Householder双对角化在计算奇异值分解（SVD）中的核心步骤
字数 3079 2025-12-06 09:22:20

Householder双对角化在计算奇异值分解（SVD）中的核心步骤

题目描述
我们已知任意矩阵 \(A \in \mathbb{R}^{m \times n}\)（假设 \(m \ge n\)）的奇异值分解（SVD）为 \(A = U \Sigma V^T\)，其中 \(U, V\) 正交，\(\Sigma\) 为对角矩阵。本题目聚焦于如何通过Householder双对角化（Bidiagonalization）将矩阵 \(A\) 转化为上双对角形式，这是计算SVD的关键预处理步骤。具体来说，我们需要理解：如何构造左、右Householder反射器，使得 \(A\) 经过正交变换后成为双对角矩阵 \(B\)，即 \(U_b^T A V_b = B\)，其中 \(B\) 仅在主对角线及上一次对角线上有非零元，其余位置全为零。

解题过程循序渐进讲解

第一步：理解双对角化的目标
对于一个 \(m \times n\) 矩阵 \(A\)，双对角化旨在找到正交矩阵 \(U_b\)（\(m \times m\)）和 \(V_b\)（\(n \times n\)），使得：

\[U_b^T A V_b = B = \begin{pmatrix} \beta_1 & \alpha_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \beta_2 & \alpha_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & \beta_{n-1} & \alpha_n \\ 0 & \cdots & 0 & 0 & \beta_n \\ 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{m \times n} \]

这里 \(B\) 只有主对角线（元素 \(\beta_i\)）和上一次对角线（元素 \(\alpha_{i+1}\)）非零，底部可能有若干零行（当 \(m > n\)）。此形式是后续计算SVD的高效结构。

第二步：回顾Householder反射器
一个Householder反射器形式为 \(P = I - 2 w w^T\)（其中 \(w^T w = 1\)），其作用是左乘（或右乘）矩阵时，能将某一列（或行）向量的部分分量“反射”到坐标轴方向，从而引入零元。这是我们构造零元素的主要工具。

第三步：逐步双对角化过程
假设我们从 \(A^{(1)} = A\) 开始，对 \(k = 1, 2, \dots, n\) 执行以下两步：

  1. 左乘Householder反射器（在左侧引入零）
    观察 \(A^{(k)}\) 的第 \(k\) 列，从第 \(k+1\) 行到第 \(m\) 行的部分，记此子向量为 \(x\)。我们构造一个Householder反射器 \(P_k\) 使得 \(P_k x = \beta_k e_1\)（其中 \(e_1\) 是单位向量），即除了第一个分量变为 \(\beta_k\) 外，其余分量全为零。
    • 注意：为不影响前 \(k-1\) 列已产生的零，我们只对行下标 \(k:m\) 应用反射器。实际上，我们构造 \(m \times m\) 的块对角正交矩阵 \(U_k = \text{diag}(I_{k-1}, P_k)\)，然后左乘：

\[ A^{(k)} \leftarrow U_k^T A^{(k)} \]

 这使得 $ A^{(k)} $ 的第 $ k $ 列在位置 $ k+1:m $ 全变为零，同时第 $ k $ 行对角线元素变为 $ \beta_k $。
  1. 右乘Householder反射器（在右侧引入零）
    完成左乘后，看 \(A^{(k)}\) 的第 \(k\) 行，从第 \(k+2\) 列到第 \(n\) 列的部分，记此子向量为 \(y\)。构造Householder反射器 \(Q_k\) 使得 \(y Q_k = \alpha_{k+1} e_1^T\)，即除了第一个分量变为 \(\alpha_{k+1}\) 外其余为零。
    • 为不破坏第 \(k\) 列已引入的零，只对列下标 \(k+1:n\) 应用反射器。构造 \(n \times n\) 的块对角正交矩阵 \(V_k = \text{diag}(I_k, Q_k)\)，然后右乘：

\[ A^{(k+1)} \leftarrow A^{(k)} V_k \]

 这使得第 $ k $ 行在列位置 $ k+2:n $ 全变为零，同时第 $ k+1 $ 列的对角上方元素变为 $ \alpha_{k+1} $。

第四步：算法伪代码与示例

  1. 初始化：\(U = I_m\), \(V = I_n\), \(B = A\)。
  2. 对 \(k = 1\) 到 \(n\)：
    a. 对 \(B(k:m, k)\) 构造Householder反射器 \(P_k\)（基于该列向量），计算 \(B(k:m, k:n) \leftarrow P_k^T B(k:m, k:n)\)，同时更新 \(U(:, k:m) \leftarrow U(:, k:m) P_k\)。
    b. 如果 \(k \le n-2\)，对 \(B(k, k+1:n)\) 构造Householder反射器 \(Q_k\)（基于该行向量），计算 \(B(k:m, k+1:n) \leftarrow B(k:m, k+1:n) Q_k\)，同时更新 \(V(:, k+1:n) \leftarrow V(:, k+1:n) Q_k\)。
  3. 最终得到 \(B\) 为双对角矩阵，且满足 \(U^T A V = B\)。

注意：最后一步（当 \(k = n\) 时）只需左乘，因为不再有需要零化的右侧元素。当 \(m = n\) 时，矩阵 \(B\) 是方阵，形式为严格上双对角矩阵。

第五步：几何与数值意义

  • 左乘反射器逐步将矩阵列向量正交化（类似于QR分解，但只产生双对角而非上三角形式）。
  • 右乘反射器进一步对行向量做正交化，确保非零结构仅保留在主对角和上一次对角。
  • 整个过程是数值稳定的，因为Householder变换具有良好的舍入误差性质。
  • 所得双对角矩阵 \(B\) 的奇异值即为原矩阵 \(A\) 的奇异值，后续可通过专门的双对角SVD算法（如分治法或QR迭代）高效计算。

总结
通过交替左乘和右乘Householder反射器，我们可将任意矩阵转化为上双对角形式，这是计算SVD的关键预处理步骤，显著减少了后续迭代的复杂度。此方法结合了QR分解与正交变换的思想，是许多高效SVD算法（如LAPACK中的*gesvd例程）的核心组成部分。

Householder双对角化在计算奇异值分解（SVD）中的核心步骤 题目描述 我们已知任意矩阵 \( A \in \mathbb{R}^{m \times n} \)（假设 \( m \ge n \)）的奇异值分解（SVD）为 \( A = U \Sigma V^T \)，其中 \( U, V \) 正交，\( \Sigma \) 为对角矩阵。本题目聚焦于 如何通过Householder双对角化（Bidiagonalization）将矩阵 \( A \) 转化为上双对角形式 ，这是计算SVD的关键预处理步骤。具体来说，我们需要理解：如何构造左、右Householder反射器，使得 \( A \) 经过正交变换后成为双对角矩阵 \( B \)，即 \( U_ b^T A V_ b = B \)，其中 \( B \) 仅在主对角线及上一次对角线上有非零元，其余位置全为零。 解题过程循序渐进讲解 第一步：理解双对角化的目标 对于一个 \( m \times n \) 矩阵 \( A \)，双对角化旨在找到正交矩阵 \( U_ b \)（\( m \times m \)）和 \( V_ b \)（\( n \times n \)），使得： \[ U_ b^T A V_ b = B = \begin{pmatrix} \beta_ 1 & \alpha_ 2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \beta_ 2 & \alpha_ 3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & \beta_ {n-1} & \alpha_ n \\ 0 & \cdots & 0 & 0 & \beta_ n \\ 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{m \times n} \] 这里 \( B \) 只有主对角线（元素 \( \beta_ i \)）和上一次对角线（元素 \( \alpha_ {i+1} \)）非零，底部可能有若干零行（当 \( m > n \)）。此形式是后续计算SVD的高效结构。 第二步：回顾Householder反射器 一个Householder反射器形式为 \( P = I - 2 w w^T \)（其中 \( w^T w = 1 \)），其作用是左乘（或右乘）矩阵时，能将某一列（或行）向量的部分分量“反射”到坐标轴方向，从而引入零元。这是我们构造零元素的主要工具。 第三步：逐步双对角化过程 假设我们从 \( A^{(1)} = A \) 开始，对 \( k = 1, 2, \dots, n \) 执行以下两步： 左乘Householder反射器（在左侧引入零） 观察 \( A^{(k)} \) 的第 \( k \) 列，从第 \( k+1 \) 行到第 \( m \) 行的部分，记此子向量为 \( x \)。我们构造一个Householder反射器 \( P_ k \) 使得 \( P_ k x = \beta_ k e_ 1 \)（其中 \( e_ 1 \) 是单位向量），即除了第一个分量变为 \( \beta_ k \) 外，其余分量全为零。 注意：为不影响前 \( k-1 \) 列已产生的零，我们只对行下标 \( k:m \) 应用反射器。实际上，我们构造 \( m \times m \) 的块对角正交矩阵 \( U_ k = \text{diag}(I_ {k-1}, P_ k) \)，然后左乘： \[ A^{(k)} \leftarrow U_ k^T A^{(k)} \] 这使得 \( A^{(k)} \) 的第 \( k \) 列在位置 \( k+1:m \) 全变为零，同时第 \( k \) 行对角线元素变为 \( \beta_ k \)。 右乘Householder反射器（在右侧引入零） 完成左乘后，看 \( A^{(k)} \) 的第 \( k \) 行，从第 \( k+2 \) 列到第 \( n \) 列的部分，记此子向量为 \( y \)。构造Householder反射器 \( Q_ k \) 使得 \( y Q_ k = \alpha_ {k+1} e_ 1^T \)，即除了第一个分量变为 \( \alpha_ {k+1} \) 外其余为零。 为不破坏第 \( k \) 列已引入的零，只对列下标 \( k+1:n \) 应用反射器。构造 \( n \times n \) 的块对角正交矩阵 \( V_ k = \text{diag}(I_ k, Q_ k) \)，然后右乘： \[ A^{(k+1)} \leftarrow A^{(k)} V_ k \] 这使得第 \( k \) 行在列位置 \( k+2:n \) 全变为零，同时第 \( k+1 \) 列的对角上方元素变为 \( \alpha_ {k+1} \)。 第四步：算法伪代码与示例 初始化：\( U = I_ m \), \( V = I_ n \), \( B = A \)。 对 \( k = 1 \) 到 \( n \)： a. 对 \( B(k:m, k) \) 构造Householder反射器 \( P_ k \)（基于该列向量），计算 \( B(k:m, k:n) \leftarrow P_ k^T B(k:m, k:n) \)，同时更新 \( U(:, k:m) \leftarrow U(:, k:m) P_ k \)。 b. 如果 \( k \le n-2 \)，对 \( B(k, k+1:n) \) 构造Householder反射器 \( Q_ k \)（基于该行向量），计算 \( B(k:m, k+1:n) \leftarrow B(k:m, k+1:n) Q_ k \)，同时更新 \( V(:, k+1:n) \leftarrow V(:, k+1:n) Q_ k \)。 最终得到 \( B \) 为双对角矩阵，且满足 \( U^T A V = B \)。 注意 ：最后一步（当 \( k = n \) 时）只需左乘，因为不再有需要零化的右侧元素。当 \( m = n \) 时，矩阵 \( B \) 是方阵，形式为严格上双对角矩阵。 第五步：几何与数值意义 左乘反射器逐步将矩阵列向量正交化（类似于QR分解，但只产生双对角而非上三角形式）。 右乘反射器进一步对行向量做正交化，确保非零结构仅保留在主对角和上一次对角。 整个过程是数值稳定的，因为Householder变换具有良好的舍入误差性质。 所得双对角矩阵 \( B \) 的奇异值即为原矩阵 \( A \) 的奇异值，后续可通过专门的双对角SVD算法（如分治法或QR迭代）高效计算。 总结 通过交替左乘和右乘Householder反射器，我们可将任意矩阵转化为上双对角形式，这是计算SVD的关键预处理步骤，显著减少了后续迭代的复杂度。此方法结合了QR分解与正交变换的思想，是许多高效SVD算法（如LAPACK中的 *gesvd 例程）的核心组成部分。