高斯-勒让德求积公式在带振荡衰减函数积分中的外推加速技术
题目描述
计算如下带振荡衰减的积分：
\[I = \int_{0}^{\infty} e^{-x} \sin(\omega x) \, dx, \quad \omega \gg 1 \]
其中被积函数在无穷区间上振荡且指数衰减。要求使用高斯-勒让德求积公式进行计算，并针对振荡衰减特性，结合外推加速技术（如 Richardson 外推）提高积分精度与收敛速度。
解题过程
步骤1：问题分析与挑战
被积函数 \(f(x) = e^{-x} \sin(\omega x)\) 具有两个特征：
- 指数衰减：因子 \(e^{-x}\) 使得函数在 \(x \to \infty\) 时快速衰减，但积分区间为无穷，无法直接使用有限区间的高斯-勒让德公式。
- 高频振荡：因子 \(\sin(\omega x)\) 在 \(\omega\) 很大时剧烈振荡，导致数值积分需要极多节点才能捕捉振荡细节，直接使用高斯求积效率低下。
步骤2：处理无穷积分区间
高斯-勒让德公式适用于有限区间 \([-1, 1]\)，因此首先通过变量替换将无穷区间映射到有限区间。常用替换为：
\[x = \frac{1+t}{1-t}, \quad t \in [-1, 1] \]
但该替换可能放大振荡频率。更稳妥的方法是采用指数衰减映射：
\[x = -\ln\left(\frac{1+t}{2}\right) \quad \text{或等价地} \quad t = 1 - 2e^{-x} \]
这里选择更简单的映射：
\[x = \frac{1+t}{1-t} \quad \Rightarrow \quad dx = \frac{2}{(1-t)^2} dt \]
积分变为：
\[I = \int_{-1}^{1} e^{-\frac{1+t}{1-t}} \sin\left(\omega \frac{1+t}{1-t}\right) \cdot \frac{2}{(1-t)^2} \, dt \]
但被积函数在 \(t \to 1\) 时趋于 0，然而振荡频率在 \(t \to 1\) 时变得无穷大（因为 \(x \to \infty\)），这会造成数值困难。
替代方案：由于函数指数衰减，可将无穷积分截断为有限区间 \([0, R]\)，其中 \(R\) 满足 \(e^{-R} < \epsilon\)（\(\epsilon\) 为精度容差，如 \(10^{-12}\)）。取 \(R = -\ln \epsilon\)，例如 \(R = 30\) 对应 \(\epsilon \approx 10^{-13}\)。于是：
\[I \approx I_R = \int_{0}^{R} e^{-x} \sin(\omega x) \, dx \]
这一步将问题转化为有限区间积分。
步骤3：处理振荡与高斯-勒让德公式的应用
高斯-勒让德公式在区间 \([a, b]\) 上的形式为：
\[\int_{a}^{b} g(x) dx \approx \frac{b-a}{2} \sum_{i=1}^{n} w_i \, g\left( \frac{b-a}{2} \xi_i + \frac{a+b}{2} \right) \]
其中 \(\xi_i, w_i\) 是 \([-1,1]\) 上的标准勒让德节点与权重。
对 \(I_R\)，取 \(a=0, b=R\)。但若直接应用，需要节点数 \(n\) 非常大才能解析高频振荡，因为高斯-勒让德公式的节点分布固定，不适合剧烈振荡函数。
技巧：利用积分区间的可加性，将 \([0,R]\) 划分为若干子区间，在每个子区间上应用低阶高斯-勒让德公式。子区间长度应约等于振荡的半个周期 \(T = \pi/\omega\)，这样每个子区间上函数振荡不到一次，高斯公式可精确积分。
设子区间长度 \(h = \pi/\omega\)，子区间数 \(m = \lceil R / h \rceil\)。
在每个子区间 \([x_{k-1}, x_k]\)，\(x_k = k h\)，应用 \(n\) 点高斯-勒让德公式（如 \(n=3\)）：
\[I_{k} = \frac{h}{2} \sum_{i=1}^{n} w_i \, f\left( \frac{h}{2} \xi_i + \frac{x_{k-1}+x_k}{2} \right) \]
则 \(I_R = \sum_{k=1}^{m} I_k\)。
这一步将振荡的影响局部化，使得低阶高斯公式在每个子区间上足够精确。
步骤4：外推加速技术
即使划分子区间，截断误差和离散误差仍然存在。外推加速（Richardson 外推）可通过不同步长的计算结果组合，消去误差的低阶项，从而得到更高精度结果。
具体步骤：
- 用两种不同划分（不同子区间长度）计算积分近似值。
- 先以步长 \(h\) 计算，得 \(I(h)\)。
- 再将步长减半为 \(h/2\) 计算，得 \(I(h/2)\)。
- 假设误差可展开为 \(h^p\) 的幂级数：
\[ I = I(h) + C h^p + O(h^{p+1}) \]
其中 \(p\) 是方法的精度阶数。对高斯-勒让德公式，若每个子区间上使用 \(n\) 点公式，则局部误差为 \(O(h^{2n})\)，但整体复合后精度阶为 \(p = 2n\)（因为每个子区间误差为 \(O(h^{2n+1})\)，累计后为 \(O(h^{2n})\)）。
3. 利用 \(I(h)\) 和 \(I(h/2)\) 消去主误差项：
\[ I = \frac{2^p I(h/2) - I(h)}{2^p - 1} + O(h^{p+1}) \]
此即 Richardson 外推公式。
步骤5：实际计算流程
- 选择初始步长 \(h_0 = \pi/\omega\)，对应每个子区间约半个振荡周期。
- 用 \(h_0\) 划分区间 \([0,R]\)，在每个子区间上应用 3 点高斯-勒让德公式，计算得 \(I_1 = I(h_0)\)。
- 将步长减半为 \(h_1 = h_0/2\)，重新划分并计算得 \(I_2 = I(h_0/2)\)。
- 确定精度阶 \(p\)：对复合 3 点高斯公式，理论阶 \(p = 6\)。但振荡函数可能影响，可通过实际计算估计：
\[ p \approx \frac{\log\left( \frac{I_2 - I_1}{I_4 - I_2} \right)}{\log 2} \]
其中 \(I_4 = I(h_0/4)\)，需计算三步。
5. 用 Richardson 外推计算加速值：
\[ I_{\text{extrap}} = \frac{2^p I_2 - I_1}{2^p - 1} \]
- 可重复外推：用 \(h_0/2\) 和 \(h_0/4\) 的结果再次外推，得到更高阶精度。
步骤6：误差控制与验证
- 理论精确值：该积分有解析解 \(I = \frac{\omega}{1+\omega^2}\)。可用于验证数值结果。
- 实际误差估计：比较两次外推结果的差值，若小于设定容差（如 \(10^{-10}\)），则停止。
步骤7：算法总结
- 截断无穷区间为 \([0,R]\)，\(R\) 足够大使得截断误差可忽略。
- 划分子区间，子区间长度约等于振荡半周期，以控制振荡对数值积分的影响。
- 在每个子区间上应用低阶高斯-勒让德公式（如 3 点）进行积分。
- 采用 Richardson 外推技术，通过不同步长的计算结果组合，加速收敛并获得高精度积分值。
该方法结合了区间截断、子区间划分、高斯求积和外推加速，有效处理了振荡衰减函数在无穷区间上的积分问题。