其中 $ \Sigma_k^+ $ 是保留前 $ k $ 个最大奇异值的伪逆（通常根据奇异值衰减阈值确定 $ k $）。

 此函数在邻域内光滑且逼近原函数，但显式地分离了奇异成分，使 $\tilde{F}(x)$ 在 $ x_0 $ 处有定义且光滑。

 其中 $ t_i^{GL}, w_i^{GL} $ 是 $[-1,1]$ 上的标准高斯-勒让德节点和权重。

 其中节点 $ x_i^{GC} = \cos\left( \frac{i\pi}{N+1} \right) $，权重 $ w_i^{GC} = \frac{\pi}{N+1} \sin^2\left( \frac{i\pi}{N+1} \right) $。

 但这并非标准权重区间。我们需做变量变换，将区间映射到 $[-1,1]$ 并保持切比雪夫权形式。

 其中 $ \xi(t) = a + \frac{b-a}{2}(t+1) $。

 这正是带权 $\sin \theta$ 的积分，对应第一类高斯-切比雪夫求积（实际上权函数为 $\sqrt{1-t^2}$ 在变换后对应 $\sin \theta$）。

 其中节点 $ t_i^{GC1} = \cos\left( \frac{(2i-1)\pi}{2N} \right) $，权重 $ v_i^{GC1} = \frac{\pi}{N+1} \sin^2\left( \frac{i\pi}{N+1} \right) $（注：此处权重公式有不同变体，需查表确认）。

 这并不是直接匹配的。更好的方式是：在映射后的区间上，直接使用标准高斯-勒让德求积，但针对振荡函数，高斯-切比雪夫节点分布（余弦节点）在边界密集，更适合捕捉边界振荡。因此，实践中常将映射后的区间用高斯-切比雪夫求积（权函数 $1/\sqrt{1-t^2}$）计算，但需确保被积函数在端点有界。

带奇异点的振荡函数积分：基于奇异值分解的正则化与高斯-切比雪夫求积混合方法 我将为您讲解一个结合奇异值分解(SVD)正则化与高斯-切比雪夫求积的方法，用于计算一类带可去奇异点的振荡函数积分。这类问题在物理和工程计算中常见，如声波散射、电磁场计算等。 题目描述 考虑计算如下形式的积分： \[ I = \int_ {-1}^{1} f(x) \cos(\omega g(x)) \, dx \] 其中，被积函数在积分区间内某点 \( x_ 0 \in (-1, 1) \) 存在可去奇异性（例如，\(\lim_ {x \to x_ 0} f(x)\) 为有限值，但 \( f(x) \) 在该点无定义或形式奇异），同时整个被积函数因余弦因子呈现高频振荡特性。直接应用标准数值求积公式会因奇异性导致精度严重下降，而振荡性又要求密集采样。我们需要设计一种混合策略，在奇点附近进行正则化处理，同时高效处理振荡部分。 解题步骤 第一步：问题分析与挑战识别 奇异性分析 ：首先需确定奇点位置 \( x_ 0 \) 和奇异性类型。题目假设为“可去奇异性”，即函数在 \( x_ 0 \) 的极限存在，但表达式可能包含如 \(\frac{\sin(x-x_ 0)}{x-x_ 0}\) 或 \(\sqrt{|x-x_ 0|}\) 等奇异形式。这提示我们可通过变量替换或加减抵消项来消除奇异性。 振荡性分析 ：振荡频率由 \( \omega g(x) \) 控制，\( \omega \) 是大参数。当 \( \omega \) 很大时，被积函数剧烈振荡，标准求积公式需要极多节点才能捕捉振荡，计算量巨大。 核心难点 ：单纯处理奇异性（如用高斯-切比雪夫求积处理端点奇异）无法应对高频振荡；而单纯处理振荡（如驻相法、Levin方法）通常要求被积函数光滑，不适用于奇异点。 第二步：方法概述——混合策略框架 我们的混合策略分三个阶段： 正则化阶段 ：在奇点附近的小邻域内，通过基于奇异值分解(SVD)的局部拟合，构造一个光滑的替代函数，消除奇异性。 分裂积分阶段 ：将原积分区间分裂为奇点邻域和其余部分。 分别求积阶段 ： 在奇点邻域内，对正则化后的光滑函数应用高斯-勒让德求积。 在其余区域，对原振荡函数应用高斯-切比雪夫求积（利用其权函数 \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) 能较好处理端点行为，且节点分布对振荡函数有一定适应性）。 第三步：详细推导与计算过程 3.1 正则化阶段：基于SVD的局部函数重构 确定奇点邻域 ：以奇点 \( x_ 0 \) 为中心，选取一个小邻域 \([ x_ 0 - \delta, x_ 0 + \delta ]\)，其中 \(\delta\) 是一个小正数，例如 \(\delta = 0.1\) 或根据 \( \omega \) 调整（通常 \(\delta \sim 1/\omega\) 可平衡振荡与奇异效应）。 采样与构造设计矩阵 ： 在邻域内均匀选取 \( m \) 个采样点 \( x_ i \)（\( m \) 稍大于基函数个数，如 \( m=20 \)）。 定义一组基函数 \(\phi_ j(x)\)，应包含两部分： a) 能够捕捉奇异性主要成分的项，例如若 \( f(x) \) 在 \( x_ 0 \) 附近行为如 \( \frac{h(x)}{x-x_ 0} \)，则基函数应包括 \( \frac{1}{x-x_ 0} \) 和光滑部分基（如多项式）。 b) 用于拟合振荡的项，例如 \( \cos(\omega g(x)) \) 和 \( \sin(\omega g(x)) \) 的线性组合。 实际中，常用基为：\(\{1, x, x^2, \frac{1}{x-x_ 0}, \cos(\omega g(x)), \sin(\omega g(x))\}\) 等，具体需根据 \( f(x) \) 和 \( g(x) \) 的形式调整。 构造设计矩阵 \( A \in \mathbb{R}^{m \times n} \)，其中 \( A_ {ij} = \phi_ j(x_ i) \)，\( n \) 为基函数个数。 SVD拟合 ： 计算目标值向量 \( b \)，其中 \( b_ i = f(x_ i) \cos(\omega g(x_ i)) \)。 对 \( A \) 进行奇异值分解：\( A = U \Sigma V^T \)。 由于基函数可能近似线性相关（例如奇异性基与多项式基在局部可能耦合），直接最小二乘可能不稳定。使用截断SVD（TSVD）： \[ \mathbf{c} = V \Sigma_ k^+ U^T \mathbf{b} \] 其中 \( \Sigma_ k^+ \) 是保留前 \( k \) 个最大奇异值的伪逆（通常根据奇异值衰减阈值确定 \( k \)）。 得到系数向量 \( \mathbf{c} \) 后，正则化函数为： \[ \tilde{F}(x) = \sum_ {j=1}^{n} c_ j \phi_ j(x) \] 此函数在邻域内光滑且逼近原函数，但显式地分离了奇异成分，使 \(\tilde{F}(x)\) 在 \( x_ 0 \) 处有定义且光滑。 3.2 积分区间分裂 将原积分写为： \[ I = \int_ {-1}^{x_ 0-\delta} f(x) \cos(\omega g(x)) \, dx + \int_ {x_ 0-\delta}^{x_ 0+\delta} \tilde{F}(x) \, dx + \int_ {x_ 0+\delta}^{1} f(x) \cos(\omega g(x)) \, dx \] 记为 \( I = I_ {\text{left}} + I_ {\text{middle}} + I_ {\text{right}} \)。 3.3 分别求积 中间部分 \( I_ {\text{middle}} \) ： 被积函数 \( \tilde{F}(x) \) 光滑，可直接应用高斯-勒让德求积。 在 \([ x_ 0-\delta, x_ 0+\delta]\) 上应用 \( N_ m \) 点高斯-勒让德公式： \[ I_ {\text{middle}} \approx \frac{\delta}{2} \sum_ {i=1}^{N_ m} w_ i^{GL} \tilde{F}\left( x_ 0 + \delta \cdot t_ i^{GL} \right) \] 其中 \( t_ i^{GL}, w_ i^{GL} \) 是 \([ -1,1 ]\) 上的标准高斯-勒让德节点和权重。 由于区间小且函数光滑，中等节点数（如 \( N_ m=10 \sim 20 \)）即可得高精度。 两侧部分 \( I_ {\text{left}}, I_ {\text{right}} \) ： 被积函数仍为 \( f(x) \cos(\omega g(x)) \)，在边界 \( x = \pm 1 \) 处，如果 \( f(x) \) 有界，则无奇异性，但振荡性依然存在。 采用 高斯-切比雪夫求积公式 （第二类）处理振荡积分。其一般形式为： \[ \int_ {-1}^{1} \frac{h(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \approx \sum_ {i=1}^{N} w_ i^{GC} h(x_ i^{GC}) \] 其中节点 \( x_ i^{GC} = \cos\left( \frac{i\pi}{N+1} \right) \)，权重 \( w_ i^{GC} = \frac{\pi}{N+1} \sin^2\left( \frac{i\pi}{N+1} \right) \)。 为了匹配我们的被积函数，需将 \( h(x) \) 设为 \( f(x) \cos(\omega g(x)) \sqrt{1-x^2} \)。即： \[ I_ {\text{left}} = \int_ {-1}^{x_ 0-\delta} f(x) \cos(\omega g(x)) \, dx = \int_ {-1}^{x_ 0-\delta} \frac{ f(x) \cos(\omega g(x)) \sqrt{1-x^2} }{\sqrt{1-x^2}} \, dx \] 但这并非标准权重区间。我们需做变量变换，将区间映射到 \([ -1,1 ]\) 并保持切比雪夫权形式。 具体变换（以左半区间为例）： 令 \( x = a + \frac{b-a}{2}(t+1) \)，其中 \( a=-1, b=x_ 0-\delta \)。 则 \[ I_ {\text{left}} = \frac{b-a}{2} \int_ {-1}^{1} f(\xi(t)) \cos(\omega g(\xi(t))) \, dt \] 其中 \( \xi(t) = a + \frac{b-a}{2}(t+1) \)。 再令 \( t = \cos \theta \)，则 \( dt = -\sin \theta \, d\theta \)，积分变为： \[ I_ {\text{left}} = \frac{b-a}{2} \int_ {0}^{\pi} f(\xi(\cos \theta)) \cos(\omega g(\xi(\cos \theta))) \sin \theta \, d\theta \] 这正是带权 \(\sin \theta\) 的积分，对应第一类高斯-切比雪夫求积（实际上权函数为 \(\sqrt{1-t^2}\) 在变换后对应 \(\sin \theta\)）。 实际计算中，可直接采用 第一类高斯-切比雪夫求积公式 （权函数 \( \sqrt{1-t^2} \)）： \[ \int_ {-1}^{1} h(t) \sqrt{1-t^2} \, dt \approx \sum_ {i=1}^{N} v_ i^{GC1} h(t_ i^{GC1}) \] 其中节点 \( t_ i^{GC1} = \cos\left( \frac{(2i-1)\pi}{2N} \right) \)，权重 \( v_ i^{GC1} = \frac{\pi}{N+1} \sin^2\left( \frac{i\pi}{N+1} \right) \)（注：此处权重公式有不同变体，需查表确认）。 我们需将 \( I_ {\text{left}} \) 表示为标准形式： \[ I_ {\text{left}} = \frac{b-a}{2} \int_ {-1}^{1} \left[ f(\xi(t)) \cos(\omega g(\xi(t))) \frac{\sqrt{1-t^2}}{\sqrt{1-t^2}} \right ] \, dt \] 这并不是直接匹配的。更好的方式是：在映射后的区间上，直接使用标准高斯-勒让德求积，但针对振荡函数，高斯-切比雪夫节点分布（余弦节点）在边界密集，更适合捕捉边界振荡。因此，实践中常将映射后的区间用高斯-切比雪夫求积（权函数 \(1/\sqrt{1-t^2}\)）计算，但需确保被积函数在端点有界。 简化操作：在实际代码中，通常直接调用数值库中针对振荡函数的专用高斯-切比雪夫求积（如 quadgk 配合切比雪夫变换）。这里给出原理性步骤： a) 对每个侧区间，做线性变换到 \([ -1,1 ]\)。 b) 使用 振荡积分专用高斯公式 （如高斯-切比雪夫针对振荡核的变体）或 傅里叶积分方法 。但为简化，我们可在此区间使用 自适应高斯-克朗罗德积分 ，因为它能自动处理振荡，且对端点行为鲁棒。 整合与精度控制 ： 总积分近似为 \( I \approx I_ {\text{left}} + I_ {\text{middle}} + I_ {\text{right}} \)。 误差主要来源：SVD拟合误差、各段求积公式的截断误差。 可调节参数：邻域半径 \(\delta\)、SVD截断阶数 \(k\)、各段求积节点数 \(N\)。 可通过比较不同 \(\delta\) 或增加节点数后的结果变化来估计误差，或采用事后误差估计（如比较低阶和高阶公式结果）。 第四步：实例演示（简略） 设 \( f(x) = \frac{\sin(x-0.3)}{x-0.3} \), \( g(x) = x^2 \), \( \omega=50 \), 奇点 \( x_ 0=0.3 \)。 取 \(\delta=0.05\)，在 \([ 0.25, 0.35 ]\) 内取 \(m=15\) 个点。 基函数选为：\(\{1, x, (x-0.3), \frac{\sin(x-0.3)}{x-0.3}, \cos(50 x^2), \sin(50 x^2)\}\)。注意 \(\frac{\sin(x-0.3)}{x-0.3}\) 在 \(x=0.3\) 极限为1，是光滑的，但直接代入有形式奇异。我们将其作为整体基之一，由SVD确定系数。 构造 \(A\) 和 \(b\)，进行SVD拟合得到 \(\tilde{F}(x)\)。 计算中间积分 \(I_ {\text{middle}}\) 用10点高斯-勒让德。 计算两侧积分：将左侧区间 \([ -1, 0.25]\) 和右侧区间 \([ 0.35, 1]\) 分别做线性变换到 \([ -1,1 ]\)，然后在每个变换后区间上使用30点高斯-切比雪夫求积（权函数 \(1/\sqrt{1-t^2}\)，调用标准权重表）。 求和得近似积分值。 第五步：方法评价与扩展 优点 ： SVD正则化能稳定地处理可去奇异性，无需显式解析提取奇异部分。 混合求积结合了高斯-勒让德在光滑小区间的高效性，以及高斯-切比雪夫对振荡和端点行为的适应性。 方法可扩展到高维奇异振荡积分，通过张量积或稀疏网格实现。 局限 ： 需要预先知道奇点位置，或通过扫描探测。 对于本性奇点（如极点）效果有限，需结合解析延拓。 高频振荡极强时，可能需要结合驻相法或Levin型方法进一步加速。 扩展 ： 若奇异性更强（如代数奇点 \( |x-x_ 0|^{-\alpha} \)），可在基函数中显式加入奇性项，或用变量替换消除奇性后再应用本方法。 对于多个奇点，可划分多个邻域分别正则化。 此方法通过 局部SVD正则化 消除奇异性，再 分区选用合适的高斯求积公式 ，有效平衡了奇异性和振荡性两大难题，是处理此类混合困难积分的一种稳健策略。