高斯-埃尔米特求积公式在量子力学谐振子本征函数积分中的节点对称性利用与误差分析
字数 3208 2025-12-06 18:59:25

高斯-埃尔米特求积公式在量子力学谐振子本征函数积分中的节点对称性利用与误差分析

题目描述
在量子力学中，一维谐振子的本征函数（即能量本征态波函数）可以表示为 Hermite 多项式乘以指数衰减因子。具体地，第 \(n\) 个能级对应的波函数为：

\[\psi_n(x) = \frac{1}{\sqrt{2^n n! \sqrt{\pi}}} \, e^{-x^2/2} \, H_n(x) \]

其中 \(H_n(x)\) 是 \(n\) 次 Hermite 多项式。在实际计算中，经常需要计算该波函数及其相关量的积分，例如期望值 \(\langle x^k \rangle_n = \int_{-\infty}^{\infty} \psi_n^*(x) x^k \psi_n(x) dx\) 或不同能级间的跃迁矩阵元。由于积分区间为 \((-\infty, \infty)\) 且被积函数包含权重因子 \(e^{-x^2}\)，高斯-埃尔米特（Gauss-Hermite）求积公式是处理此类积分的自然选择。本题目要求：利用高斯-埃尔米特求积公式计算谐振子基态 (\(n=0\)) 的坐标平方期望值 \(\langle x^2 \rangle_0 = \int_{-\infty}^{\infty} \psi_0^*(x) x^2 \psi_0(x) dx\)。详细分析如何利用 Hermite 多项式的正交性和高斯-埃尔米特求积公式的节点对称性简化计算，并给出利用 \(N\) 个节点求积时的误差估计表达式。

解题过程循序渐进讲解

  1. 写出待计算的积分表达式
    对于谐振子基态，\(n=0\)，已知 Hermite 多项式 \(H_0(x)=1\)，因此波函数为：

\[ \psi_0(x) = \pi^{-1/4} e^{-x^2/2} \]

坐标平方的期望值：

\[ \langle x^2 \rangle_0 = \int_{-\infty}^{\infty} \psi_0^*(x) x^2 \psi_0(x) dx = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} x^2 dx \]

这里利用了 \(\psi_0\) 是实函数。于是问题化为计算积分：

\[ I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} x^2 dx \]

  1. 高斯-埃尔米特求积公式简介
    高斯-埃尔米特求积公式用于计算形如 \(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} f(x) dx\) 的积分。其公式为：

\[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} f(x) dx \approx \sum_{i=1}^{N} w_i f(x_i) \]

其中 \(x_i\) 是 \(N\) 次 Hermite 多项式 \(H_N(x)\) 的零点（求积节点），\(w_i\) 是对应权重：

\[ w_i = \frac{2^{N-1} N! \sqrt{\pi}}{N^2 [H_{N-1}(x_i)]^2} \]

该公式具有最高代数精度 \(2N-1\)，即对任意次数不超过 \(2N-1\) 的多项式，求积结果精确成立。

  1. 利用对称性简化
    由于 Hermite 多项式的零点关于原点对称：若 \(x_i\) 是零点，则 \(-x_i\) 也是零点，并且对应权重相等 \(w(x_i) = w(-x_i)\)。对于被积函数 \(f(x)=x^2\)，它是偶函数，因此可以利用对称性减少计算量：
    • 当 \(N\) 为偶数时，零点成对出现，且原点不是零点。
    • 当 \(N\) 为奇数时，零点成对出现且包含零点 \(x=0\)。
      在求和时，只需对非负节点计算然后加倍（注意若 \(x_i=0\) 则不加倍）。即：

\[ \sum_{i=1}^{N} w_i x_i^2 = 2 \sum_{x_i > 0} w_i x_i^2 \quad (\text{若 } N \text{ 为偶数}) \]

若 \(N\) 为奇数，则原点处的节点贡献为零（因为 \(x=0\) 时 \(x^2=0\)），所以公式同上。

  1. 计算过程示例
    以 \(N=3\) 为例（实际中可根据精度要求选择更大的 \(N\)）：
    • 三次 Hermite 多项式 \(H_3(x)=8x^3-12x\) 的零点为 \(x_1=-\sqrt{3/2}, x_2=0, x_3=\sqrt{3/2}\)。
    • 对应权重：利用公式 \(w_i = \frac{2^{2} 3! \sqrt{\pi}}{3^2 [H_2(x_i)]^2}\)，其中 \(H_2(x)=4x^2-2\)。计算得：

\[ w_1 = w_3 = \frac{\sqrt{\pi}}{6}, \quad w_2 = \frac{2\sqrt{\pi}}{3} \]

  • 求积近似：

\[ \sum_{i=1}^{3} w_i x_i^2 = w_1 x_1^2 + w_2 \cdot 0 + w_3 x_3^2 = 2 \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{6} \cdot \left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right)^2 = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \]

因此积分近似值 \(I \approx \frac{\sqrt{\pi}}{2}\)。
于是期望值：

\[ \langle x^2 \rangle_0 \approx \frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2} = \frac{1}{2} \]

  1. 误差分析
    高斯-埃尔米特求积公式的误差项为：

\[ E_N = \frac{N! \sqrt{\pi}}{2^N (2N)!} f^{(2N)}(\xi), \quad \xi \in (-\infty, \infty) \]

其中 \(f(x)=x^2\)。由于 \(f(x)\) 是二次多项式，其二阶以上导数为零。因此当 \(N \ge 2\) 时，\(2N \ge 4 > 2\)，故 \(f^{(2N)}(x) \equiv 0\)，误差为零。这意味着对于被积函数为 \(x^2\) 的情形，只要取 \(N \ge 2\)，求积公式给出精确结果，而不只是近似。
验证精确性：已知积分 \(I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} x^2 dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\)（可通过分部积分或查高斯积分得到）。上面 \(N=3\) 的计算结果恰为此值，与误差分析一致。

  1. 一般性讨论
    对于更一般的被积函数（例如计算激发态 \(n>0\) 的期望值或矩阵元），被积函数包含 Hermite 多项式的乘积，可能不是低次多项式。此时误差估计公式中的导数项不再为零，需要根据 \(f^{(2N)}(\xi)\) 的界来估计误差。通常，若被积函数足够光滑，误差随 \(N\) 增大而快速下降。在实际编程计算中，可逐步增加 \(N\) 直到相邻两次结果的差值小于指定容差。

总结
本题展示了如何利用高斯-埃尔米特求积公式计算谐振子波函数的积分。关键点包括：利用被积函数中的自然权重 \(e^{-x^2}\) 匹配求积公式的权函数；利用 Hermite 多项式零点的对称性简化计算；以及通过误差公式分析求积精度，特别是当被积函数为多项式时，高斯型求积公式可在节点数足够时给出精确结果。

高斯-埃尔米特求积公式在量子力学谐振子本征函数积分中的节点对称性利用与误差分析 题目描述 在量子力学中，一维谐振子的本征函数（即能量本征态波函数）可以表示为 Hermite 多项式乘以指数衰减因子。具体地，第 \(n\) 个能级对应的波函数为： \[ \psi_ n(x) = \frac{1}{\sqrt{2^n n! \sqrt{\pi}}} \, e^{-x^2/2} \, H_ n(x) \] 其中 \(H_ n(x)\) 是 \(n\) 次 Hermite 多项式。在实际计算中，经常需要计算该波函数及其相关量的积分，例如期望值 \(\langle x^k \rangle_ n = \int_ {-\infty}^{\infty} \psi_ n^ (x) x^k \psi_ n(x) dx\) 或不同能级间的跃迁矩阵元。由于积分区间为 \((-\infty, \infty)\) 且被积函数包含权重因子 \(e^{-x^2}\)，高斯-埃尔米特（Gauss-Hermite）求积公式是处理此类积分的自然选择。本题目要求：利用高斯-埃尔米特求积公式计算谐振子基态 (\(n=0\)) 的坐标平方期望值 \(\langle x^2 \rangle_ 0 = \int_ {-\infty}^{\infty} \psi_ 0^ (x) x^2 \psi_ 0(x) dx\)。详细分析如何利用 Hermite 多项式的正交性和高斯-埃尔米特求积公式的节点对称性简化计算，并给出利用 \(N\) 个节点求积时的误差估计表达式。 解题过程循序渐进讲解 写出待计算的积分表达式 对于谐振子基态，\(n=0\)，已知 Hermite 多项式 \(H_ 0(x)=1\)，因此波函数为： \[ \psi_ 0(x) = \pi^{-1/4} e^{-x^2/2} \] 坐标平方的期望值： \[ \langle x^2 \rangle_ 0 = \int_ {-\infty}^{\infty} \psi_ 0^* (x) x^2 \psi_ 0(x) dx = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_ {-\infty}^{\infty} e^{-x^2} x^2 dx \] 这里利用了 \(\psi_ 0\) 是实函数。于是问题化为计算积分： \[ I = \int_ {-\infty}^{\infty} e^{-x^2} x^2 dx \] 高斯-埃尔米特求积公式简介 高斯-埃尔米特求积公式用于计算形如 \(\int_ {-\infty}^{\infty} e^{-x^2} f(x) dx\) 的积分。其公式为： \[ \int_ {-\infty}^{\infty} e^{-x^2} f(x) dx \approx \sum_ {i=1}^{N} w_ i f(x_ i) \] 其中 \(x_ i\) 是 \(N\) 次 Hermite 多项式 \(H_ N(x)\) 的零点（求积节点），\(w_ i\) 是对应权重： \[ w_ i = \frac{2^{N-1} N! \sqrt{\pi}}{N^2 [ H_ {N-1}(x_ i) ]^2} \] 该公式具有最高代数精度 \(2N-1\)，即对任意次数不超过 \(2N-1\) 的多项式，求积结果精确成立。 利用对称性简化 由于 Hermite 多项式的零点关于原点对称：若 \(x_ i\) 是零点，则 \(-x_ i\) 也是零点，并且对应权重相等 \(w(x_ i) = w(-x_ i)\)。对于被积函数 \(f(x)=x^2\)，它是偶函数，因此可以利用对称性减少计算量： 当 \(N\) 为偶数时，零点成对出现，且原点不是零点。 当 \(N\) 为奇数时，零点成对出现且包含零点 \(x=0\)。 在求和时，只需对非负节点计算然后加倍（注意若 \(x_ i=0\) 则不加倍）。即： \[ \sum_ {i=1}^{N} w_ i x_ i^2 = 2 \sum_ {x_ i > 0} w_ i x_ i^2 \quad (\text{若 } N \text{ 为偶数}) \] 若 \(N\) 为奇数，则原点处的节点贡献为零（因为 \(x=0\) 时 \(x^2=0\)），所以公式同上。 计算过程示例 以 \(N=3\) 为例（实际中可根据精度要求选择更大的 \(N\)）： 三次 Hermite 多项式 \(H_ 3(x)=8x^3-12x\) 的零点为 \(x_ 1=-\sqrt{3/2}, x_ 2=0, x_ 3=\sqrt{3/2}\)。 对应权重：利用公式 \(w_ i = \frac{2^{2} 3! \sqrt{\pi}}{3^2 [ H_ 2(x_ i)]^2}\)，其中 \(H_ 2(x)=4x^2-2\)。计算得： \[ w_ 1 = w_ 3 = \frac{\sqrt{\pi}}{6}, \quad w_ 2 = \frac{2\sqrt{\pi}}{3} \] 求积近似： \[ \sum_ {i=1}^{3} w_ i x_ i^2 = w_ 1 x_ 1^2 + w_ 2 \cdot 0 + w_ 3 x_ 3^2 = 2 \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{6} \cdot \left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right)^2 = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \] 因此积分近似值 \(I \approx \frac{\sqrt{\pi}}{2}\)。 于是期望值： \[ \langle x^2 \rangle_ 0 \approx \frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2} = \frac{1}{2} \] 误差分析 高斯-埃尔米特求积公式的误差项为： \[ E_ N = \frac{N! \sqrt{\pi}}{2^N (2N) !} f^{(2N)}(\xi), \quad \xi \in (-\infty, \infty) \] 其中 \(f(x)=x^2\)。由于 \(f(x)\) 是二次多项式，其二阶以上导数为零。因此当 \(N \ge 2\) 时，\(2N \ge 4 > 2\)，故 \(f^{(2N)}(x) \equiv 0\)，误差为零。这意味着对于被积函数为 \(x^2\) 的情形，只要取 \(N \ge 2\)，求积公式给出精确结果，而不只是近似。 验证精确性：已知积分 \(I = \int_ {-\infty}^{\infty} e^{-x^2} x^2 dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\)（可通过分部积分或查高斯积分得到）。上面 \(N=3\) 的计算结果恰为此值，与误差分析一致。 一般性讨论 对于更一般的被积函数（例如计算激发态 \(n>0\) 的期望值或矩阵元），被积函数包含 Hermite 多项式的乘积，可能不是低次多项式。此时误差估计公式中的导数项不再为零，需要根据 \(f^{(2N)}(\xi)\) 的界来估计误差。通常，若被积函数足够光滑，误差随 \(N\) 增大而快速下降。在实际编程计算中，可逐步增加 \(N\) 直到相邻两次结果的差值小于指定容差。 总结 本题展示了如何利用高斯-埃尔米特求积公式计算谐振子波函数的积分。关键点包括：利用被积函数中的自然权重 \(e^{-x^2}\) 匹配求积公式的权函数；利用 Hermite 多项式零点的对称性简化计算；以及通过误差公式分析求积精度，特别是当被积函数为多项式时，高斯型求积公式可在节点数足够时给出精确结果。