高斯-切比雪夫求积公式在带端点振荡函数积分中的正则化变换与变量变换联合技巧
题目描述：
考虑计算带端点振荡行为的定积分
\[I = \int_{-1}^{1} \frac{\cos(50x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \]
被积函数在积分区间端点 \(x = \pm 1\) 处具有 \(1/\sqrt{1-x^2}\) 的奇异性，同时在整个区间上存在高频振荡（\(\cos(50x)\)）。直接使用标准数值积分方法（如高斯-勒让德求积）会因端点奇异性导致精度严重下降，而振荡行为则需要大量节点才能捕捉。本题要求利用高斯-切比雪夫求积公式的正交权函数特性处理端点奇异性，并结合针对振荡函数的变量变换技巧，设计一种高效、高精度的数值积分方案。
解题过程循序渐进讲解：
步骤1：分析积分难点与策略选择
- 积分区间为 \([-1,1]\)，被积函数包含因子 \(1/\sqrt{1-x^2}\)，这正是第一类切比雪夫权函数。这提示我们：高斯-切比雪夫求积公式（对应权函数 \(w(x)=1/\sqrt{1-x^2}\)）能“吸收”该奇异性，其节点为切比雪夫点 \(x_k = \cos\left(\frac{2k-1}{2n}\pi\right)\)，权重为常数 \(w_k = \pi/n\)，求积公式为：
\[ \int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} dx \approx \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^{n} f(x_k) \]
对于我们的被积函数，\(f(x)=\cos(50x)\)，因此直接应用该公式即可精确积分——但前提是 \(f(x)\) 是光滑的。然而，\(\cos(50x)\) 是高频振荡函数，若直接用较少节点的高斯-切比雪夫公式，会因采样不足导致巨大误差。我们需要在利用权函数匹配消除奇异性的同时，处理振荡行为。
步骤2：处理振荡的变量变换思路
- 对于振荡函数积分，一种常用技巧是通过变量变换改变被积函数的频率分布。设新变量 \(t = \phi(x)\)，使得 \(x = \psi(t)\)，则积分变为：
\[ I = \int_{-1}^{1} \frac{\cos(50x)}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int_{a}^{b} \frac{\cos(50\psi(t))}{\sqrt{1-[\psi(t)]^2}} \psi'(t) dt \]
目标是选择 \(\psi(t)\) 使得新被积函数振荡减缓，从而用更少节点达到精度。
- 观察 \(\cos(50x)\) 的振荡：在 \(x\) 接近 ±1 时，振荡相位变化相对均匀，但在整个区间上振荡频率恒定（导数为常数）。我们可以尝试一种“拉伸”变换，将高频区域压缩，使得在新变量下相位变化更平缓。常用变换之一是代数变换：
\[ x = \psi(t) = \frac{t}{\sqrt{1-\alpha^2 + \alpha^2 t^2}}, \quad \alpha \in (0,1) \]
其逆变换为 \(t = \phi(x) = \frac{x}{\sqrt{1-\alpha^2(1-x^2)}}\)。当 \(\alpha\) 接近 0 时，变换接近恒等；当 \(\alpha\) 增大，变换在端点附近拉伸更明显。该变换保持区间 \([-1,1]\) 不变，且满足 \(\psi(\pm 1) = \pm 1\)。
步骤3：联合高斯-切比雪夫公式与变量变换
- 将变换代入积分：
\[ I = \int_{-1}^{1} \frac{\cos\left(50 \cdot \frac{t}{\sqrt{1-\alpha^2 + \alpha^2 t^2}}\right)}{\sqrt{1 - \left(\frac{t}{\sqrt{1-\alpha^2 + \alpha^2 t^2}}\right)^2}} \cdot \frac{d}{dt}\left(\frac{t}{\sqrt{1-\alpha^2 + \alpha^2 t^2}}\right) dt \]
计算导数：
\[ \psi'(t) = \frac{1-\alpha^2}{(1-\alpha^2 + \alpha^2 t^2)^{3/2}} \]
同时，分母中：
\[ 1 - [\psi(t)]^2 = 1 - \frac{t^2}{1-\alpha^2 + \alpha^2 t^2} = \frac{(1-\alpha^2)(1-t^2)}{1-\alpha^2 + \alpha^2 t^2} \]
因此，
\[ \frac{1}{\sqrt{1-[\psi(t)]^2}} = \frac{\sqrt{1-\alpha^2 + \alpha^2 t^2}}{\sqrt{1-\alpha^2}\sqrt{1-t^2}} \]
代入被积表达式，整理得：
\[ I = \int_{-1}^{1} \frac{\cos\left(50 \cdot \frac{t}{\sqrt{1-\alpha^2 + \alpha^2 t^2}}\right)}{\sqrt{1-t^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-\alpha^2 + \alpha^2 t^2}} dt \]
这里我们成功将原端点奇异性 \(1/\sqrt{1-x^2}\) 转换为了新积分中的 \(1/\sqrt{1-t^2}\)，而剩余因子 \(1/\sqrt{1-\alpha^2 + \alpha^2 t^2}\) 是光滑的（无奇点）。于是，新积分形式为：
\[ I = \int_{-1}^{1} \frac{g(t)}{\sqrt{1-t^2}} dt, \quad g(t) = \frac{\cos\left(50 \cdot \frac{t}{\sqrt{1-\alpha^2 + \alpha^2 t^2}}\right)}{\sqrt{1-\alpha^2 + \alpha^2 t^2}} \]
这正好匹配高斯-切比雪夫公式的权函数！变换后，振荡部分从 \(\cos(50x)\) 变为 \(\cos(50\psi(t))\)，通过调节 \(\alpha\) 可改变振荡频率分布。
步骤4：选择变换参数与误差分析
- 变换参数 \(\alpha\) 的选择目标是使 \(g(t)\) 尽可能光滑、低频。观察 \(g(t)\) 的振荡部分：相位函数为 \(\theta(t) = 50\psi(t) = 50 t / \sqrt{1-\alpha^2 + \alpha^2 t^2}\)。其导数为：
\[ \theta'(t) = 50 \cdot \frac{1-\alpha^2}{(1-\alpha^2 + \alpha^2 t^2)^{3/2}} \]
在 \(t=0\) 处，\(\theta'(0)=50(1-\alpha^2)\)；在 \(t=\pm 1\) 处，\(\theta'(\pm 1)=50(1-\alpha^2)^{1/2}\)。
若取 \(\alpha\) 接近 1（例如 \(\alpha=0.9\)），则 \(\theta'(t)\) 在区间中部很小（低频），在端点处也较小。例如 \(\alpha=0.9\) 时，\(\theta'(0)=9.5\)，\(\theta'(\pm 1)\approx 21.8\)，相比原频率 50 显著降低。
- 通过选取合适的 \(\alpha\)（可尝试 \(\alpha=0.8\sim 0.95\)），可让振荡在大部分区域变得平缓，从而用较少数目的高斯-切比雪夫节点就能精确积分。
- 实际计算时，可先对 \(\alpha\) 进行试验：观察 \(g(t)\) 在 \(t\) 为切比雪夫节点上的变化，或计算不同 \(n\) 下的积分值直到结果稳定。由于 \(g(t)\) 已无端点奇异性且振荡减缓，高斯-切比雪夫公式的收敛速度会大大加快。
步骤5：实施步骤总结
- 选择变换参数 \(\alpha\)（例如 0.9）。
- 定义新被积函数：
\[ g(t) = \frac{\cos\left(50 \cdot \frac{t}{\sqrt{1-\alpha^2 + \alpha^2 t^2}}\right)}{\sqrt{1-\alpha^2 + \alpha^2 t^2}} \]
- 应用 \(n\) 点高斯-切比雪夫求积公式：
\[ I_n = \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^{n} g\left(\cos\left(\frac{2k-1}{2n}\pi\right)\right) \]
- 增加 \(n\) 直到 \(|I_{n}-I_{2n}|\) 小于预设容差（如 \(10^{-10}\)），即得到积分近似值。
- 验证：可与高精度数值积分（如极大 \(n\) 的高斯-切比雪夫公式直接计算原积分，但 \(n\) 需很大）比较，评估精度。
关键点：本方法通过变量变换将端点奇异性吸收至权函数的同时，降低了被积函数的振荡频率，使得高斯-切比雪夫公式能高效、精确地计算此类带端点振荡的积分。该方法结合了权函数匹配与频率调制两种技巧，是处理此类复合困难积分的有效策略。