非线性规划中的自适应步长随机梯度下降法进阶题
字数 3233 2025-12-06 04:43:43

非线性规划中的自适应步长随机梯度下降法进阶题

题目描述
考虑一个带有等式约束的非光滑随机优化问题：

\[\min_{x \in \mathbb{R}^n} \mathbb{E}_{\xi}[f(x, \xi)] \quad \text{s.t.} \quad c(x) = 0 \]

其中目标函数 \(f(x, \xi)\) 关于 \(x\) 可能是非光滑的（例如带有 \(\ell_1\) 正则化项），随机变量 \(\xi\) 服从某个分布，约束 \(c(x) = 0\) 是光滑的等式约束（\(c: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\)）。假设我们只能通过采样得到随机次梯度 \(g(x, \xi) \in \partial_x f(x, \xi)\)（即 \(f\) 关于 \(x\) 的次梯度）。请设计一种自适应步长随机梯度下降法，使其能够处理非光滑目标与等式约束，并说明算法如何自适应调整步长、确保收敛性。

解题过程循序渐进讲解

1. 问题分析

这是一个随机约束优化问题，难点在于：

  • 目标函数是非光滑的随机函数，无法直接使用梯度。
  • 有等式约束，需要将约束纳入迭代过程。
  • 随机性要求算法在每次迭代中只使用一个样本（或小批量）的次梯度，计算高效。

传统随机梯度下降（SGD）需要修改以适应约束和非光滑性，同时步长需要自适应调整（例如根据历史梯度信息），避免手动调参并提升收敛速度。

2. 算法框架设计

我们结合随机次梯度法、拉格朗日函数和自适应步长策略。

第一步：转化为无约束问题（增广拉格朗日法）

引入拉格朗日乘子 \(\lambda \in \mathbb{R}^m\)，定义增广拉格朗日函数：

\[\mathcal{L}(x, \lambda; \rho) = \mathbb{E}_{\xi}[f(x, \xi)] + \lambda^\top c(x) + \frac{\rho}{2} \|c(x)\|^2 \]

其中 \(\rho > 0\) 是惩罚参数。增广项 \(\frac{\rho}{2} \|c(x)\|^2\) 可帮助约束违反较小时使子问题更稳定。

在随机设定下：我们无法计算期望，改为每次迭代 \(k\) 采样一个随机样本 \(\xi_k\)，得到随机增广拉格朗日：

\[L_k(x, \lambda) = f(x, \xi_k) + \lambda^\top c(x) + \frac{\rho}{2} \|c(x)\|^2 \]

第二步：迭代更新公式

采用交替更新：

  1. 更新 \(x\)：用 \(L_k\) 的次梯度下降，步长 \(\alpha_k\)：

\[ x_{k+1} = x_k - \alpha_k \cdot g_k \]

其中 \(g_k \in \partial_x L_k(x_k, \lambda_k) = \partial_x f(x_k, \xi_k) + J_c(x_k)^\top (\lambda_k + \rho c(x_k))\)，\(J_c\) 是 \(c(x)\) 的雅可比矩阵。
注意：对非光滑 \(f\)，\(\partial_x f\) 是次梯度集合，我们从中随机取一个。

  1. 更新 \(\lambda\)：用梯度上升（因为对 \(\lambda\) 是光滑的）：

\[ \lambda_{k+1} = \lambda_k + \beta_k \cdot \nabla_{\lambda} L_k(x_k, \lambda_k) = \lambda_k + \beta_k \cdot c(x_k) \]

其中 \(\beta_k > 0\) 是乘子更新步长，通常取 \(\beta_k = \rho\) 或更小。

第三步：自适应步长设计

关键点：目标非光滑，且随机次梯度方差可能大，需自适应调整步长 \(\alpha_k\)。

采用AdaGrad风格的步长：

\[\alpha_k = \frac{\eta}{\sqrt{\sum_{i=0}^{k} \|g_i\|^2 + \epsilon}} \]

其中：

  • \(\eta > 0\) 是初始步长参数（可设为 0.1 或 0.01）。
  • \(\epsilon > 0\) 很小（如 \(10^{-8}\)），防止除零。
  • 分母累积历史次梯度范数，使得步长逐渐减小，且对每个方向自适应调整（此处是标量版本，也可推广为对角矩阵版本）。

为什么有效：

  • 当历史梯度大时，步长自动变小，避免振荡。
  • 适用于非光滑问题，因为次梯度范数可能不稳定，自适应能平衡探索与利用。
  • 随机次梯度的方差大时，累积范数增长快，步长下降快，有助于收敛。

第四步：完整算法步骤

  1. 初始化 \(x_0, \lambda_0, \rho > 0, \eta > 0, \epsilon > 0, G_0 = 0\)。
  2. 对 \(k = 0, 1, 2, \dots\) 执行：
    a. 采样随机变量 \(\xi_k\)。
    b. 计算约束值 \(c(x_k)\) 和雅可比 \(J_c(x_k)\)。
    c. 从次微分集合中随机取 \(s_k \in \partial_x f(x_k, \xi_k)\)。
    d. 计算 \(g_k = s_k + J_c(x_k)^\top (\lambda_k + \rho c(x_k))\)。
    e. 更新累积梯度范数平方：\(G_{k+1} = G_k + \|g_k\|^2\)。
    f. 计算步长：\(\alpha_k = \eta / \sqrt{G_{k+1} + \epsilon}\)。
    g. 更新 \(x_{k+1} = x_k - \alpha_k g_k\)。
    h. 更新 \(\lambda_{k+1} = \lambda_k + \rho c(x_k)\)（这里取 \(\beta_k = \rho\)）。
  3. 直到满足停止准则（如 \(\|c(x_k)\| < \text{tol}\) 且 \(\|g_k\|\) 很小）。

3. 收敛性说明

  1. 步长条件：自适应步长满足 \(\alpha_k \to 0\) 且 \(\sum_{k=0}^{\infty} \alpha_k = \infty\)（因为 \(\alpha_k \sim O(1/\sqrt{k})\)），这是随机近似收敛的典型条件。
  2. 约束收敛：由于 \(\lambda\) 更新类似梯度上升，在 \(\rho\) 足够大时，\(c(x_k)\) 会逐渐趋于零（增广拉格朗日法的性质）。
  3. 目标收敛：在非光滑情况下，次梯度方法的收敛性要求步长递减。这里自适应步长自动递减，能保证在期望意义下收敛到稳定点（临界点）。
  4. 方差控制：自适应分母减少了随机次梯度噪声的影响，类似于 AdaGrad 在随机优化中的效果。

4. 注意事项与扩展

  • 若 \(f\) 是复合形式（光滑+非光滑），可用近端算子代替梯度步骤，成为自适应步长随机近端梯度法。
  • 可扩展为小批量版本，用多个样本的平均次梯度降低方差。
  • 惩罚参数 \(\rho\) 也可自适应增加，以加强约束满足。

总结：本算法结合了随机次梯度、增广拉格朗日法和 AdaGrad 步长，能处理非光滑随机目标与等式约束。自适应步长免去了手动调参，且适合非光滑问题的收敛要求。

非线性规划中的自适应步长随机梯度下降法进阶题 题目描述 考虑一个带有等式约束的非光滑随机优化问题： \[ \min_ {x \in \mathbb{R}^n} \mathbb{E}_ {\xi}[ f(x, \xi) ] \quad \text{s.t.} \quad c(x) = 0 \] 其中目标函数 \( f(x, \xi) \) 关于 \( x \) 可能是非光滑的（例如带有 \( \ell_ 1 \) 正则化项），随机变量 \( \xi \) 服从某个分布，约束 \( c(x) = 0 \) 是光滑的等式约束（\( c: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m \)）。假设我们只能通过采样得到随机次梯度 \( g(x, \xi) \in \partial_ x f(x, \xi) \)（即 \( f \) 关于 \( x \) 的次梯度）。请设计一种 自适应步长随机梯度下降法 ，使其能够处理非光滑目标与等式约束，并说明算法如何自适应调整步长、确保收敛性。 解题过程循序渐进讲解 1. 问题分析 这是一个 随机约束优化 问题，难点在于： 目标函数是非光滑的随机函数，无法直接使用梯度。 有等式约束，需要将约束纳入迭代过程。 随机性要求算法在每次迭代中只使用一个样本（或小批量）的次梯度，计算高效。 传统随机梯度下降（SGD）需要修改以适应约束和非光滑性，同时步长需要自适应调整（例如根据历史梯度信息），避免手动调参并提升收敛速度。 2. 算法框架设计 我们结合 随机次梯度法 、 拉格朗日函数 和 自适应步长策略 。 第一步：转化为无约束问题（增广拉格朗日法） 引入拉格朗日乘子 \( \lambda \in \mathbb{R}^m \)，定义增广拉格朗日函数： \[ \mathcal{L}(x, \lambda; \rho) = \mathbb{E}_ {\xi}[ f(x, \xi) ] + \lambda^\top c(x) + \frac{\rho}{2} \|c(x)\|^2 \] 其中 \( \rho > 0 \) 是惩罚参数。增广项 \( \frac{\rho}{2} \|c(x)\|^2 \) 可帮助约束违反较小时使子问题更稳定。 在随机设定下 ：我们无法计算期望，改为每次迭代 \( k \) 采样一个随机样本 \( \xi_ k \)，得到随机增广拉格朗日： \[ L_ k(x, \lambda) = f(x, \xi_ k) + \lambda^\top c(x) + \frac{\rho}{2} \|c(x)\|^2 \] 第二步：迭代更新公式 采用交替更新： 更新 \( x \) ：用 \( L_ k \) 的次梯度下降，步长 \( \alpha_ k \)： \[ x_ {k+1} = x_ k - \alpha_ k \cdot g_ k \] 其中 \( g_ k \in \partial_ x L_ k(x_ k, \lambda_ k) = \partial_ x f(x_ k, \xi_ k) + J_ c(x_ k)^\top (\lambda_ k + \rho c(x_ k)) \)，\( J_ c \) 是 \( c(x) \) 的雅可比矩阵。 注意：对非光滑 \( f \)，\( \partial_ x f \) 是次梯度集合，我们从中随机取一个。 更新 \( \lambda \) ：用梯度上升（因为对 \( \lambda \) 是光滑的）： \[ \lambda_ {k+1} = \lambda_ k + \beta_ k \cdot \nabla_ {\lambda} L_ k(x_ k, \lambda_ k) = \lambda_ k + \beta_ k \cdot c(x_ k) \] 其中 \( \beta_ k > 0 \) 是乘子更新步长，通常取 \( \beta_ k = \rho \) 或更小。 第三步：自适应步长设计 关键点：目标非光滑，且随机次梯度方差可能大，需自适应调整步长 \( \alpha_ k \)。 采用 AdaGrad风格 的步长： \[ \alpha_ k = \frac{\eta}{\sqrt{\sum_ {i=0}^{k} \|g_ i\|^2 + \epsilon}} \] 其中： \( \eta > 0 \) 是初始步长参数（可设为 0.1 或 0.01）。 \( \epsilon > 0 \) 很小（如 \( 10^{-8} \)），防止除零。 分母累积历史次梯度范数，使得步长逐渐减小，且对每个方向自适应调整（此处是标量版本，也可推广为对角矩阵版本）。 为什么有效 ： 当历史梯度大时，步长自动变小，避免振荡。 适用于非光滑问题，因为次梯度范数可能不稳定，自适应能平衡探索与利用。 随机次梯度的方差大时，累积范数增长快，步长下降快，有助于收敛。 第四步：完整算法步骤 初始化 \( x_ 0, \lambda_ 0, \rho > 0, \eta > 0, \epsilon > 0, G_ 0 = 0 \)。 对 \( k = 0, 1, 2, \dots \) 执行： a. 采样随机变量 \( \xi_ k \)。 b. 计算约束值 \( c(x_ k) \) 和雅可比 \( J_ c(x_ k) \)。 c. 从次微分集合中随机取 \( s_ k \in \partial_ x f(x_ k, \xi_ k) \)。 d. 计算 \( g_ k = s_ k + J_ c(x_ k)^\top (\lambda_ k + \rho c(x_ k)) \)。 e. 更新累积梯度范数平方：\( G_ {k+1} = G_ k + \|g_ k\|^2 \)。 f. 计算步长：\( \alpha_ k = \eta / \sqrt{G_ {k+1} + \epsilon} \)。 g. 更新 \( x_ {k+1} = x_ k - \alpha_ k g_ k \)。 h. 更新 \( \lambda_ {k+1} = \lambda_ k + \rho c(x_ k) \)（这里取 \( \beta_ k = \rho \)）。 直到满足停止准则（如 \( \|c(x_ k)\| < \text{tol} \) 且 \( \|g_ k\| \) 很小）。 3. 收敛性说明 步长条件 ：自适应步长满足 \( \alpha_ k \to 0 \) 且 \( \sum_ {k=0}^{\infty} \alpha_ k = \infty \)（因为 \( \alpha_ k \sim O(1/\sqrt{k}) \)），这是随机近似收敛的典型条件。 约束收敛 ：由于 \( \lambda \) 更新类似梯度上升，在 \( \rho \) 足够大时，\( c(x_ k) \) 会逐渐趋于零（增广拉格朗日法的性质）。 目标收敛 ：在非光滑情况下，次梯度方法的收敛性要求步长递减。这里自适应步长自动递减，能保证在期望意义下收敛到稳定点（临界点）。 方差控制 ：自适应分母减少了随机次梯度噪声的影响，类似于 AdaGrad 在随机优化中的效果。 4. 注意事项与扩展 若 \( f \) 是复合形式（光滑+非光滑），可用近端算子代替梯度步骤，成为 自适应步长随机近端梯度法 。 可扩展为小批量版本，用多个样本的平均次梯度降低方差。 惩罚参数 \( \rho \) 也可自适应增加，以加强约束满足。 总结 ：本算法结合了随机次梯度、增广拉格朗日法和 AdaGrad 步长，能处理非光滑随机目标与等式约束。自适应步长免去了手动调参，且适合非光滑问题的收敛要求。