pm 1\) 时，\(1/(1-x^2) \to \infty\)，振荡无限频繁。
目标变换 \(x = \phi(t)\) 应满足：
- \(\phi\) 是 \([-1,1]\) 到 \([-1,1]\) 的一一对应，且 \(\phi(\pm 1) = \pm 1\)。
- \(\phi\) 尽量光滑，通常要求一阶导数 \(\phi'(t) > 0\)。
- 变换能“压缩”端点附近的自变量范围，使得振荡被“拉开”。一个常用的选择是代数变换：
\[x = \phi(t) = \frac{t}{\sqrt{1 - \alpha + \alpha t^2}} \quad \text{或} \quad x = \phi(t) = \sin\left( \frac{\pi}{2} t \right) \]
但针对 \(1/(1-x^2)\) 型的奇异性，更有效的变换需直接处理内层。我们构造：
\[x = \phi(t) = \frac{2t}{1 + \sqrt{1 - \beta + \beta t^2}}，\quad 0 < \beta < 1 \]
这个变换的导数为：
\[\phi'(t) = \frac{2[1 + \sqrt{1 - \beta + \beta t^2}] - 2t \cdot \frac{\beta t}{\sqrt{1 - \beta + \beta t^2}}}{[1 + \sqrt{1 - \beta + \beta t^2}]^2} \]
其关键性质是：当 \(t \to \pm 1\) 时，\(\phi'(t) \to C > 0\)（常数），从而 \(dx/dt\) 在端点不趋于零，避免了标准余弦节点在端点附近 \(dx\) 极小的问题。这等价于在新变量 \(t\) 下，端点区域被“拉伸”了。
步骤2：应用变量替换到原积分
将 \(x = \phi(t)\) 代入原积分：
\[I = \int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = \int_{-1}^{1} \frac{f(\phi(t))}{\sqrt{1 - [\phi(t)]^2}} \cdot \phi'(t) \, dt \]
定义新的被积函数 \(F(t) = f(\phi(t))\) 和新的有效权函数 \(W(t) = \frac{\phi'(t)}{\sqrt{1 - [\phi(t)]^2}}\)。
则积分变为：
\[I = \int_{-1}^{1} F(t) \, W(t) \, dt \]
步骤3：调整求积公式——节点映射与权重修正
现在我们有一个新的带权积分 \(\int_{-1}^{1} F(t) W(t) \, dt\)。如果 \(W(t)\) 恰好是某个标准权函数，我们可以直接用对应的高斯公式。但这里 \(W(t)\) 一般不是标准形式。一个高效且实用的方法是：
-
在 \(t\)-空间使用标准高斯-切比雪夫公式：虽然 \(W(t)\) 不是 \(1/\sqrt{1-t^2}\)，但我们可以将 \(W(t)\) 视为被积函数的一部分，即令 \(G(t) = F(t) W(t)\)。那么 \(I = \int_{-1}^{1} G(t) \, dt\)。但这个 \(G(t)\) 不再有显式的权函数，我们可以用标准高斯-切比雪夫公式（即等权重）来近似它吗？注意，标准高斯-切比雪夫公式适用于权函数 \(1/\sqrt{1-t^2}\)，而这里权函数是 \(1\)。所以不能直接用。
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正确的方法：构造适用于新权函数 \(W(t)\) 的求积公式。这通常需要计算 \(W(t)\) 对应的正交多项式，比较复杂。一个工程上更可行的近似但高效的策略是：
- 在 \(t\)-空间，使用高斯-勒让德求积公式（权函数为1）来近似 \(I = \int_{-1}^{1} G(t) \, dt\)。
- 高斯-勒让德公式的节点 \(\{t_j\}\) 和权重 \(\{\omega_j\}\) 是针对权函数1最优的。那么近似为：
\[ I \approx \sum_{j=1}^{m} \omega_j \, G(t_j) = \sum_{j=1}^{m} \omega_j \, f(\phi(t_j)) \, W(t_j) \]
* 但更直观的实现方式是：**将 $ t $-空间的高斯-勒让德节点 $ t_j $ 通过 $ x_j = \phi(t_j) $ 映射回原 $ x $-空间**。则原积分的近似为：
\[ I = \int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1 - x^2}} dx \approx \sum_{j=1}^{m} \omega_j \, f(x_j) \, \frac{\phi'(t_j)}{\sqrt{1 - x_j^2}} \]
这里 $ \frac{\phi'(t_j)}{\sqrt{1 - x_j^2}} $ 可以看作是**调整后的权重**。注意，$ t_j $ 和 $ \omega_j $ 是标准高斯-勒让德求积公式的节点和权重（针对区间 $[-1,1]$，权函数1）。
步骤4：算法流程总结
输入：被积函数 \(f(x)\)，振荡参数 \(k\)，节点数 \(m\)。
输出：积分近似值 \(I_{\text{approx}}\)。
- 选择变换：根据振荡特性选择变量替换 \(x = \phi(t)\)。例如，对于端点振荡，可采用前述的代数变换，并选择参数 \(\beta\)（例如 \(\beta=0.5\)）以优化拉伸效果。
- 获取标准高斯-勒让德节点和权重：计算或查表得到 \(m\) 点高斯-勒让德求积公式的节点 \(\{t_j\}_{j=1}^{m}\) 和权重 \(\{\omega_j\}_{j=1}^{m}\)。
- 节点映射：计算 \(x_j = \phi(t_j)\)。
- 计算调整后的权重：对每个 \(j\)，计算 \(\tilde{w}_j = \omega_j \cdot \frac{\phi'(t_j)}{\sqrt{1 - x_j^2}}\)。
- 求积计算：\(I_{\text{approx}} = \sum_{j=1}^{m} \tilde{w}_j \, f(x_j)\)。
4. 效果解释与示例
- 为何有效：变换 \(\phi\) 将 \(t\) 空间中分布均匀（在高斯-勒让德意义下）的节点 \(t_j\) 映射为 \(x\) 空间中在端点附近更密集的节点 \(x_j\)。密集的节点能更好地采样端点振荡区域。同时，权重 \(\tilde{w}_j\) 包含了变换的导数 \(\phi'(t_j)\) 和原权函数 \(1/\sqrt{1-x_j^2}\)，精确地反映了积分测度的变化。
- 对比：如果直接用标准 \(n\) 点高斯-切比雪夫公式计算原积分，可能需要很大的 \(n\) 才能捕捉端点振荡。而采用上述联合技巧，即使使用中等数量的高斯-勒让德节点 \(m\)（如 \(m=20\))，通过变换将节点“重新分配”到振荡区域，往往能以更少的函数求值次数获得相同或更高的精度。
- 注意：变换 \(\phi(t)\) 的选择依赖于对振荡行为的先验知识。例如，如果振荡是由 \(\cos(k/(1-x))\) 引起的，变换应侧重在 \(x=1\) 附近拉伸。通常需要根据被积函数的相位函数来设计。
此方法本质上是将原积分的困难（端点振荡）通过变量替换转化为在新变量下的平滑函数积分，并利用标准高斯求积公式的高精度特性，是一种结合了解析预处理（变量替换）与数值求积（权重调整）的高效联合技巧。