非线性规划中的自适应梯度下降法(AdaGrad)进阶题

问题描述

考虑如下无约束非线性规划问题：

\[\min_{x \in \mathbb{R}^n} f(x) = \sum_{i=1}^{m} f_i(x)^2 \]

其中，每个分量函数 \(f_i: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 是非线性且光滑的。这是一个非线性最小二乘问题的标准形式，常见于数据拟合、参数优化等。假设目标函数 \(f(x)\) 非凸，具有复杂的曲率结构，且梯度分量 \(\nabla f_i(x)\) 在不同维度上的变化幅度（即尺度和稀疏性）差异显著。传统的梯度下降法由于使用固定的全局学习率，在求解此类问题时可能会因某些维度梯度较大而振荡，或因某些维度梯度较小而进展缓慢，导致收敛效率低下。

本题要求你应用自适应梯度下降法(AdaGrad) 及其进阶思想来高效求解此问题。你需要从AdaGrad的基本原理出发，解释其如何通过累积历史梯度信息为每个参数自适应调整学习率，并扩展到处理非线性最小二乘问题的具体形式，最终设计出完整的算法步骤和迭代更新规则。

解题过程

步骤1: 回顾问题形式与梯度计算

我们的目标是：

\[\min_{x} f(x) = \sum_{i=1}^{m} (f_i(x))^2 \]

这是一个平方和形式的函数。定义残差向量 \(R(x) = [f_1(x), f_2(x), \dots, f_m(x)]^T\)，则 \(f(x) = R(x)^T R(x)\)。

其梯度为：

\[\nabla f(x) = 2 J(x)^T R(x) \]

其中，\(J(x)\) 是 \(m \times n\) 的雅可比矩阵，其第 \(i\) 行为 \(\nabla f_i(x)^T\)。即：

\[J(x) = \begin{bmatrix} \nabla f_1(x)^T \\ \nabla f_2(x)^T \\ \vdots \\ \nabla f_m(x)^T \end{bmatrix} \]

梯度 \(g_k = \nabla f(x_k)\) 是一个 \(n\) 维向量，其第 \(j\) 个分量记为 \(g_{k, j}\)。

步骤2: 理解标准梯度下降的局限性

标准梯度下降更新为：

\[x_{k+1} = x_k - \alpha g_k \]

其中 \(\alpha > 0\) 是固定的学习率。

• 问题1：如果某个参数 \(x^{(j)}\) 对应的梯度分量 \(g_{k, j}\) 通常很小（例如对应一个不活跃的特征），固定学习率会导致这个方向上的更新步长过小，收敛极慢。
• 问题2：如果某个参数 \(x^{(j)}\) 对应的梯度分量 \(g_{k, j}\) 有时很大、有时很小（稀疏但剧烈），固定学习率会导致在梯度大时步长过大，可能引起振荡或不稳定。

步骤3: 引入AdaGrad基本思想

AdaGrad（Adaptive Gradient）的核心思想是：为每个参数单独调整学习率。具体方法是，在迭代过程中累积每个参数维度上历史梯度的平方和，然后用一个全局基础学习率 \(\eta\) 除以这个累积量的平方根，作为该参数当前的学习率。

• 对频繁更新（梯度大）的参数：累积的梯度平方和较大，分母大，实际学习率变小，起到抑制作用，稳定优化路径。
• 对不频繁更新（梯度小）的参数：累积的梯度平方和较小，分母小，实际学习率相对较大，起到加速作用，使其能更快前进。

这特别适用于稀疏梯度或不同特征尺度差异大的问题，能自动地将学习率调整到合适的数量级。

步骤4: AdaGrad算法公式推导

1. 初始化：

   • 初始点 \(x_0 \in \mathbb{R}^n\)
   • 全局基础学习率 \(\eta\)（例如0.1）
   • 小常数 \(\epsilon > 0\)（例如 \(10^{-8}\)），防止除以零
   • 累积梯度平方矩阵 \(G_0 = 0 \in \mathbb{R}^{n \times n}\)，初始化为零矩阵（或视为对角矩阵，只记录每个维度的累积量，更常用的是对角版本）。

2. 对角AdaGrad（常用简化版）：
   我们只维护一个向量 \(s_k \in \mathbb{R}^n\)，其第 \(j\) 个分量 \(s_{k, j}\) 记录参数 \(x^{(j)}\) 历史梯度平方的累积和。

   • \(s_0 = 0\)。
   • 在第 \(k\) 次迭代：
     a. 计算当前梯度 \(g_k = \nabla f(x_k) = 2 J(x_k)^T R(x_k)\)。
     b. 累积梯度平方：\(s_k = s_{k-1} + g_k \odot g_k\)（⊙ 表示逐元素乘法，即 \(s_{k, j} = s_{k-1, j} + g_{k, j}^2\)）。
     c. 计算自适应学习率向量：每个参数 \(j\) 的学习率为 \(\eta / \sqrt{s_{k, j} + \epsilon}\)。
     d. 更新参数：\(x_{k+1} = x_k - \eta \, \text{diag}(s_k + \epsilon I)^{-\frac{1}{2}} g_k\)。
     写成分量形式：\(x_{k+1}^{(j)} = x_k^{(j)} - \frac{\eta}{\sqrt{s_{k, j} + \epsilon}} g_{k, j}\)。

3. 完整矩阵AdaGrad（理论上更精确但开销大）：
   维护外积矩阵 \(G_k = \sum_{t=1}^{k} g_t g_t^T \in \mathbb{R}^{n \times n}\)。
   更新规则：\(x_{k+1} = x_k - \eta (G_k + \epsilon I)^{-1/2} g_k\)。
   这相当于用历史梯度二阶矩的逆平方根对梯度进行预处理。由于存储和求逆开销大（\(O(n^2)\) 和 \(O(n^3)\)），实践中多用对角版本。

步骤5: 针对非线性最小二乘问题的具体实现

对于目标 \(f(x) = \sum_{i=1}^{m} f_i(x)^2\)，在每次迭代中，我们需计算：

1. 残差 \(R(x_k)\)。
2. 雅可比矩阵 \(J(x_k)\)（或其与残差的乘积，避免显式存储大矩阵）。若能直接计算梯度 \(g_k = 2J(x_k)^T R(x_k)\)，则可直接应用AdaGrad更新。

算法伪代码如下：

输入：初始点 x0，基础学习率 η，常数 ε，最大迭代次数 T
初始化：x = x0, s = 0 (n维向量)
for k = 0 to T-1:
    1. 计算残差向量 R = [f1(x), f2(x), ..., fm(x)]^T
    2. 计算梯度 g = 2 * J(x)^T * R  (或通过自动微分/有限差分计算梯度)
    3. 累积梯度平方：s = s + g ⊙ g
    4. 计算自适应步长向量：α_adapt = η / (sqrt(s) + ε)  (逐元素运算)
    5. 更新参数：x = x - α_adapt ⊙ g
    6. 如果满足收敛条件（如 ||g|| < 阈值 或 f(x)下降很小），则提前终止
输出：近似最优解 x

步骤6: 算法特性与进阶讨论

• 优势：

  • 自适应学习率：无需手动为每个维度调整学习率，自动适应特征尺度。
  • 适合稀疏问题：对不频繁出现的特征给予更大的更新步长。
  • 理论保证：在凸优化设定下，AdaGrad可以实现最优的次线性收敛率，特别适用于稀疏梯度场景。

• 局限性（进阶分析）：

  • 学习率单调递减：由于 \(s_{k, j}\) 只增不减，学习率 \(\eta / \sqrt{s_{k, j} + \epsilon}\) 会随时间单调下降，最终可能变得极小，导致在非凸问题中过早停止，无法收敛到更深的极小点。
  • 内存开销：对角版本需存储一个与参数同维的向量 \(s\)，可接受。完整矩阵版本开销大。
  • 对非平稳目标：如果问题的曲率（梯度分布）随时间变化，早期累积的大梯度可能会过度压制后续更新。

• 改进方向（扩展）：

  • RMSProp 和 Adam：引入指数移动平均（EMA）来累积梯度平方，即 \(s_k = \rho s_{k-1} + (1-\rho) g_k \odot g_k\)，从而“忘记”久远的历史，适应非平稳目标，是AdaGrad的重要发展。
  • AdaDelta：进一步消除了全局学习率 \(\eta\) 的需要，完全自适应。
  • 与二阶方法结合：AdaGrad可视为对梯度进行对角缩放，是一种近似的二阶预处理。对于非线性最小二乘，可结合高斯-牛顿法或Levenberg-Marquardt法的思想，用 \(J^T J\) 的信息来改进预处理矩阵。

总结

通过应用自适应梯度下降法(AdaGrad)求解非线性最小二乘问题，我们利用了其为每个参数维度独立自适应调整学习率的能力。算法通过累积历史梯度平方和，自动为梯度较大的维度减小步长（抑制振荡），为梯度较小的维度增大步长（加速收敛），特别适合具有不同特征尺度或稀疏梯度的问题。从基本公式推导到针对目标函数的具体实现，我们完成了一个完整的算法设计。同时，我们也指出了其学习率单调递减的潜在缺陷，并指明了向RMSProp、Adam等更先进的自适应方法扩展的方向。