哈希算法题目：设计哈希映射（线性探测法实现）

题目描述：你需要设计一个哈希映射（HashMap），使用开放地址法中的线性探测策略来解决哈希冲突。这个哈希映射应该支持以下操作：

1. put(key, value)：插入一个键值对。如果键已存在，则更新其对应的值。
2. get(key)：返回键对应的值。如果键不存在，返回 -1。
3. remove(key)：删除键及其对应的值。

要求：使用一个固定大小的数组来存储键值对，不依赖于内置的哈希表库。你需要处理哈希冲突，并通过线性探测在数组中寻找下一个可用位置。

解题步骤讲解：

步骤1：理解哈希映射和线性探测的基本概念

哈希映射（HashMap）是一种基于键（key）直接访问值（value）的数据结构。核心思想是：通过一个哈希函数将键映射到一个索引位置，然后将键值对存储在该索引对应的数组位置。

然而，当两个不同的键被哈希函数映射到同一个索引时，就会发生“哈希冲突”。开放地址法是解决冲突的一种策略：当冲突发生时，探测（寻找）数组中的其他位置，直到找到一个空位或满足特定条件的位置。

线性探测是开放地址法中最简单的一种：当位置i（索引）被占用时，就尝试下一个位置 i+1，然后是 i+2，以此类推，直到找到一个空位。查找时也遵循同样的探测顺序。

步骤2：设计数据结构

我们将使用一个固定大小的数组来存储键值对。但注意：我们需要区分“空位置”和“被删除的位置”，因为在删除后，线性探测的查找链不能中断。所以，每个数组元素可以有三个状态：

• 空（从未使用过）
• 占用（已存储一个键值对）
• 已删除（曾存储过，但已被删除）

我们可以用两个数组来实现：一个存储键，一个存储值，并用一个额外的状态数组记录每个位置的状态。但为简化，我们可以用一个数组存储特殊的“单元”，每个单元包含 key、value 和状态。

为简单讲解，我们假设键和值都是整数。我们初始化一个固定大小的数组，每个位置包含 (key, value) 对，并设置一个状态标志。我们将状态分为：

• EMPTY：该位置为空。
• OCCUPIED：该位置有有效的键值对。
• DELETED：该位置曾被占用，但已被删除。

步骤3：确定基本参数

我们需要定义：

• 数组容量（capacity）：固定大小，比如 10007（一个质数，有助于减少聚集）。
• 哈希函数：hash(key) = key % capacity。确保结果在 [0, capacity-1] 范围内。
• 线性探测步长：每次探测索引加 1（即 index = (index + 1) % capacity），循环检查直到满足条件。

步骤4：详细操作逻辑

a) 插入操作 put(key, value)

1. 计算初始索引：index = key % capacity。
2. 从 index 开始，顺序向后探测（循环数组）：
   • 如果遇到状态为 EMPTY 或 DELETED 的位置，就将键值对存入，并将状态设为 OCCUPIED，然后返回。
   • 如果遇到状态为 OCCUPIED 且键相等，就更新其值，然后返回。
3. 注意：如果数组满了，此简单实现会无限循环，实际中需要处理扩容，但题目要求固定大小，所以我们假设数组不会满。

b) 查找操作 get(key)

1. 计算初始索引：index = key % capacity。
2. 从 index 开始，顺序向后探测（循环数组）：
   • 如果遇到状态为 EMPTY，说明键不存在，返回 -1。
   • 如果遇到状态为 OCCUPIED 且键相等，就返回值。
   • 如果遇到状态为 DELETED 或其他键，就继续探测。
3. 如果循环回起点还没找到，就返回 -1。

c) 删除操作 remove(key)

1. 计算初始索引：index = key % capacity。
2. 从 index 开始，顺序向后探测（循环数组）：
   • 如果遇到状态为 EMPTY，说明键不存在，直接返回。
   • 如果遇到状态为 OCCUPIED 且键相等，就将状态改为 DELETED（注意：只改状态，不清空键值，以保持探测链，但标记为可覆盖），然后返回。
   • 如果遇到状态为 DELETED 或其他键，就继续探测。

步骤5：代码结构示例（伪代码）

定义常量：EMPTY, OCCUPIED, DELETED
定义容量 capacity = 10007
定义数组 keys[capacity], values[capacity], status[capacity] 初始化为 EMPTY

函数 hash(key):
    return key % capacity

函数 put(key, value):
    index = hash(key)
    while status[index] != EMPTY:
        if status[index] == OCCUPIED 且 keys[index] == key:
            values[index] = value
            return
        index = (index + 1) % capacity
    keys[index] = key
    values[index] = value
    status[index] = OCCUPIED

函数 get(key):
    index = hash(key)
    while status[index] != EMPTY:
        if status[index] == OCCUPIED 且 keys[index] == key:
            return values[index]
        index = (index + 1) % capacity
    return -1

函数 remove(key):
    index = hash(key)
    while status[index] != EMPTY:
        if status[index] == OCCUPIED 且 keys[index] == key:
            status[index] = DELETED
            return
        index = (index + 1) % capacity

步骤6：关键细节与注意事项

1. 循环数组：探测时索引达到数组末尾后，应回到开头，使用取模运算 (index + 1) % capacity。
2. 删除标记：删除时不能直接设为 EMPTY，否则会中断后续元素的探测链。标记为 DELETED 后，插入时可以被重用，查找时会跳过。
3. 查找终止条件：查找时遇到 EMPTY 就停止，因为线性探测保证元素不可能在更后面。
4. 聚集问题：线性探测容易产生“一次聚集”（连续占用的位置形成长块），导致效率下降。这是其缺点，但实现简单。

步骤7：复杂度分析

• 插入、删除、查找的平均时间复杂度：在良好的哈希函数和负载因子下，为 O(1)。最坏情况（全聚集）为 O(n)。
• 空间复杂度：O(capacity)，固定大小。

通过以上步骤，你就能设计一个基于线性探测的哈希映射了。这个实现是开放地址法的经典示例，重点在于理解线性探测的机制和删除标记的重要性。