鸡蛋掉落问题（进阶版：带楼层限制的鸡蛋掉落）

字数 3150 2025-12-06 10:22:53

鸡蛋掉落问题（进阶版：带楼层限制的鸡蛋掉落）

题目描述

你有 k 个相同的鸡蛋，并可以使用一栋从 1 到 n 层共 n 层楼的建筑。你需要确定从哪一层楼扔下鸡蛋，鸡蛋恰好不会摔碎（高于这个楼层鸡蛋都会碎，等于或低于这个楼层则不会碎）。在最坏情况下，你最少需要移动（扔鸡蛋）多少次，才能确定这个“恰好不会碎”的楼层？
进阶条件：你被限制最多只能爬上（或移动到）某个给定的总楼层数 M 次（这里的“移动”指的是扔鸡蛋的次数）。也就是说，你的测试策略必须保证在最坏情况下的总移动次数不超过 M。问在 k 个鸡蛋、n 层楼、最多移动 M 次的限制下，你最多能保证测试出多少层楼（即最大的 n 值）？或者说，给定 n, k, M，判断是否能保证测出。

问题转换：原问题是求最坏情况下的最小尝试次数。而进阶问题反过来：给定尝试次数上限 M 和鸡蛋数 k，问最多能测试多少层楼。我们可以定义 dp[m][k] 表示在最多移动 m 次、有 k 个鸡蛋的条件下，最多能测试的楼层数（即能保证找出临界楼层的最大楼层数 n）。

解题过程

我们先从原问题的另一种动态规划思路入手，再过渡到进阶问题。

第一步：原问题的另一种 DP 定义

原问题（没有移动次数限制）通常有两种 DP 方法：

dp[k][n] 表示 k 个鸡蛋，n 层楼，最坏情况下的最少尝试次数。状态转移考虑第一次在第 i 层扔鸡蛋，分鸡蛋碎与不碎两种情况，取最大值然后加上本次尝试，最后对所有 i 取最小值。时间复杂度 O(k n^2)，可以用二分优化到 O(k n log n)。
反过来定义：dp[m][k] 表示最多允许移动 m 次，有 k 个鸡蛋，最多能测试的楼层数。这个定义更贴合进阶问题。

我们采用第二种定义，因为它正好对应进阶问题。

第二步：dp[m][k] 的状态转移解释

考虑当前有 m 次移动机会、k 个鸡蛋：

我们在某一层楼扔一次鸡蛋（消耗一次移动机会）。
如果鸡蛋碎了：说明临界楼层在下面，我们还有 m-1 次移动机会，鸡蛋数变为 k-1，能继续测试 dp[m-1][k-1] 层楼（从下面开始数）。
如果鸡蛋没碎：说明临界楼层在上面，我们还有 m-1 次移动机会，鸡蛋数还是 k，能继续测试 dp[m-1][k] 层楼（从当前层的上面开始数）。

那么，我们第一次选择的这一层，可以把它“架”在这两部分之间：

下面的部分最多有 dp[m-1][k-1] 层楼（如果鸡蛋碎了，我们能在下面这些层中找出临界楼层）。
上面的部分最多有 dp[m-1][k] 层楼（如果鸡蛋没碎，我们能在上面这些层中找出临界楼层）。

所以，本次扔鸡蛋的楼层，加上下面的部分和上面的部分，总共能覆盖的楼层数为：

\[1 + dp[m-1][k-1] + dp[m-1][k] \]

这里的 1 就是本次测试的这层楼本身（我们在此楼扔鸡蛋，无论碎否，这一层的信息就确定了）。

因此状态转移方程为：

\[dp[m][k] = dp[m-1][k-1] + dp[m-1][k] + 1 \]

物理意义：在 m 次移动、k 个鸡蛋的条件下，最多能测试的楼层数等于“第一次扔鸡蛋后，碎的情况下能测的楼层数 + 不碎情况下能测的楼层数 + 当前测试的这一层”。

第三步：边界条件

当 m=0 时，没有移动机会，dp[0][k] = 0（无法测试任何楼层）。
当 k=0 时，没有鸡蛋，dp[m][0] = 0（无法做测试）。
当 k=1 时，只有一个鸡蛋，只能从低到高一层层试，最多移动 m 次就能测 m 层楼（因为如果一直不碎，最多测 m 层），所以 dp[m][1] = m。
当 m=1 时，只有一次移动机会，那么只能测一层楼（因为如果鸡蛋碎了，就知道它高于这层就碎，但不知道下面是否也会碎？等一下，这里要小心：一次移动意味着你只能扔一次鸡蛋，无论结果如何，你不能再扔第二次，所以只能确定两种情况：如果碎了，临界楼层低于等于这层？实际上，一次移动只能测一层楼：在第 1 层扔，碎了则临界楼层是 0（即没有楼层是安全的），不碎则临界楼层至少是 1，但无法知道更高楼层是否安全。所以严格来说，一次移动最多确定 1 层楼。即 dp[1][k] = 1（k>=1）。但为了公式统一，我们按递推算：dp[1][k] = dp[0][k-1] + dp[0][k] + 1 = 0+0+1=1，符合。

第四步：递推计算顺序

我们从小到大计算 m，对于每个 m 从小到大计算 k（或者 k 从小到大也行，因为 dp[m][k] 依赖于 dp[m-1][...]）。
初始时 dp[0][] = 0, dp[][0] = 0。
递推直到 dp[m][k] >= n 为止，此时 m 就是最少尝试次数。

进阶问题：给定 n, k, M，我们只需计算 dp[M][k] 是否 >= n，如果是，则说明在 M 次移动内能保证测出 n 层楼；否则不能。

第五步：时间复杂度

我们需要计算 dp[1..M][1..k]，每步 O(1)，总时间复杂度 O(M*k)。这比原问题的 O(k n log n) 在某些情况下更高效，特别是当 n 很大但 M 较小时。

第六步：例子说明

例：k=2 个鸡蛋，n=100 层楼。原问题最少尝试次数是 14（经典鸡蛋掉落问题结果）。我们用新 DP 验证：

初始化 dp[m][1] = m, dp[1][k] = 1。
递推：
m=1: dp[1][1]=1, dp[1][2]=1
m=2: dp[2][1]=2, dp[2][2] = dp[1][1]+dp[1][2]+1 = 1+1+1=3
m=3: dp[3][2] = dp[2][1]+dp[2][2]+1 = 2+3+1=6
m=4: dp[4][2] = dp[3][1]+dp[3][2]+1 = 3+6+1=10
m=5: dp[5][2] = 4+10+1=15
m=6: dp[6][2] = 5+15+1=21
...
m=13: dp[13][2] = ?
我们只算到 m=14：
m=14: dp[14][2] = dp[13][1]+dp[13][2]+1
我们一步步算（可写程序）：
m=1: (1,1)
m=2: (2,3)
m=3: (3,6)
m=4: (4,10)
m=5: (5,15)
m=6: (6,21)
m=7: (7,28)
m=8: (8,36)
m=9: (9,45)
m=10: (10,55)
m=11: (11,66)
m=12: (12,78)
m=13: (13,91)
m=14: (14,105)
所以当 m=13 时，dp=91 < 100；m=14 时，dp=105 >= 100。所以最少需要 14 次。与经典结果一致。

进阶问题：如果限制 M=13 次移动，k=2 个鸡蛋，最多能测多少层楼？从上面看出 dp[13][2]=91 层楼。所以 100 层楼在 M=13 时是不能保证测出的。

第七步：总结

这个进阶问题的 DP 定义巧妙地将“最少次数”问题转化为“给定次数最多能测多少层”，从而避免了在原问题中需要二分搜索楼层，直接 O(M*k) 递推即可回答是否能测出 n 层楼。这也适用于鸡蛋数 k 较大但移动次数 M 有限的实际测试场景。

鸡蛋掉落问题（进阶版：带楼层限制的鸡蛋掉落）题目描述你有 k 个相同的鸡蛋，并可以使用一栋从 1 到 n 层共 n 层楼的建筑。你需要确定从哪一层楼扔下鸡蛋，鸡蛋恰好不会摔碎（高于这个楼层鸡蛋都会碎，等于或低于这个楼层则不会碎）。在最坏情况下，你最少需要移动（扔鸡蛋）多少次，才能确定这个“恰好不会碎”的楼层？进阶条件：你被限制最多只能爬上（或移动到）某个给定的总楼层数 M 次（这里的“移动”指的是扔鸡蛋的次数）。也就是说，你的测试策略必须保证在最坏情况下的总移动次数不超过 M。问在 k 个鸡蛋、n 层楼、最多移动 M 次的限制下，你最多能保证测试出多少层楼（即最大的 n 值）？或者说，给定 n, k, M，判断是否能保证测出。问题转换：原问题是求最坏情况下的最小尝试次数。而进阶问题反过来：给定尝试次数上限 M 和鸡蛋数 k，问最多能测试多少层楼。我们可以定义 dp[ m][ k ] 表示在最多移动 m 次、有 k 个鸡蛋的条件下，最多能测试的楼层数（即能保证找出临界楼层的最大楼层数 n）。解题过程我们先从原问题的另一种动态规划思路入手，再过渡到进阶问题。第一步：原问题的另一种 DP 定义原问题（没有移动次数限制）通常有两种 DP 方法： dp[ k][ n] 表示 k 个鸡蛋，n 层楼，最坏情况下的最少尝试次数。状态转移考虑第一次在第 i 层扔鸡蛋，分鸡蛋碎与不碎两种情况，取最大值然后加上本次尝试，最后对所有 i 取最小值。时间复杂度 O(k n^2)，可以用二分优化到 O(k n log n)。反过来定义：dp[ m][ k ] 表示最多允许移动 m 次，有 k 个鸡蛋，最多能测试的楼层数。这个定义更贴合进阶问题。我们采用第二种定义，因为它正好对应进阶问题。第二步：dp[ m][ k ] 的状态转移解释考虑当前有 m 次移动机会、k 个鸡蛋：我们在某一层楼扔一次鸡蛋（消耗一次移动机会）。如果鸡蛋碎了：说明临界楼层在下面，我们还有 m-1 次移动机会，鸡蛋数变为 k-1，能继续测试 dp[ m-1][ k-1 ] 层楼（从下面开始数）。如果鸡蛋没碎：说明临界楼层在上面，我们还有 m-1 次移动机会，鸡蛋数还是 k，能继续测试 dp[ m-1][ k ] 层楼（从当前层的上面开始数）。那么，我们第一次选择的这一层，可以把它“架”在这两部分之间：下面的部分最多有 dp[ m-1][ k-1 ] 层楼（如果鸡蛋碎了，我们能在下面这些层中找出临界楼层）。上面的部分最多有 dp[ m-1][ k ] 层楼（如果鸡蛋没碎，我们能在上面这些层中找出临界楼层）。所以，本次扔鸡蛋的楼层，加上下面的部分和上面的部分，总共能覆盖的楼层数为： \[ 1 + dp[ m-1][ k-1] + dp[ m-1][ k ] \] 这里的 1 就是本次测试的这层楼本身（我们在此楼扔鸡蛋，无论碎否，这一层的信息就确定了）。因此状态转移方程为： \[ dp[ m][ k] = dp[ m-1][ k-1] + dp[ m-1][ k ] + 1 \] 物理意义：在 m 次移动、k 个鸡蛋的条件下，最多能测试的楼层数等于“第一次扔鸡蛋后，碎的情况下能测的楼层数 + 不碎情况下能测的楼层数 + 当前测试的这一层”。第三步：边界条件当 m=0 时，没有移动机会，dp[ 0][ k ] = 0（无法测试任何楼层）。当 k=0 时，没有鸡蛋，dp[ m][ 0 ] = 0（无法做测试）。当 k=1 时，只有一个鸡蛋，只能从低到高一层层试，最多移动 m 次就能测 m 层楼（因为如果一直不碎，最多测 m 层），所以 dp[ m][ 1 ] = m。当 m=1 时，只有一次移动机会，那么只能测一层楼（因为如果鸡蛋碎了，就知道它高于这层就碎，但不知道下面是否也会碎？等一下，这里要小心：一次移动意味着你只能扔一次鸡蛋，无论结果如何，你不能再扔第二次，所以只能确定两种情况：如果碎了，临界楼层低于等于这层？实际上，一次移动只能测一层楼：在第 1 层扔，碎了则临界楼层是 0（即没有楼层是安全的），不碎则临界楼层至少是 1，但无法知道更高楼层是否安全。所以严格来说，一次移动最多确定 1 层楼。即 dp[ 1][ k] = 1（k>=1）。但为了公式统一，我们按递推算：dp[ 1][ k] = dp[ 0][ k-1] + dp[ 0][ k ] + 1 = 0+0+1=1，符合。第四步：递推计算顺序我们从小到大计算 m，对于每个 m 从小到大计算 k（或者 k 从小到大也行，因为 dp[ m][ k] 依赖于 dp[ m-1][ ... ]）。初始时 dp[ 0][ ] = 0, dp[ ][ 0 ] = 0。递推直到 dp[ m][ k ] >= n 为止，此时 m 就是最少尝试次数。进阶问题：给定 n, k, M，我们只需计算 dp[ M][ k ] 是否 >= n，如果是，则说明在 M 次移动内能保证测出 n 层楼；否则不能。第五步：时间复杂度我们需要计算 dp[ 1..M][ 1..k]，每步 O(1)，总时间复杂度 O(M* k)。这比原问题的 O(k n log n) 在某些情况下更高效，特别是当 n 很大但 M 较小时。第六步：例子说明例：k=2 个鸡蛋，n=100 层楼。原问题最少尝试次数是 14（经典鸡蛋掉落问题结果）。我们用新 DP 验证：初始化 dp[ m][ 1] = m, dp[ 1][ k ] = 1。递推： m=1: dp[ 1][ 1]=1, dp[ 1][ 2 ]=1 m=2: dp[ 2][ 1]=2, dp[ 2][ 2] = dp[ 1][ 1]+dp[ 1][ 2 ]+1 = 1+1+1=3 m=3: dp[ 3][ 2] = dp[ 2][ 1]+dp[ 2][ 2 ]+1 = 2+3+1=6 m=4: dp[ 4][ 2] = dp[ 3][ 1]+dp[ 3][ 2 ]+1 = 3+6+1=10 m=5: dp[ 5][ 2 ] = 4+10+1=15 m=6: dp[ 6][ 2 ] = 5+15+1=21 ... m=13: dp[ 13][ 2 ] = ? 我们只算到 m=14： m=14: dp[ 14][ 2] = dp[ 13][ 1]+dp[ 13][ 2 ]+1 我们一步步算（可写程序）： m=1: (1,1) m=2: (2,3) m=3: (3,6) m=4: (4,10) m=5: (5,15) m=6: (6,21) m=7: (7,28) m=8: (8,36) m=9: (9,45) m=10: (10,55) m=11: (11,66) m=12: (12,78) m=13: (13,91) m=14: (14,105) 所以当 m=13 时，dp=91 < 100；m=14 时，dp=105 >= 100。所以最少需要 14 次。与经典结果一致。进阶问题：如果限制 M=13 次移动，k=2 个鸡蛋，最多能测多少层楼？从上面看出 dp[ 13][ 2 ]=91 层楼。所以 100 层楼在 M=13 时是不能保证测出的。第七步：总结这个进阶问题的 DP 定义巧妙地将“最少次数”问题转化为“给定次数最多能测多少层”，从而避免了在原问题中需要二分搜索楼层，直接 O(M* k) 递推即可回答是否能测出 n 层楼。这也适用于鸡蛋数 k 较大但移动次数 M 有限的实际测试场景。