带奇异点函数的广义高斯-勒让德求积：正则化变量替换与权重调整

字数 2750 2025-12-06 11:44:47

带奇异点函数的广义高斯-勒让德求积：正则化变量替换与权重调整

题目描述

考虑计算积分：

\[I = \int_{0}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \, dx \]

其中被积函数在积分下限 \(x=0\) 处具有 \(1/\sqrt{x}\) 奇异性（即发散）。假设 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上充分光滑（例如无穷次可微），且 \(f(0) \neq 0\)。要求设计一种基于高斯-勒让德求积公式的数值积分方法，通过变量替换消除奇异性，并结合适当的权重调整，使得计算在有限节点下获得高精度。

解题步骤

步骤1：分析问题与奇异性

积分

\[I = \int_{0}^{1} x^{-1/2} f(x) \, dx \]

的被积函数在 \(x=0\) 处趋向无穷，属于代数奇异性（阶数为 \(-1/2\)）。直接使用标准高斯-勒让德求积公式（适用于光滑函数）会在奇异点附近产生较大误差，甚至可能不收敛。为了应用高斯-勒让德公式，我们需要先通过变量替换将被积函数转化为在新区间上光滑的函数。

步骤2：设计变量替换消除奇异性

目标是构造一个单调可导的变量替换 \(x = \varphi(t)\)，将积分区间 \([0,1]\) 映射到另一个区间（通常是 \([-1,1]\)，以便使用高斯-勒让德公式），同时使得新的被积函数在 \(t\) 空间中光滑。

对于奇异性 \(x^{-1/2}\)，一个经典替换是平方变换：

\[x = t^2, \quad dx = 2t \, dt \]

当 \(x\) 从 0 到 1 时，\(t\) 从 0 到 1。代入原积分：

\[I = \int_{0}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \, dx = \int_{0}^{1} \frac{f(t^2)}{\sqrt{t^2}} \cdot 2t \, dt = \int_{0}^{1} \frac{f(t^2)}{t} \cdot 2t \, dt = 2\int_{0}^{1} f(t^2) \, dt \]

可见，奇异性被完全消除，新的被积函数 \(g(t) = 2f(t^2)\) 在 \(t \in [0,1]\) 上是光滑的。

步骤3：调整积分区间以使用标准高斯-勒让德公式

高斯-勒让德公式的标准区间是 \([-1,1]\)，而当前积分区间是 \([0,1]\)。需要进行线性变换，将 \([0,1]\) 映射到 \([-1,1]\)。设：

\[t = \frac{u+1}{2}, \quad dt = \frac{1}{2} du, \quad u \in [-1,1] \]

代入：

\[I = 2\int_{0}^{1} f(t^2) \, dt = 2\int_{-1}^{1} f\!\left( \left( \frac{u+1}{2} \right)^2 \right) \cdot \frac{1}{2} \, du = \int_{-1}^{1} f\!\left( \left( \frac{u+1}{2} \right)^2 \right) du \]

记

\[h(u) = f\!\left( \left( \frac{u+1}{2} \right)^2 \right) \]

则

\[I = \int_{-1}^{1} h(u) \, du \]

此时被积函数 \(h(u)\) 在 \([-1,1]\) 上光滑，可以直接应用标准高斯-勒让德求积公式。

步骤4：应用高斯-勒让德求积公式

高斯-勒让德公式的 \(n\) 点形式为：

\[\int_{-1}^{1} h(u) \, du \approx \sum_{i=1}^{n} w_i \, h(u_i) \]

其中 \(u_i\) 是 \(n\) 次勒让德多项式的根（节点），\(w_i\) 是对应的高斯权重，可查表或通过数值计算得到。

对于本问题，我们只需计算：

\[I \approx \sum_{i=1}^{n} w_i \, f\!\left( \left( \frac{u_i+1}{2} \right)^2 \right) \]

步骤5：权重调整的观点

从另一种等价视角看，上述过程相当于对原积分做了变量替换后，将原积分的“权重函数” \(1/\sqrt{x}\) 吸收到了变换中，最终在 \(u\) 空间使用标准权重 1 的高斯-勒让德公式。实际上，也可以从广义高斯求积的角度理解：对于带权积分 \(\int_{0}^{1} x^{-1/2} f(x) dx\)，若直接构造关于权函数 \(w(x)=x^{-1/2}\) 的正交多项式，再建立对应的高斯求积公式，计算较复杂。而通过变量替换，我们间接实现了“权函数变换”，将奇异权函数转化为常数权函数，从而能利用现成的高斯-勒让德公式。

步骤6：误差与收敛性

由于替换后函数 \(h(u)\) 是光滑的，标准高斯-勒让德公式具有指数收敛速度（对于解析函数）。具体误差界：

\[|I - I_n| \le C \frac{M_{2n}}{(2n)!} \left( \frac{b-a}{2} \right)^{2n} \]

其中 \(M_{2n}\) 是 \(h^{(2n)}(u)\) 在 \([-1,1]\) 上的上界。由于替换是多项式的，\(h(u)\) 的光滑性与 \(f(x)\) 相同，因此原积分的数值方法也继承了指数的收敛速度。

步骤7：数值算例（示意）

假设 \(f(x) = e^{-x}\)，则精确积分可用特殊函数表示。用上述方法计算：

取 \(n=5\) 的高斯-勒让德节点与权重（标准值）。
对每个节点 \(u_i\)，计算 \(x_i = \left( \frac{u_i+1}{2} \right)^2\)。
计算被积值：\(h_i = f(x_i) = e^{-x_i}\)。
近似积分：\(I_5 = \sum_{i=1}^{5} w_i h_i\)。

与精确值比较可见高精度。增加 \(n\) 可进一步提高精度。

总结

本题展示了处理带代数奇异性的积分时，通过恰当的变量替换消除奇异性，将原积分转化为标准高斯-勒让德公式适用的形式。该方法避免了构造复杂权函数的正交多项式，且保持了高斯求积的高精度和快速收敛性。关键点是选择能够恰好消去奇异性的变量替换（此处用平方变换消去 \(1/\sqrt{x}\)），并结合线性变换调整积分区间。

带奇异点函数的广义高斯-勒让德求积：正则化变量替换与权重调整题目描述考虑计算积分： \[ I = \int_ {0}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \, dx \] 其中被积函数在积分下限 \(x=0\) 处具有 \(1/\sqrt{x}\) 奇异性（即发散）。假设 \(f(x)\) 在 \([ 0,1 ]\) 上充分光滑（例如无穷次可微），且 \(f(0) \neq 0\)。要求设计一种基于高斯-勒让德求积公式的数值积分方法，通过变量替换消除奇异性，并结合适当的权重调整，使得计算在有限节点下获得高精度。解题步骤步骤1：分析问题与奇异性积分 \[ I = \int_ {0}^{1} x^{-1/2} f(x) \, dx \] 的被积函数在 \(x=0\) 处趋向无穷，属于代数奇异性（阶数为 \(-1/2\)）。直接使用标准高斯-勒让德求积公式（适用于光滑函数）会在奇异点附近产生较大误差，甚至可能不收敛。为了应用高斯-勒让德公式，我们需要先通过变量替换将被积函数转化为在新区间上光滑的函数。步骤2：设计变量替换消除奇异性目标是构造一个单调可导的变量替换 \(x = \varphi(t)\)，将积分区间 \([ 0,1]\) 映射到另一个区间（通常是 \([ -1,1 ]\)，以便使用高斯-勒让德公式），同时使得新的被积函数在 \(t\) 空间中光滑。对于奇异性 \(x^{-1/2}\)，一个经典替换是平方变换： \[ x = t^2, \quad dx = 2t \, dt \] 当 \(x\) 从 0 到 1 时，\(t\) 从 0 到 1。代入原积分： \[ I = \int_ {0}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \, dx = \int_ {0}^{1} \frac{f(t^2)}{\sqrt{t^2}} \cdot 2t \, dt = \int_ {0}^{1} \frac{f(t^2)}{t} \cdot 2t \, dt = 2\int_ {0}^{1} f(t^2) \, dt \] 可见，奇异性被完全消除，新的被积函数 \(g(t) = 2f(t^2)\) 在 \(t \in [ 0,1 ]\) 上是光滑的。步骤3：调整积分区间以使用标准高斯-勒让德公式高斯-勒让德公式的标准区间是 \([ -1,1]\)，而当前积分区间是 \([ 0,1]\)。需要进行线性变换，将 \([ 0,1]\) 映射到 \([ -1,1 ]\)。设： \[ t = \frac{u+1}{2}, \quad dt = \frac{1}{2} du, \quad u \in [ -1,1 ] \] 代入： \[ I = 2\int_ {0}^{1} f(t^2) \, dt = 2\int_ {-1}^{1} f\!\left( \left( \frac{u+1}{2} \right)^2 \right) \cdot \frac{1}{2} \, du = \int_ {-1}^{1} f\!\left( \left( \frac{u+1}{2} \right)^2 \right) du \] 记 \[ h(u) = f\!\left( \left( \frac{u+1}{2} \right)^2 \right) \] 则 \[ I = \int_ {-1}^{1} h(u) \, du \] 此时被积函数 \(h(u)\) 在 \([ -1,1 ]\) 上光滑，可以直接应用标准高斯-勒让德求积公式。步骤4：应用高斯-勒让德求积公式高斯-勒让德公式的 \(n\) 点形式为： \[ \int_ {-1}^{1} h(u) \, du \approx \sum_ {i=1}^{n} w_ i \, h(u_ i) \] 其中 \(u_ i\) 是 \(n\) 次勒让德多项式的根（节点），\(w_ i\) 是对应的高斯权重，可查表或通过数值计算得到。对于本问题，我们只需计算： \[ I \approx \sum_ {i=1}^{n} w_ i \, f\!\left( \left( \frac{u_ i+1}{2} \right)^2 \right) \] 步骤5：权重调整的观点从另一种等价视角看，上述过程相当于对原积分做了变量替换后，将原积分的“权重函数” \(1/\sqrt{x}\) 吸收到了变换中，最终在 \(u\) 空间使用标准权重 1 的高斯-勒让德公式。实际上，也可以从广义高斯求积的角度理解：对于带权积分 \(\int_ {0}^{1} x^{-1/2} f(x) dx\)，若直接构造关于权函数 \(w(x)=x^{-1/2}\) 的正交多项式，再建立对应的高斯求积公式，计算较复杂。而通过变量替换，我们间接实现了“权函数变换”，将奇异权函数转化为常数权函数，从而能利用现成的高斯-勒让德公式。步骤6：误差与收敛性由于替换后函数 \(h(u)\) 是光滑的，标准高斯-勒让德公式具有指数收敛速度（对于解析函数）。具体误差界： \[ |I - I_ n| \le C \frac{M_ {2n}}{(2n) !} \left( \frac{b-a}{2} \right)^{2n} \] 其中 \(M_ {2n}\) 是 \(h^{(2n)}(u)\) 在 \([ -1,1 ]\) 上的上界。由于替换是多项式的，\(h(u)\) 的光滑性与 \(f(x)\) 相同，因此原积分的数值方法也继承了指数的收敛速度。步骤7：数值算例（示意）假设 \(f(x) = e^{-x}\)，则精确积分可用特殊函数表示。用上述方法计算：取 \(n=5\) 的高斯-勒让德节点与权重（标准值）。对每个节点 \(u_ i\)，计算 \(x_ i = \left( \frac{u_ i+1}{2} \right)^2\)。计算被积值：\(h_ i = f(x_ i) = e^{-x_ i}\)。近似积分：\(I_ 5 = \sum_ {i=1}^{5} w_ i h_ i\)。与精确值比较可见高精度。增加 \(n\) 可进一步提高精度。总结本题展示了处理带代数奇异性的积分时，通过恰当的变量替换消除奇异性，将原积分转化为标准高斯-勒让德公式适用的形式。该方法避免了构造复杂权函数的正交多项式，且保持了高斯求积的高精度和快速收敛性。关键点是选择能够恰好消去奇异性的变量替换（此处用平方变换消去 \(1/\sqrt{x}\)），并结合线性变换调整积分区间。