基于线性规划的图最小直径生成树问题求解示例
字数 2957 2025-12-06 14:34:31

基于线性规划的图最小直径生成树问题求解示例

题目描述：
给定一个无向连通图 \(G = (V, E)\)，其中 \(|V| = n\) 个顶点，\(|E| = m\) 条边，以及每条边 \(e = (u, v) \in E\) 的非负长度 \(w_e\)。图的直径定义为图中任意两顶点之间最短路径长度的最大值。目标是从图中选出一棵生成树（覆盖所有顶点的连通无圈子图），使得该生成树的直径最小。我们需要构建线性规划模型来求解该问题，或通过线性规划松弛与舍入等技巧设计近似算法。

解题过程：

  1. 问题理解
    最小直径生成树（Minimum Diameter Spanning Tree, MDST）是经典组合优化问题。图的直径由最远顶点对的最短路径决定。在生成树中，直径是树上两叶子节点之间的最长路径长度。直接求解是 NP 难问题，但可通过线性规划松弛得到近似解。常见思路：先猜测直径上界 \(D\)，用线性规划检验是否存在直径不超过 \(D\) 的生成树。

  2. 建模关键思路

    • 设图中任意两点间的最短路径长度已通过 Floyd-Warshall 等算法预先计算，记为 \(d_{uv}\)。
    • 猜测一个直径上界 \(D\)。我们需要判断：是否存在一棵生成树，其直径 ≤ \(D\)？
    • 转化为：是否存在一个中心顶点 \(r\)，使得生成树中所有顶点到 \(r\) 的距离 ≤ \(D/2\)？
      （事实：任何树的直径中，存在一个中心点（可能是边或点），使得所有顶点到该中心的距离 ≤ 直径/2。对点中心而言，半径 ≤ 直径/2）
    • 但中心点未知。可对每个顶点 \(r\) 分别判断是否存在以 \(r\) 为中心、半径 ≤ \(D/2\) 的生成树。若某个 \(r\) 存在，则原问题有解。

  3. 对固定中心 \(r\) 和上界 \(D\) 的线性规划模型
    我们需要选择生成树的边，使得：

    1. 图连通且选 \(n-1\) 条边（生成树条件）。
    2. 树上每个顶点 \(v\) 到 \(r\) 的距离 ≤ \(D/2\)。

    但生成树条件需整数约束，我们先松弛为连通性条件：从 \(r\) 到每个顶点 \(v\) 存在一条路径。可用多商品流或割约束建模。

    变量：

    • 对每条边 \(e \in E\)，\(x_e \in [0, 1]\) 表示边 \(e\) 是否被选中。
    • 对每个顶点 \(v\)，定义从 \(r\) 到 \(v\) 的路径长度变量 \(\ell_v\)（表示树上从 \(r\) 到 \(v\) 的距离）。

    约束：

    • 连通性：对任意非空集合 \(S \subset V\)，若 \(r \notin S\)，则至少有一条选中的边从 \(S\) 外进入 \(S\)。

\[ \sum_{e \in \delta(S)} x_e \ge 1, \quad \forall S \subset V, r \notin S, S \neq \emptyset \]

 其中 $ \delta(S) $ 是 $ S $ 的割边集。
  • 距离约束：对每条边 \(e = (u,v)\)，若选中（\(x_e = 1\)），则 \(|\ell_u - \ell_v| = w_e\)，但线性化需用不等式：

\[ \ell_v \le \ell_u + w_e + M(1 - x_e) \quad \text{和} \quad \ell_u \le \ell_v + w_e + M(1 - x_e) \]

 其中 $ M $ 为大数。当 $ x_e = 1 $ 时强制 $ |\ell_u - \ell_v| = w_e $；当 $ x_e = 0 $ 时约束松弛。实际上，由于我们只需要半径约束，可简化：强制每个顶点 $ v $ 的 $ \ell_v $ 是从 $ r $ 出发沿选中边到达 $ v $ 的路径长度。这可用**最短路径约束**：

\[ \ell_v \le \ell_u + w_e + M(1 - x_e), \quad \forall e=(u,v) \in E \]

\[ \ell_v \ge 0, \quad \ell_r = 0 \]

 这保证了如果选中边 $ e $，则 $ \ell_v \le \ell_u + w_e $，但允许 $ \ell_v $ 小于实际路径长度（通过其他路径更短），不过因为我们只关心上界，且目标是使 $ \ell_v $ 尽可能小，所以可行。
  • 半径约束：\(\ell_v \le D/2\) 对所有 \(v \in V\)。
  • 生成树边数：\(\sum_{e \in E} x_e = n-1\)。

  1. 线性规划求解与二分搜索

    • 上述模型是混合整数规划（因 \(x_e\) 应二值）。我们松弛 \(x_e \in [0,1]\) 为线性规划。
    • 用二分搜索猜测最小直径 \(D_{\min}\)：
      1. 初始化下界 \(L = 0\)，上界 \(U = \max_{u,v} d_{uv}\)（原图最短路径的最大值）。
      2. 当 \(U - L > \epsilon\)：
        • 设 \(D = (L+U)/2\)。
        • 对每个顶点 \(r \in V\)，求解上述线性规划（松弛版），检查是否存在可行解。
        • 如果存在某个 \(r\) 可行，则 \(U = D\)；否则 \(L = D\)。
    • 最终 \(U\) 是最小直径的近似下界（因是松弛模型）。

  2. 舍入得到近似生成树
    得到分数解 \(x^*\) 后，如何构造整数生成树？可用随机化舍入或最小生成树（MST） 启发式：

    • 从分数解中提取距离估计 \(\ell_v^*\)。
    • 构建新图：对每条边 \(e=(u,v)\)，定义新权重 \(w'_e = |\ell_u^* - \ell_v^*|\)（近似于该边在树中带来的距离增量）。
    • 求原图以 \(w'_e\) 为权重的最小生成树。
    • 可以证明，该树的直径不超过 \(2 \cdot \text{OPT} + \text{小误差}\)，即 2 倍最优直径的近似。

  3. 算法总结

    1. 预计算所有点对最短路径 \(d_{uv}\)。
    2. 二分搜索直径上界 \(D\)。
    3. 对每个候选中心 \(r\) 求解线性规划松弛，判断是否存在半径 ≤ \(D/2\) 的分数生成树。
    4. 用分数解引导构建最小生成树，得到最终解。

关键点：

  • 该问题核心是将直径约束转化为到某个中心点的距离约束，从而用线性规划表达。
  • 由于生成树条件难以线性化，我们松弛连通性约束并用割条件表达，结合距离不等式约束。
  • 最终通过二分搜索得到直径下界，再舍入得到近似生成树。该方法是经典的线性规划舍入在图形问题中的应用，近似比通常为 2。
基于线性规划的图最小直径生成树问题求解示例 题目描述 ： 给定一个无向连通图 \( G = (V, E) \)，其中 \( |V| = n \) 个顶点，\( |E| = m \) 条边，以及每条边 \( e = (u, v) \in E \) 的非负长度 \( w_ e \)。图的 直径 定义为图中任意两顶点之间最短路径长度的最大值。目标是从图中选出一棵生成树（覆盖所有顶点的连通无圈子图），使得该生成树的直径最小。我们需要构建线性规划模型来求解该问题，或通过线性规划松弛与舍入等技巧设计近似算法。 解题过程 ： 问题理解 最小直径生成树（Minimum Diameter Spanning Tree, MDST）是经典组合优化问题。图的直径由最远顶点对的最短路径决定。在生成树中，直径是树上两叶子节点之间的最长路径长度。直接求解是 NP 难问题，但可通过线性规划松弛得到近似解。常见思路：先猜测直径上界 \( D \)，用线性规划检验是否存在直径不超过 \( D \) 的生成树。 建模关键思路 设图中任意两点间的最短路径长度已通过 Floyd-Warshall 等算法预先计算，记为 \( d_ {uv} \)。 猜测一个直径上界 \( D \)。我们需要判断：是否存在一棵生成树，其直径 ≤ \( D \)？ 转化为：是否存在一个中心顶点 \( r \)，使得生成树中所有顶点到 \( r \) 的距离 ≤ \( D/2 \)？ （事实：任何树的直径中，存在一个中心点（可能是边或点），使得所有顶点到该中心的距离 ≤ 直径/2。对点中心而言，半径 ≤ 直径/2） 但中心点未知。可对每个顶点 \( r \) 分别判断是否存在以 \( r \) 为中心、半径 ≤ \( D/2 \) 的生成树。若某个 \( r \) 存在，则原问题有解。 对固定中心 \( r \) 和上界 \( D \) 的线性规划模型 我们需要选择生成树的边，使得： 图连通且选 \( n-1 \) 条边（生成树条件）。 树上每个顶点 \( v \) 到 \( r \) 的距离 ≤ \( D/2 \)。 但生成树条件需整数约束，我们先松弛为连通性条件：从 \( r \) 到每个顶点 \( v \) 存在一条路径。可用 多商品流 或 割约束 建模。 变量 ： 对每条边 \( e \in E \)，\( x_ e \in [ 0, 1 ] \) 表示边 \( e \) 是否被选中。 对每个顶点 \( v \)，定义从 \( r \) 到 \( v \) 的路径长度变量 \( \ell_ v \)（表示树上从 \( r \) 到 \( v \) 的距离）。 约束 ： 连通性：对任意非空集合 \( S \subset V \)，若 \( r \notin S \)，则至少有一条选中的边从 \( S \) 外进入 \( S \)。 \[ \sum_ {e \in \delta(S)} x_ e \ge 1, \quad \forall S \subset V, r \notin S, S \neq \emptyset \] 其中 \( \delta(S) \) 是 \( S \) 的割边集。 距离约束：对每条边 \( e = (u,v) \)，若选中（\( x_ e = 1 \)），则 \( |\ell_ u - \ell_ v| = w_ e \)，但线性化需用不等式： \[ \ell_ v \le \ell_ u + w_ e + M(1 - x_ e) \quad \text{和} \quad \ell_ u \le \ell_ v + w_ e + M(1 - x_ e) \] 其中 \( M \) 为大数。当 \( x_ e = 1 \) 时强制 \( |\ell_ u - \ell_ v| = w_ e \)；当 \( x_ e = 0 \) 时约束松弛。实际上，由于我们只需要半径约束，可简化：强制每个顶点 \( v \) 的 \( \ell_ v \) 是从 \( r \) 出发沿选中边到达 \( v \) 的路径长度。这可用 最短路径约束 ： \[ \ell_ v \le \ell_ u + w_ e + M(1 - x_ e), \quad \forall e=(u,v) \in E \] \[ \ell_ v \ge 0, \quad \ell_ r = 0 \] 这保证了如果选中边 \( e \)，则 \( \ell_ v \le \ell_ u + w_ e \)，但允许 \( \ell_ v \) 小于实际路径长度（通过其他路径更短），不过因为我们只关心上界，且目标是使 \( \ell_ v \) 尽可能小，所以可行。 半径约束：\( \ell_ v \le D/2 \) 对所有 \( v \in V \)。 生成树边数：\( \sum_ {e \in E} x_ e = n-1 \)。 线性规划求解与二分搜索 上述模型是混合整数规划（因 \( x_ e \) 应二值）。我们松弛 \( x_ e \in [ 0,1 ] \) 为线性规划。 用二分搜索猜测最小直径 \( D_ {\min} \)： 初始化下界 \( L = 0 \)，上界 \( U = \max_ {u,v} d_ {uv} \)（原图最短路径的最大值）。 当 \( U - L > \epsilon \)： 设 \( D = (L+U)/2 \)。 对每个顶点 \( r \in V \)，求解上述线性规划（松弛版），检查是否存在可行解。 如果存在某个 \( r \) 可行，则 \( U = D \)；否则 \( L = D \)。 最终 \( U \) 是最小直径的近似下界（因是松弛模型）。 舍入得到近似生成树 得到分数解 \( x^* \) 后，如何构造整数生成树？可用 随机化舍入 或 最小生成树（MST） 启发式： 从分数解中提取距离估计 \( \ell_ v^* \)。 构建新图：对每条边 \( e=(u,v) \)，定义新权重 \( w'_ e = |\ell_ u^* - \ell_ v^* | \)（近似于该边在树中带来的距离增量）。 求原图以 \( w'_ e \) 为权重的最小生成树。 可以证明，该树的直径不超过 \( 2 \cdot \text{OPT} + \text{小误差} \)，即 2 倍最优直径的近似。 算法总结 预计算所有点对最短路径 \( d_ {uv} \)。 二分搜索直径上界 \( D \)。 对每个候选中心 \( r \) 求解线性规划松弛，判断是否存在半径 ≤ \( D/2 \) 的分数生成树。 用分数解引导构建最小生成树，得到最终解。 关键点 ： 该问题核心是将直径约束转化为到某个中心点的距离约束，从而用线性规划表达。 由于生成树条件难以线性化，我们松弛连通性约束并用割条件表达，结合距离不等式约束。 最终通过二分搜索得到直径下界，再舍入得到近似生成树。该方法是经典的线性规划舍入在图形问题中的应用，近似比通常为 2。