基于增广拉格朗日的随机方差缩减梯度法(SVRG-AL)基础题
字数 5045 2025-12-06 20:41:36

基于增广拉格朗日的随机方差缩减梯度法(SVRG-AL)基础题

题目描述
考虑一个非线性规划问题：

\[\begin{aligned} \min_{x \in \mathbb{R}^n} \quad & f(x) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} f_i(x) \\ \text{s.t.} \quad & c_j(x) = 0, \quad j = 1, \dots, m \\ & h_k(x) \leq 0, \quad k = 1, \dots, p \end{aligned} \]

其中，目标函数 \(f(x)\) 是 \(N\) 个分量函数 \(f_i(x)\) 的平均（例如大规模机器学习中的经验风险），\(c_j(x)\) 是等式约束，\(h_k(x)\) 是不等式约束。假设 \(f_i(x)\)、\(c_j(x)\)、\(h_k(x)\) 都是连续可微的，且 \(N\) 很大（例如 \(N \geq 10^5\)），因此每次计算全梯度 \(\nabla f(x) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \nabla f_i(x)\) 的代价很高。要求设计一个基于增广拉格朗日法和随机方差缩减梯度的高效算法，在保证约束精度的同时，降低每次迭代的计算成本。

解题过程循序渐进讲解

1. 问题分析与算法选择动机

大规模约束优化问题中，直接使用传统优化方法（如SQP、内点法）需要反复计算全梯度，计算量随 \(N\) 线性增长，效率低下。

  • 增广拉格朗日法：将约束问题转化为一系列无约束子问题，通过迭代更新拉格朗日乘子和罚参数来逼近约束最优解。
  • 随机方差缩减梯度：适用于有限和形式的目标，通过动态估计全梯度并采样小批量数据计算方差缩减的梯度估计，大幅降低单次迭代成本。
    结合两者，可以设计一个外层更新乘子和罚参数、内层用SVRG求解无约束子问题的两层迭代算法。

2. 增广拉格朗日函数构造

首先引入松弛变量 \(s_k \geq 0\) 将不等式约束转化为等式：

\[h_k(x) + s_k^2 = 0, \quad s_k \in \mathbb{R}. \]

记 \(c(x) = [c_1(x), \dots, c_m(x)]^T\)，\(h(x) = [h_1(x), \dots, h_p(x)]^T\)，\(s = [s_1, \dots, s_p]^T\)。
增广拉格朗日函数为：

\[\mathcal{L}_{\rho}(x, s, \lambda, \mu) = f(x) + \lambda^T c(x) + \frac{\rho}{2} \|c(x)\|^2 + \mu^T (h(x) + s^2) + \frac{\rho}{2} \|h(x) + s^2\|^2, \]

其中 \(\lambda \in \mathbb{R}^m\)、\(\mu \in \mathbb{R}^p\) 是拉格朗日乘子，\(\rho > 0\) 是罚参数，\(s^2\) 表示逐元素平方。

3. 子问题分解与SVRG应用

在每步外层迭代中，固定 \(\lambda, \mu, \rho\)，需要求解关于 \(x\) 和 \(s\) 的无约束子问题：

\[\min_{x, s \geq 0} \mathcal{L}_{\rho}(x, s, \lambda, \mu). \]

由于 \(s\) 只出现在 \(\|h(x) + s^2\|^2\) 项中，可显式求解：对固定 \(x\)，令 \(g_k = h_k(x)\)，则最优 \(s_k\) 满足

\[s_k^* = \max\left\{0, -\frac{\mu_k}{2\rho} - \frac{g_k}{2}\right\}^{1/2}. \]

代入后，子问题简化为仅关于 \(x\) 的无约束问题：

\[\min_{x} \Phi_{\rho}(x; \lambda, \mu) := f(x) + \lambda^T c(x) + \frac{\rho}{2} \|c(x)\|^2 + \psi_{\rho}(x; \mu), \]

其中

\[\psi_{\rho}(x; \mu) = \sum_{k=1}^p \begin{cases} -\frac{\mu_k^2}{4\rho}, & \text{if } h_k(x) \leq -\frac{\mu_k}{\rho}, \\ \mu_k h_k(x) + \frac{\rho}{2} h_k(x)^2, & \text{otherwise}. \end{cases} \]

（这是通过解析消去 \(s\) 得到的经典结果，推导从略。）

现在 \(\Phi_{\rho}\) 是有限和形式吗？注意 \(f(x) = \frac{1}{N} \sum_i f_i(x)\)，而 \(c(x)\)、\(h(x)\) 通常不是有限和，但 \(N\) 很大时，主要计算负担在 \(f(x)\) 的梯度。因此我们对 \(\nabla f(x)\) 采用SVRG估计，而对 \(\nabla c(x)\)、\(\nabla h(x)\) 仍用全量计算（因 \(m, p\) 较小）。

4. SVRG梯度估计的嵌入

设当前外层迭代的乘子为 \(\lambda^t, \mu^t\)，罚参数为 \(\rho_t\)。记：

\[F(x) := \Phi_{\rho_t}(x; \lambda^t, \mu^t) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N f_i(x) + Q(x), \]

其中 \(Q(x) = \lambda^{tT} c(x) + \frac{\rho_t}{2} \|c(x)\|^2 + \psi_{\rho_t}(x; \mu^t)\) 与 \(i\) 无关。
则梯度为：

\[\nabla F(x) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \nabla f_i(x) + \nabla Q(x). \]

SVRG的工作方式：

  1. 在每轮内层迭代开始时，计算“快照”处的全梯度 \(\tilde{g} = \nabla F(\tilde{x}) = \frac{1}{N} \sum_i \nabla f_i(\tilde{x}) + \nabla Q(\tilde{x})\)。
  2. 内层每次迭代随机选一个索引 \(i_t \in \{1,\dots,N\}\)，计算方差缩减的梯度估计：

\[v_t = \nabla f_{i_t}(x_t) - \nabla f_{i_t}(\tilde{x}) + \tilde{g}. \]

注意 \(\nabla Q(x)\) 在 \(v_t\) 中已通过 \(\tilde{g}\) 包含，不需重复采样。

5. 完整算法步骤

算法：SVRG-增广拉格朗日法

  1. 初始化：\(x^0, s^0, \lambda^0, \mu^0 \geq 0, \rho_0 > 0, \eta > 1\)（罚参数增长因子），内层步长 \(\alpha > 0\)，内层迭代数 \(T\)。
  2. 外层循环（\(t = 0, 1, 2, \dots\)）：
    a. 固定 \(\lambda^t, \mu^t, \rho_t\)，构造 \(\Phi_{\rho_t}(x; \lambda^t, \mu^t)\)。
    b. 内层SVRG循环求解 \(\min_x \Phi_{\rho_t}(x)\)：
    • 设内层初始点 \(\tilde{x} = x^t\)，计算全梯度 \(\tilde{g} = \nabla \Phi_{\rho_t}(\tilde{x})\)。
    • 对 \(\tau = 0\) 到 \(T-1\)：
      • 随机均匀选取 \(i_{\tau} \in \{1,\dots,N\}\)。
      • 计算梯度估计：

\[ v_{\tau} = \nabla f_{i_{\tau}}(x_{\tau}) - \nabla f_{i_{\tau}}(\tilde{x}) + \tilde{g}. \]

     * 更新：$ x_{\tau+1} = x_{\tau} - \alpha v_{\tau} $。  
  - 设置内层输出 $ x^{t+1} = x_T $。

c. 更新松弛变量：\(s_k^{t+1} = \max\{0, -\frac{\mu_k^t}{2\rho_t} - \frac{h_k(x^{t+1})}{2}\}^{1/2}\)。
d. 更新乘子：

\[ \lambda_j^{t+1} = \lambda_j^t + \rho_t c_j(x^{t+1}), \quad j=1,\dots,m, \]

\[ \mu_k^{t+1} = \max\{0, \mu_k^t + \rho_t h_k(x^{t+1})\}, \quad k=1,\dots,p. \]

e. 更新罚参数：若约束违反度未下降足够，则 \(\rho_{t+1} = \eta \rho_t\)，否则 \(\rho_{t+1} = \rho_t\)。
3. 终止条件：当约束违反度 \(\|c(x^t)\| + \|\max\{0, h(x^t)\}\|\) 小于容差，且梯度范数足够小时停止。

6. 关键点与注意事项

  • 计算优势：内层每次迭代只计算单个 \(\nabla f_{i}(x)\)，而不是全梯度，代价从 \(O(Nn)\) 降至 \(O(n)\)。
  • 方差缩减：SVRG的估计 \(v_t\) 方差逐渐减小，确保内层收敛速度接近梯度下降。
  • 约束处理：增广拉格朗日法将约束违反融入目标，子问题精确求解不必要，只需近似解（内层SVRG迭代有限步），仍能保证外层收敛。
  • 步长选择：内层步长 \(\alpha\) 需满足 \(0 < \alpha < 1/L\)，其中 \(L\) 是 \(\Phi_{\rho_t}\) 的 Lipschitz 常数估计（可通过 \(f_i\) 和 \(Q\) 的 Lipschitz 常数求和得到）。
  • 实际调整：初始 \(\rho_0\) 不宜过大，以免子问题病态；可据约束违反度自适应增加 \(\rho\)。

7. 简单数值例子说明

设 \(N=1000\)，\(n=20\)，\(f_i(x) = (a_i^T x - b_i)^2\)（线性回归），约束为 \(\|x\|^2 = 1\)（等式）和 \(x_1 \leq 0.5\)（不等式）。
算法步骤：

  1. 构造增广拉格朗日函数，消去松弛变量。
  2. 外层固定 \(\lambda, \mu, \rho\)，内层用SVRG迭代100步更新 \(x\)。
  3. 更新乘子：\(\lambda \leftarrow \lambda + \rho (\|x\|^2 - 1)\)，\(\mu \leftarrow \max\{0, \mu + \rho (x_1 - 0.5)\}\)。
  4. 检查约束违反，若仍大则增大 \(\rho\) 继续外层迭代。

该方法在机器学习中带约束的大规模经验风险最小化问题中很有用，例如支持向量机、带约束的深度学习。

总结：本算法结合了增广拉格朗日法的约束处理能力和SVRG的大规模有限和优化效率，通过两层迭代实现了大规模约束非线性规划的高效求解。关键在于内层梯度估计的方差缩减和外层乘子的自适应更新。

基于增广拉格朗日的随机方差缩减梯度法(SVRG-AL)基础题 题目描述 考虑一个非线性规划问题： \[ \begin{aligned} \min_ {x \in \mathbb{R}^n} \quad & f(x) = \frac{1}{N} \sum_ {i=1}^{N} f_ i(x) \\ \text{s.t.} \quad & c_ j(x) = 0, \quad j = 1, \dots, m \\ & h_ k(x) \leq 0, \quad k = 1, \dots, p \end{aligned} \] 其中，目标函数 \( f(x) \) 是 \( N \) 个分量函数 \( f_ i(x) \) 的平均（例如大规模机器学习中的经验风险），\( c_ j(x) \) 是等式约束，\( h_ k(x) \) 是不等式约束。假设 \( f_ i(x) \)、\( c_ j(x) \)、\( h_ k(x) \) 都是连续可微的，且 \( N \) 很大（例如 \( N \geq 10^5 \)），因此每次计算全梯度 \( \nabla f(x) = \frac{1}{N} \sum_ {i=1}^{N} \nabla f_ i(x) \) 的代价很高。要求设计一个基于 增广拉格朗日法 和 随机方差缩减梯度 的高效算法，在保证约束精度的同时，降低每次迭代的计算成本。 解题过程循序渐进讲解 1. 问题分析与算法选择动机 大规模约束优化问题中，直接使用传统优化方法（如SQP、内点法）需要反复计算全梯度，计算量随 \( N \) 线性增长，效率低下。 增广拉格朗日法 ：将约束问题转化为一系列无约束子问题，通过迭代更新拉格朗日乘子和罚参数来逼近约束最优解。 随机方差缩减梯度 ：适用于有限和形式的目标，通过动态估计全梯度并采样小批量数据计算方差缩减的梯度估计，大幅降低单次迭代成本。 结合两者，可以设计一个 外层 更新乘子和罚参数、 内层 用SVRG求解无约束子问题的两层迭代算法。 2. 增广拉格朗日函数构造 首先引入松弛变量 \( s_ k \geq 0 \) 将不等式约束转化为等式： \[ h_ k(x) + s_ k^2 = 0, \quad s_ k \in \mathbb{R}. \] 记 \( c(x) = [ c_ 1(x), \dots, c_ m(x)]^T \)，\( h(x) = [ h_ 1(x), \dots, h_ p(x)]^T \)，\( s = [ s_ 1, \dots, s_ p ]^T \)。 增广拉格朗日函数为： \[ \mathcal{L}_ {\rho}(x, s, \lambda, \mu) = f(x) + \lambda^T c(x) + \frac{\rho}{2} \|c(x)\|^2 + \mu^T (h(x) + s^2) + \frac{\rho}{2} \|h(x) + s^2\|^2, \] 其中 \( \lambda \in \mathbb{R}^m \)、\( \mu \in \mathbb{R}^p \) 是拉格朗日乘子，\( \rho > 0 \) 是罚参数，\( s^2 \) 表示逐元素平方。 3. 子问题分解与SVRG应用 在每步外层迭代中，固定 \( \lambda, \mu, \rho \)，需要求解关于 \( x \) 和 \( s \) 的无约束子问题： \[ \min_ {x, s \geq 0} \mathcal{L} {\rho}(x, s, \lambda, \mu). \] 由于 \( s \) 只出现在 \( \|h(x) + s^2\|^2 \) 项中，可显式求解：对固定 \( x \)，令 \( g_ k = h_ k(x) \)，则最优 \( s_ k \) 满足 \[ s_ k^* = \max\left\{0, -\frac{\mu_ k}{2\rho} - \frac{g_ k}{2}\right\}^{1/2}. \] 代入后，子问题简化为仅关于 \( x \) 的无约束问题： \[ \min {x} \Phi_ {\rho}(x; \lambda, \mu) := f(x) + \lambda^T c(x) + \frac{\rho}{2} \|c(x)\|^2 + \psi_ {\rho}(x; \mu), \] 其中 \[ \psi_ {\rho}(x; \mu) = \sum_ {k=1}^p \begin{cases} -\frac{\mu_ k^2}{4\rho}, & \text{if } h_ k(x) \leq -\frac{\mu_ k}{\rho}, \\ \mu_ k h_ k(x) + \frac{\rho}{2} h_ k(x)^2, & \text{otherwise}. \end{cases} \] （这是通过解析消去 \( s \) 得到的经典结果，推导从略。） 现在 \( \Phi_ {\rho} \) 是有限和形式吗？注意 \( f(x) = \frac{1}{N} \sum_ i f_ i(x) \)，而 \( c(x) \)、\( h(x) \) 通常不是有限和，但 \( N \) 很大时，主要计算负担在 \( f(x) \) 的梯度。因此我们对 \( \nabla f(x) \) 采用SVRG估计，而对 \( \nabla c(x) \)、\( \nabla h(x) \) 仍用全量计算（因 \( m, p \) 较小）。 4. SVRG梯度估计的嵌入 设当前外层迭代的乘子为 \( \lambda^t, \mu^t \)，罚参数为 \( \rho_ t \)。记： \[ F(x) := \Phi_ {\rho_ t}(x; \lambda^t, \mu^t) = \frac{1}{N} \sum_ {i=1}^N f_ i(x) + Q(x), \] 其中 \( Q(x) = \lambda^{tT} c(x) + \frac{\rho_ t}{2} \|c(x)\|^2 + \psi_ {\rho_ t}(x; \mu^t) \) 与 \( i \) 无关。 则梯度为： \[ \nabla F(x) = \frac{1}{N} \sum_ {i=1}^N \nabla f_ i(x) + \nabla Q(x). \] SVRG的工作方式： 在每轮内层迭代开始时，计算“快照”处的全梯度 \( \tilde{g} = \nabla F(\tilde{x}) = \frac{1}{N} \sum_ i \nabla f_ i(\tilde{x}) + \nabla Q(\tilde{x}) \)。 内层每次迭代随机选一个索引 \( i_ t \in \{1,\dots,N\} \)，计算方差缩减的梯度估计： \[ v_ t = \nabla f_ {i_ t}(x_ t) - \nabla f_ {i_ t}(\tilde{x}) + \tilde{g}. \] 注意 \( \nabla Q(x) \) 在 \( v_ t \) 中已通过 \( \tilde{g} \) 包含，不需重复采样。 5. 完整算法步骤 算法：SVRG-增广拉格朗日法 初始化 ：\( x^0, s^0, \lambda^0, \mu^0 \geq 0, \rho_ 0 > 0, \eta > 1 \)（罚参数增长因子），内层步长 \( \alpha > 0 \)，内层迭代数 \( T \)。 外层循环 （\( t = 0, 1, 2, \dots \)）： a. 固定 \( \lambda^t, \mu^t, \rho_ t \)，构造 \( \Phi_ {\rho_ t}(x; \lambda^t, \mu^t) \)。 b. 内层SVRG循环 求解 \( \min_ x \Phi_ {\rho_ t}(x) \)： 设内层初始点 \( \tilde{x} = x^t \)，计算全梯度 \( \tilde{g} = \nabla \Phi_ {\rho_ t}(\tilde{x}) \)。 对 \( \tau = 0 \) 到 \( T-1 \)： 随机均匀选取 \( i_ {\tau} \in \{1,\dots,N\} \)。 计算梯度估计： \[ v_ {\tau} = \nabla f_ {i_ {\tau}}(x_ {\tau}) - \nabla f_ {i_ {\tau}}(\tilde{x}) + \tilde{g}. \] 更新：\( x_ {\tau+1} = x_ {\tau} - \alpha v_ {\tau} \)。 设置内层输出 \( x^{t+1} = x_ T \)。 c. 更新松弛变量：\( s_ k^{t+1} = \max\{0, -\frac{\mu_ k^t}{2\rho_ t} - \frac{h_ k(x^{t+1})}{2}\}^{1/2} \)。 d. 更新乘子： \[ \lambda_ j^{t+1} = \lambda_ j^t + \rho_ t c_ j(x^{t+1}), \quad j=1,\dots,m, \] \[ \mu_ k^{t+1} = \max\{0, \mu_ k^t + \rho_ t h_ k(x^{t+1})\}, \quad k=1,\dots,p. \] e. 更新罚参数：若约束违反度未下降足够，则 \( \rho_ {t+1} = \eta \rho_ t \)，否则 \( \rho_ {t+1} = \rho_ t \)。 终止条件 ：当约束违反度 \( \|c(x^t)\| + \|\max\{0, h(x^t)\}\| \) 小于容差，且梯度范数足够小时停止。 6. 关键点与注意事项 计算优势 ：内层每次迭代只计算单个 \( \nabla f_ {i}(x) \)，而不是全梯度，代价从 \( O(Nn) \) 降至 \( O(n) \)。 方差缩减 ：SVRG的估计 \( v_ t \) 方差逐渐减小，确保内层收敛速度接近梯度下降。 约束处理 ：增广拉格朗日法将约束违反融入目标，子问题精确求解不必要，只需近似解（内层SVRG迭代有限步），仍能保证外层收敛。 步长选择 ：内层步长 \( \alpha \) 需满足 \( 0 < \alpha < 1/L \)，其中 \( L \) 是 \( \Phi_ {\rho_ t} \) 的 Lipschitz 常数估计（可通过 \( f_ i \) 和 \( Q \) 的 Lipschitz 常数求和得到）。 实际调整 ：初始 \( \rho_ 0 \) 不宜过大，以免子问题病态；可据约束违反度自适应增加 \( \rho \)。 7. 简单数值例子说明 设 \( N=1000 \)，\( n=20 \)，\( f_ i(x) = (a_ i^T x - b_ i)^2 \)（线性回归），约束为 \( \|x\|^2 = 1 \)（等式）和 \( x_ 1 \leq 0.5 \)（不等式）。 算法步骤： 构造增广拉格朗日函数，消去松弛变量。 外层固定 \( \lambda, \mu, \rho \)，内层用SVRG迭代100步更新 \( x \)。 更新乘子：\( \lambda \leftarrow \lambda + \rho (\|x\|^2 - 1) \)，\( \mu \leftarrow \max\{0, \mu + \rho (x_ 1 - 0.5)\} \)。 检查约束违反，若仍大则增大 \( \rho \) 继续外层迭代。 该方法在机器学习中带约束的大规模经验风险最小化问题中很有用，例如支持向量机、带约束的深度学习。 总结 ：本算法结合了 增广拉格朗日法 的约束处理能力和 SVRG 的大规模有限和优化效率，通过两层迭代实现了大规模约束非线性规划的高效求解。关键在于内层梯度估计的方差缩减和外层乘子的自适应更新。