基于线性规划的图最小边覆盖问题的线性规划模型构建与最优性条件验证示例
题目描述
在图论中，对于一个无向图 \(G = (V, E)\)，其中 \(V\) 是顶点集，\(E\) 是边集，一个边覆盖是指边集的一个子集 \(C \subseteq E\)，使得图中每个顶点至少与 \(C\) 中的一条边关联。最小边覆盖问题是寻找一个包含边数最少的边覆盖。我们希望通过构建线性规划模型来求解该问题的最优解，并验证其最优性条件。题目要求：
- 将问题建模为0-1整数规划。
- 通过松弛整数约束得到线性规划松弛模型。
- 分析松弛模型的最优性条件，验证其对偶关系及互补松弛条件。
- 在特定图实例上演示求解过程。
解题过程
步骤1：整数规划建模
设图有 \(n = |V|\) 个顶点，\(m = |E|\) 条边。对每条边 \(e \in E\)，引入0-1决策变量 \(x_e\)：
- \(x_e = 1\) 表示边 \(e\) 被选入边覆盖 \(C\)；
- \(x_e = 0\) 表示未被选中。
目标：最小化边覆盖的边数，即 \(\min \sum_{e \in E} x_e\)。
约束：每个顶点必须被至少一条选中的边覆盖。对每个顶点 \(v \in V\)，设 \(\delta(v)\) 表示与 \(v\) 关联的边集，则约束为：
\[\sum_{e \in \delta(v)} x_e \ge 1, \quad \forall v \in V. \]
此外，\(x_e \in \{0,1\}\)。
整数规划模型为：
\[\begin{aligned} \min \quad & \sum_{e \in E} x_e \\ \text{s.t.} \quad & \sum_{e \in \delta(v)} x_e \ge 1, \quad \forall v \in V, \\ & x_e \in \{0,1\}, \quad \forall e \in E. \end{aligned} \]
步骤2：线性规划松弛
将整数约束松弛为连续约束：
\[0 \le x_e \le 1, \quad \forall e \in E. \]
由于约束 \(x_e \le 1\) 是冗余的（因为最小化目标会自然避免 \(x_e > 1\)），可简化为 \(x_e \ge 0\)。松弛后的线性规划模型为：
\[\begin{aligned} \min \quad & \sum_{e \in E} x_e \\ \text{s.t.} \quad & \sum_{e \in \delta(v)} x_e \ge 1, \quad \forall v \in V, \\ & x_e \ge 0, \quad \forall e \in E. \end{aligned} \tag{P} \]
步骤3：构造对偶问题与最优性条件
模型(P)是一个标准的最小化线性规划，约束为“≥”形式。为构造对偶，为每个顶点约束引入对偶变量 \(y_v \ge 0\)。对偶问题为：
\[\begin{aligned} \max \quad & \sum_{v \in V} y_v \\ \text{s.t.} \quad & \sum_{v: e \in \delta(v)} y_v \le 1, \quad \forall e \in E, \\ & y_v \ge 0, \quad \forall v \in V. \end{aligned} \tag{D} \]
约束表示每条边关联的两个顶点的对偶变量之和不超过1。
互补松弛条件：
对原始变量 \(x_e\) 和对偶约束：
- 若 \(x_e > 0\)，则对应的对偶约束取等号：\(\sum_{v: e \in \delta(v)} y_v = 1\)。
- 若对偶约束严格不等（\(\sum_{v: e \in \delta(v)} y_v < 1\)），则 \(x_e = 0\)。
对偶变量 \(y_v\) 和原始约束：
3. 若 \(y_v > 0\)，则对应的原始约束取等号：\(\sum_{e \in \delta(v)} x_e = 1\)。
4. 若原始约束严格不等（\(\sum_{e \in \delta(v)} x_e > 1\)），则 \(y_v = 0\)。
步骤4：在示例图上演示求解
考虑一个简单图：顶点集 \(V = \{a,b,c,d\}\)，边集 \(E = \{ab, ac, bc, bd, cd\}\)，如图：
a
/ \
b---c
\ /
d
边：\(e_1 = ab, e_2 = ac, e_3 = bc, e_4 = bd, e_5 = cd\)。
1. 写出线性规划模型(P)：
变量：\(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 \ge 0\)。
顶点覆盖约束：
- 顶点 \(a\)：\(x_1 + x_2 \ge 1\)。
- 顶点 \(b\)：\(x_1 + x_3 + x_4 \ge 1\)。
- 顶点 \(c\)：\(x_2 + x_3 + x_5 \ge 1\)。
- 顶点 \(d\)：\(x_4 + x_5 \ge 1\)。
目标：最小化 \(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5\)。
2. 观察可行解：
注意到图是连通的，最小边覆盖的边数等于 \(n -\)（最大匹配的基数）。但此处我们直接从线性规划角度分析。
考虑一个对称解：令 \(x_1 = x_5 = 0.5, x_2 = 0.5, x_3 = 0, x_4 = 0.5\)。
- 顶点 \(a\)：\(0.5 + 0.5 = 1\)（紧约束）。
- 顶点 \(b\)：\(0.5 + 0 + 0.5 = 1\)（紧约束）。
- 顶点 \(c\)：\(0.5 + 0 + 0.5 = 1\)（紧约束）。
- 顶点 \(d\)：\(0.5 + 0.5 = 1\)（紧约束）。
目标值 = 0.5 + 0.5 + 0 + 0.5 + 0.5 = 2。
3. 构造对偶可行解验证最优性：
对偶变量：\(y_a, y_b, y_c, y_d \ge 0\)。
对偶约束（每条边关联的两个顶点变量和 ≤ 1）：
- 边 \(ab\)：\(y_a + y_b \le 1\)。
- 边 \(ac\)：\(y_a + y_c \le 1\)。
- 边 \(bc\)：\(y_b + y_c \le 1\)。
- 边 \(bd\)：\(y_b + y_d \le 1\)。
- 边 \(cd\)：\(y_c + y_d \le 1\)。
目标：最大化 \(y_a + y_b + y_c + y_d\)。
猜测一个对称对偶解：设 \(y_a = y_d = 0.5, y_b = y_c = 0.5\)。
检查约束：
- \(ab\)：0.5+0.5=1（紧）。
- \(ac\)：0.5+0.5=1（紧）。
- \(bc\)：0.5+0.5=1（紧）。
- \(bd\)：0.5+0.5=1（紧）。
- \(cd\)：0.5+0.5=1（紧）。
对偶目标值 = 0.5+0.5+0.5+0.5=2。
原始目标值也为2，由弱对偶定理，若原始可行且对偶可行且目标值相等，则达到最优。
4. 验证互补松弛条件：
原始解中所有变量 \(x_e\) 均 >0 吗？不，\(x_3=0\)。检查对应边 \(bc\) 的对偶约束：\(y_b + y_c = 1\)，是紧的，但 \(x_3=0\)，这并不违反互补松弛条件（因为条件1是单向的：\(x_e >0\) ⇒ 对偶约束紧；反之不一定成立）。
对每个顶点，原始约束都是紧的，且对应对偶变量 \(y_v >0\)，满足条件3。
因此互补松弛条件全部满足，解是最优的。
结论
此例中线性规划松弛的最优值为2，而整数解的最小边覆盖（例如选边 {ab, cd} 或 {ac, bd}）也需2条边，因此线性规划松弛给出了整数最优解。但在一般图中，松弛可能有分数解，此时需结合整数规划技巧（如分支定界）求解原问题。本示例展示了如何将最小边覆盖建模为线性规划，并通过构造对偶解验证最优性。