排序算法之：循环不变式在Brick Sort中的正确性证明
字数 2412 2025-12-06 10:44:22

排序算法之：循环不变式在Brick Sort中的正确性证明

题目描述
Brick Sort（砖排序），又称奇偶排序（Odd-Even Sort），是一种基于比较的并行友好排序算法。它的核心思想是通过多轮迭代，在奇数索引位置和偶数索引位置分别进行比较与交换，使较大的元素逐步“浮”到正确位置。本题要求严谨地证明Brick Sort的正确性，即证明算法最终能产生一个完全有序的数组。你需要通过定义并维护一个循环不变式来完成证明，确保每一步推理都清晰准确。

解题过程

第一步：理解Brick Sort的算法流程

  1. 算法会进行多轮（rounds）操作，每轮包含两个阶段：
    • 奇数阶段：遍历所有奇数索引 i（i = 1, 3, 5, ...），比较 arr[i] 与 arr[i+1]（如果 i+1 在数组范围内），如果 arr[i] > arr[i+1]，则交换它们。
    • 偶数阶段：遍历所有偶数索引 i（i = 0, 2, 4, ...），比较 arr[i] 与 arr[i+1]（如果 i+1 在数组范围内），如果 arr[i] > arr[i+1]，则交换它们。
  2. 重复进行上述两阶段，直到某一轮中没有任何交换发生，此时数组已完全有序，算法终止。

示例（数组长度 n=5）：
初始：[5, 3, 4, 1, 2]

  • 第1轮奇数阶段（i=1,3）：比较(3,4)不交换；比较(1,2)不交换 → [5,3,4,1,2]
  • 第1轮偶数阶段（i=0,2,4）：比较(5,3)交换 → [3,5,4,1,2]；比较(4,1)交换 → [3,5,1,4,2]；i=4无后续 → [3,5,1,4,2]
  • 继续迭代直至有序。

第二步：定义循环不变式
为了证明正确性，我们需要为每一轮的奇数阶段和偶数阶段分别定义循环不变式。设数组 A[0..n-1] 待排序，n ≥ 2。

  • 奇数阶段的循环不变式：
    在奇数阶段开始前，设当前轮数为 k（k≥1）。我们定义在奇数阶段的每次比较-交换操作执行后，对于所有已处理的奇数索引 i，有：A[i] ≤ A[i+1] 且 A[i] 是前 i+2 个元素中的较小者之一（局部有序性）。更形式化地，在奇数阶段进行到某个位置时，所有已完成比较的相邻奇数-偶数对已满足非递减关系，并且未处理部分不会破坏已建立的有序性。

  • 偶数阶段的循环不变式：
    在偶数阶段开始前，奇数阶段已确保所有奇数索引位置满足相邻有序。偶数阶段的循环不变式类似：在偶数阶段的每次比较-交换操作执行后，对于所有已处理的偶数索引 i，有：A[i] ≤ A[i+1] 且 A[i] 是前 i+2 个元素中的较小者之一。

第三步：初始化

  • 对于第一轮（k=1）的奇数阶段，初始时尚未进行任何比较。循环不变式“已处理的奇数索引对满足 A[i] ≤ A[i+1]”是空真成立的。
  • 对于后续轮次，奇数阶段开始时，上一轮的偶数阶段已确保所有偶数索引对有序，这为奇数阶段提供了基础。

第四步：保持
我们需要证明，在每一阶段的每次迭代中，循环不变式得到保持。以奇数阶段为例（偶数阶段对称）：

  1. 假设当前处理奇数索引 i，比较 A[i] 和 A[i+1]。
  2. 如果 A[i] > A[i+1]，则交换它们。交换后，必有 A[i] ≤ A[i+1]。
  3. 考虑对已处理部分的影响：由于每次只改变相邻两个元素，且 i 是奇数，i-1 是偶数。在上一轮偶数阶段中，我们已经确保了 A[i-1] ≤ A[i]（旧值），而交换后新的 A[i] 实际上是原来的 A[i+1]，它可能小于 A[i-1]。但关键是，奇数阶段不要求 A[i-1] ≤ A[i] 成立，因为 i-1 是偶数，其正确性将在偶数阶段修复。因此，奇数阶段只需保证每个奇数索引 i 满足 A[i] ≤ A[i+1]，这不会破坏偶数索引对的有序性。
  4. 通过归纳，当处理完所有奇数索引后，我们有：对于所有奇数 i，A[i] ≤ A[i+1]。
    同理，偶数阶段处理后，对于所有偶数 i，A[i] ≤ A[i+1]。

第五步：终止与正确性

  • 终止条件：当某一轮中奇数阶段和偶数阶段都没有发生任何交换时，算法停止。
  • 此时，对于所有奇数 i，有 A[i] ≤ A[i+1]；对于所有偶数 i，也有 A[i] ≤ A[i+1]。这意味着每对相邻元素都满足 A[j] ≤ A[j+1]（j=0..n-2），即整个数组有序。
  • 为什么一定能终止？因为每轮至少将一个“逆序”元素向正确方向移动，最坏情况下（倒序数组），需要 O(n²) 轮。但有限长度数组的逆序对数量有限，因此算法必在有限步内停止。

第六步：严格证明循环不变式确保全局有序
我们可以用数学归纳法强化证明：

  1. 假设在第 k 轮结束后，数组满足以下性质：所有相距不超过 2 的位置已局部有序（即 A[0] ≤ A[2] ≤ A[4]... 和 A[1] ≤ A[3] ≤ A[5]... 的间隔有序性）。
  2. 经过多轮迭代，这种局部有序会“传播”到整个数组，类似于冒泡排序但更高效。实际上，Brick Sort 可以看作是对奇偶索引分别进行冒泡排序，并通过交替阶段消除相互阻塞。
  3. 最终，所有相邻有序意味着全局有序。这可以通过反证法证明：如果存在 A[j] > A[j+1]，那么 j 和 j+1 必为一奇一偶，它们会在某个阶段被比较并交换，与终止条件矛盾。

总结
通过定义奇数阶段和偶数阶段的循环不变式，并证明其在初始化、保持和终止时的正确性，我们严谨地证明了 Brick Sort 能够将任意数组排序。该证明突出了循环不变式在并行友好排序算法分析中的核心作用，同时揭示了奇偶交替比较如何逐步消除逆序对。

排序算法之：循环不变式在Brick Sort中的正确性证明 题目描述 Brick Sort（砖排序），又称奇偶排序（Odd-Even Sort），是一种基于比较的并行友好排序算法。它的核心思想是通过多轮迭代，在奇数索引位置和偶数索引位置分别进行比较与交换，使较大的元素逐步“浮”到正确位置。本题要求 严谨地证明Brick Sort的正确性 ，即证明算法最终能产生一个完全有序的数组。你需要 通过定义并维护一个循环不变式 来完成证明，确保每一步推理都清晰准确。 解题过程 第一步：理解Brick Sort的算法流程 算法会进行多轮（rounds）操作，每轮包含两个阶段： 奇数阶段 ：遍历所有奇数索引 i（i = 1, 3, 5, ...），比较 arr[ i] 与 arr[ i+1]（如果 i+1 在数组范围内），如果 arr[ i] > arr[ i+1 ]，则交换它们。 偶数阶段 ：遍历所有偶数索引 i（i = 0, 2, 4, ...），比较 arr[ i] 与 arr[ i+1]（如果 i+1 在数组范围内），如果 arr[ i] > arr[ i+1 ]，则交换它们。 重复进行上述两阶段，直到某一轮中没有任何交换发生，此时数组已完全有序，算法终止。 示例（数组长度 n=5）： 初始：[ 5, 3, 4, 1, 2 ] 第1轮奇数阶段（i=1,3）：比较(3,4)不交换；比较(1,2)不交换 → [ 5,3,4,1,2 ] 第1轮偶数阶段（i=0,2,4）：比较(5,3)交换 → [ 3,5,4,1,2]；比较(4,1)交换 → [ 3,5,1,4,2]；i=4无后续 → [ 3,5,1,4,2 ] 继续迭代直至有序。 第二步：定义循环不变式 为了证明正确性，我们需要为 每一轮的奇数阶段和偶数阶段分别定义循环不变式 。设数组 A[ 0..n-1 ] 待排序，n ≥ 2。 奇数阶段的循环不变式 ： 在奇数阶段开始前，设当前轮数为 k（k≥1）。我们定义在奇数阶段的 每次比较-交换操作执行后 ，对于所有已处理的奇数索引 i，有： A[ i] ≤ A[ i+1] 且 A[ i] 是前 i+2 个元素中的较小者之一（局部有序性） 。更形式化地，在奇数阶段进行到某个位置时，所有已完成比较的相邻奇数-偶数对已满足非递减关系，并且未处理部分不会破坏已建立的有序性。 偶数阶段的循环不变式 ： 在偶数阶段开始前，奇数阶段已确保所有奇数索引位置满足相邻有序。偶数阶段的循环不变式类似：在偶数阶段的 每次比较-交换操作执行后 ，对于所有已处理的偶数索引 i，有： A[ i] ≤ A[ i+1] 且 A[ i] 是前 i+2 个元素中的较小者之一 。 第三步：初始化 对于第一轮（k=1）的奇数阶段，初始时尚未进行任何比较。循环不变式“已处理的奇数索引对满足 A[ i] ≤ A[ i+1 ]”是空真成立的。 对于后续轮次，奇数阶段开始时，上一轮的偶数阶段已确保所有偶数索引对有序，这为奇数阶段提供了基础。 第四步：保持 我们需要证明，在每一阶段的每次迭代中，循环不变式得到保持。以奇数阶段为例（偶数阶段对称）： 假设当前处理奇数索引 i，比较 A[ i] 和 A[ i+1 ]。 如果 A[ i] > A[ i+1]，则交换它们。交换后，必有 A[ i] ≤ A[ i+1 ]。 考虑对已处理部分的影响：由于每次只改变相邻两个元素，且 i 是奇数，i-1 是偶数。在上一轮偶数阶段中，我们已经确保了 A[ i-1] ≤ A[ i]（旧值），而交换后新的 A[ i] 实际上是原来的 A[ i+1]，它可能小于 A[ i-1]。但关键是，奇数阶段不要求 A[ i-1] ≤ A[ i] 成立，因为 i-1 是偶数，其正确性将在偶数阶段修复。因此，奇数阶段只需保证每个奇数索引 i 满足 A[ i] ≤ A[ i+1 ]，这不会破坏偶数索引对的有序性。 通过归纳，当处理完所有奇数索引后，我们有：对于所有奇数 i，A[ i] ≤ A[ i+1 ]。 同理，偶数阶段处理后，对于所有偶数 i，A[ i] ≤ A[ i+1 ]。 第五步：终止与正确性 终止条件：当某一轮中奇数阶段和偶数阶段都没有发生任何交换时，算法停止。 此时，对于所有奇数 i，有 A[ i] ≤ A[ i+1]；对于所有偶数 i，也有 A[ i] ≤ A[ i+1]。这意味着 每对相邻元素都满足 A[ j] ≤ A[ j+1]（j=0..n-2） ，即整个数组有序。 为什么一定能终止？因为每轮至少将一个“逆序”元素向正确方向移动，最坏情况下（倒序数组），需要 O(n²) 轮。但有限长度数组的逆序对数量有限，因此算法必在有限步内停止。 第六步：严格证明循环不变式确保全局有序 我们可以用数学归纳法强化证明： 假设在第 k 轮结束后，数组满足以下性质： 所有相距不超过 2 的位置已局部有序 （即 A[ 0] ≤ A[ 2] ≤ A[ 4]... 和 A[ 1] ≤ A[ 3] ≤ A[ 5 ]... 的间隔有序性）。 经过多轮迭代，这种局部有序会“传播”到整个数组，类似于冒泡排序但更高效。实际上，Brick Sort 可以看作是对奇偶索引分别进行冒泡排序，并通过交替阶段消除相互阻塞。 最终，所有相邻有序意味着全局有序。这可以通过反证法证明：如果存在 A[ j] > A[ j+1 ]，那么 j 和 j+1 必为一奇一偶，它们会在某个阶段被比较并交换，与终止条件矛盾。 总结 通过定义奇数阶段和偶数阶段的循环不变式，并证明其在初始化、保持和终止时的正确性，我们严谨地证明了 Brick Sort 能够将任意数组排序。该证明突出了循环不变式在并行友好排序算法分析中的核心作用，同时揭示了奇偶交替比较如何逐步消除逆序对。