基于高斯-切比雪夫求积公式的带奇异点振荡函数积分的双重变换与正则化技巧
题目描述
我们需要计算一个在有限区间 [-1, 1] 上带有端点奇异性和内部振荡行为的积分。被积函数通常形式为：
\[I = \int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{(1-x^2)^{1/2}} \sin(\frac{\omega}{1-x^2}) \, dx \]
其中，
- 函数 \(f(x)\) 是一个在区间上变化平缓的光滑函数（例如 \(f(x) = e^{-x^2}\) 或常数）。
- 权函数 \(1/\sqrt{1-x^2}\) 导致在端点 \(x = \pm 1\) 处具有代数奇异性（积分可积，但函数值趋于无穷）。
- 因子 \(\sin\left(\frac{\omega}{1-x^2}\right)\) 在端点附近产生高频率、高强度振荡（当 \(x \to \pm 1\) 时，频率趋于无穷）。
- 积分是存在的，但直接应用数值积分公式（如标准高斯-切比雪夫公式）会因为振荡分量导致计算极其困难且精度低。
目标：设计一种基于高斯-切比雪夫求积公式的数值积分策略，通过双重变换（先消除奇异性，再处理振荡）并结合正则化技巧，实现对这类积分的稳定、高精度计算。
解题过程循序渐进讲解
第一步：分析问题与核心挑战
高斯-切比雪夫（第一类）求积公式适用于计算形式为 \(\int_{-1}^{1} g(x) / \sqrt{1-x^2} \, dx\) 的积分，其节点是切比雪夫多项式的零点 \(x_k = \cos\left(\frac{2k-1}{2n}\pi\right)\)，权重是常数 \(w_k = \pi / n\)。这个公式正好匹配了被积函数中的奇异权函数部分。
但原被积函数除了权函数外，还有一个振荡因子 \(\sin\left(\frac{\omega}{1-x^2}\right)\)。该振荡因子在端点附近（\(1-x^2\) 很小）频率极高，导致即使使用高斯-切比雪夫公式，被积函数的采样点也无法捕捉快速振荡，积分误差会很大。
结论：需要先消除权函数奇异性，再专门处理振荡部分。
第二步：应用高斯-切比雪夫公式的权函数匹配
首先，将原积分写为：
\[I = \int_{-1}^{1} \frac{h(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx, \quad \text{其中} \quad h(x) = f(x) \sin\left(\frac{\omega}{1-x^2}\right) \]
高斯-切比雪夫求积公式（第一类）可以直接应用：
\[I_n = \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^{n} h(x_k) = \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^{n} f(x_k) \sin\left(\frac{\omega}{1-x_k^2}\right) \]
其中 \(x_k = \cos\left(\frac{2k-1}{2n}\pi\right)\)， \(k=1,2,\dots,n\)。
这一步已经处理了代数奇异性，因为权函数被公式“吸收”了。但剩下的 \(h(x_k)\) 在端点附近仍然剧烈振荡，导致求和计算精度不足。
第三步：振荡问题的双重变换策略
我们需要专门处理振荡因子 \(\sin\left(\frac{\omega}{1-x^2}\right)\)。作变量替换，令：
\[t = \arccos x \quad \text{即} \quad x = \cos t, \quad t \in [0, \pi] \]
这个变换是高斯-切比雪夫公式推导中的自然变量。在此变换下， \(1-x^2 = \sin^2 t\)，积分变为：
\[I = \int_{0}^{\pi} f(\cos t) \sin\left(\frac{\omega}{\sin^2 t}\right) \, dt \]
新问题：振荡因子变为 \(\sin(\omega / \sin^2 t)\)。当 \(t \to 0\) 或 \(t \to \pi\) 时， \(\sin^2 t\) 很小，振荡频率依然极高。但此时积分已无显式奇异性（因为 \(dx = -\sin t \, dt\) 与分母的 \(\sqrt{1-x^2} = \sin t\) 相消）。不过振荡在端点附近仍然剧烈。
第四步：正则化变换处理端点振荡
我们希望在端点附近“拉长”或“展平”振荡。考虑第二个变换，针对变量 \(t\) 在端点附近的行为。令：
\[u = \cot t = \frac{\cos t}{\sin t}, \quad t \in (0, \pi) \]
当 \(t \to 0^+\) 时， \(u \to +\infty\)；当 \(t \to \pi^-\) 时， \(u \to -\infty\)。此变换可以将端点附近的快速振荡映射到无穷远处的慢变振荡。计算微分关系：
\[dt = -\frac{du}{1+u^2} \]
并且 \(\sin^2 t = \frac{1}{1+u^2}\)。于是振荡因子变为：
\[\sin\left(\frac{\omega}{\sin^2 t}\right) = \sin\left( \omega (1+u^2) \right) \]
积分变为：
\[I = \int_{-\infty}^{\infty} f\left( \frac{u}{\sqrt{1+u^2}} \right) \sin\left( \omega (1+u^2) \right) \cdot \frac{1}{1+u^2} \, du \]
注意：此变换后，振荡频率在 \(|u|\) 很大时虽然仍随 \(u^2\) 增长，但在有限的 \(u\) 区间内（对应 \(t\) 远离端点），振荡变得平缓。而原始在 \(t\) 端点附近的无穷次振荡被映射到 \(u \to \pm \infty\) 的远处。由于函数在无穷远处衰减（被因子 \(1/(1+u^2)\) 衰减），我们可以截断积分区间。
第五步：截断与数值积分实现
在 \(u\) 域，积分区间是 \((-\infty, \infty)\)，但被积函数在 \(|u|\) 很大时，因子 \(1/(1+u^2)\) 使函数衰减。因此，我们可以选择一个足够大的 \(L > 0\)，计算：
\[I \approx I_L = \int_{-L}^{L} f\left( \frac{u}{\sqrt{1+u^2}} \right) \sin\left( \omega (1+u^2) \right) \cdot \frac{1}{1+u^2} \, du \]
截断误差可以通过被积函数的尾部界来估计。
现在，在有限区间 \([-L, L]\) 上，被积函数是光滑的（因为 \(f\) 光滑，且振荡因子是光滑的），并且没有奇点。可以使用标准的高精度求积公式，例如复合高斯-勒让德公式。
步骤总结：
- 用高斯-切比雪夫公式的权函数匹配处理 \(1/\sqrt{1-x^2}\) 奇异性（得到 \(t\) 域积分）。
- 用变换 \(u = \cot t\) 将端点剧烈振荡映射到无穷远处，并产生衰减因子 \(1/(1+u^2)\)。
- 截断 \(u\) 积分区间，得到有限区间上的光滑振荡函数积分。
- 在 \([-L, L]\) 上使用高斯-勒让德求积公式计算积分。
第六步：算法实现要点
- 选择适当的 \(L\)，使得截断误差小于所需精度。通常可以通过试算，观察被积函数在 \(|u| > L\) 时振幅是否可忽略。
- 高斯-勒让德公式的节点数 \(m\) 需足够，以捕捉振荡频率。根据振荡频率 \(\omega\) 和区间长度 \(2L\)，可依据 Nyquist 采样原理粗略估计所需节点数，但最好采用自适应或试凑法。
- 整个计算过程中，原始函数 \(f(x)\) 只需要在对应点求值，无需求导或高阶信息。
优点：
- 双重变换既消除了奇异性，又将端点高频振荡正则化为衰减振荡。
- 最终的积分区间为有限区间，被积函数光滑，可使用高精度求积。
- 与直接使用高斯-切比雪夫公式相比，本方法在较大 \(\omega\) 时依然能保持高精度。
局限性：当 \(\omega\) 极大时，被积函数在 \(u\) 域中振荡仍然很快，可能需要结合驻相法等渐进方法进一步优化。