列生成算法在电信网络中的QoS路由优化问题中的应用示例
字数 4269 2025-12-06 04:38:16

列生成算法在电信网络中的QoS路由优化问题中的应用示例

1. 问题背景与描述

在现代电信网络中，数据流（如视频、语音通话）需要在多个节点（路由器/交换机）组成的网络中，从源节点传输到目标节点。
不同数据流对服务质量（Quality of Service, QoS）有严格要求，例如：

  • 带宽限制：每条链路有最大传输容量。
  • 时延限制：端到端总时延不能超过阈值。
  • 丢包率限制：路径丢包率需低于一定比例。

问题抽象：
网络用有向图 \(G = (V, E)\) 表示，其中 \(V\) 是节点集，\(E\) 是链路集。

  • 每条边 \(e \in E\) 有属性：带宽容量 \(c_e\)、时延 \(d_e\)、丢包率 \(l_e\)。
  • 现有 \(K\) 个数据流请求，第 \(k\) 个请求需从源节点 \(s_k\) 到目标节点 \(t_k\)，要求带宽 \(b_k\)、最大时延 \(D_k\)、最大丢包率 \(L_k\)。
  • 目标：为所有请求选择路径，满足各链路容量和 QoS 约束，并最小化总网络负载（或最大化网络利用率）。

2. 数学模型构建

2.1 集合与参数

  • 边集合 \(E\)，节点集合 \(V\)。
  • 请求集合 \(K = \{1,2,\dots,|K|\}\)。
  • 对请求 \(k\)，其候选路径集合 \(P_k\) 包含所有从 \(s_k\) 到 \(t_k\) 的可行路径（满足 QoS 约束的简单路径）。
  • 对路径 \(p \in P_k\)：
    • 若边 \(e\) 在路径 \(p\) 上，则指示系数 \(a_{e,p} = 1\)，否则为 0。
    • 路径时延 \(d(p) = \sum_{e \in p} d_e\)。
    • 路径丢包率 \(l(p) = 1 - \prod_{e \in p} (1 - l_e)\)（近似为 \(\sum_{e \in p} l_e\) 若 \(l_e\) 很小）。
  • 带宽需求 \(b_k\)。

2.2 决策变量

  • \(x_{p}\)：二进制变量，若请求 \(k\) 使用路径 \(p \in P_k\) 则为 1，否则为 0。

2.3 整数规划模型

\[\min \sum_{e \in E} y_e \]

\[ \text{s.t.} \quad \sum_{p \in P_k} x_{p} = 1, \quad \forall k \in K \]

\[ \sum_{k \in K} \sum_{p \in P_k} a_{e,p} b_k x_{p} \le c_e, \quad \forall e \in E \]

\[ x_{p} \in \{0,1\}, \quad \forall p \in P_k, \forall k \in K \]

\[ y_e \ge 0 \text{ 表示边 } e \text{ 上的总负载（可省略，此处仅为目标函数）} \]

实际上，目标可设为最小化最大链路利用率，但为简化，我们先最小化总负载。

3. 直接求解的困难

  • 候选路径集合 \(P_k\) 可能指数级庞大（因为网络路径数量随节点数指数增长）。
  • 无法显式列出所有变量 \(x_p\) 来求解整数规划。

列生成思想：
只考虑一部分路径（初始列），求解受限主问题（RMP），然后通过定价子问题（即寻找负检验数的列）动态生成新路径加入 RMP，迭代直至最优。

4. 列生成算法步骤

4.1 构造初始受限主问题（RMP）

初始时，为每个请求 \(k\) 选择一条最短路径（如时延最小）作为初始列，构成初始 \(P_k' \subset P_k\)。
RMP 是上述模型的线性松弛（将 \(x_p \in \{0,1\}\) 松弛为 \(x_p \ge 0\)），只包含 \(P_k'\) 中的列。

4.2 求解 RMP 并获得对偶变量

设 RMP 的约束与对偶变量对应：

  • 每个请求 \(k\) 的流守恒约束 \(\sum_{p \in P_k'} x_p = 1\) 对应对偶变量 \(\mu_k\)（无约束）。
  • 每条边 \(e\) 的容量约束 \(\sum_{k, p} a_{e,p} b_k x_p \le c_e\) 对应对偶变量 \(\pi_e \ge 0\)。

求解 RMP（线性规划），得到最优对偶值 \((\mu_k^*, \pi_e^*)\)。

4.3 定价子问题（寻找检验数为负的列）

在单纯形法中，一列（变量 \(x_p\)）的检验数（reduced cost）为：

\[\bar{c}_p = 0 - \mu_k - \sum_{e \in E} a_{e,p} b_k (-\pi_e) \]

因为目标函数系数为 0（我们只关心可行性，目标是最小化负载，但这里可以设为 0，检查是否有更优路径）。更准确地说，我们想找检验数为负的列，即：

\[\bar{c}_p = -\mu_k + \sum_{e \in p} b_k \pi_e < 0 \]

等价于对每个请求 \(k\)：

\[\min_{p \in P_k} \left\{ \sum_{e \in p} b_k \pi_e \right\} < \mu_k \]

如果上式成立，则对应路径 \(p\) 的检验数为负，应加入 RMP。

子问题：对每个请求 \(k\)，在图上求从 \(s_k\) 到 \(t_k\) 的路径，使得路径权重 \(\sum_{e \in p} (b_k \pi_e)\) 最小。
这是一个最短路径问题，边权重为 \(w_e = b_k \pi_e\)，可用 Dijkstra 算法求解。

4.4 检查最优性与迭代

  • 对每个 \(k\)，求最短路径 \(p_k^*\) 及其权重 \(W_k^* = \sum_{e \in p_k^*} b_k \pi_e\)。
  • 若对所有 \(k\)，有 \(W_k^* \ge \mu_k\)，则无负检验数列，当前 RMP 解即原线性松弛最优解。
  • 否则，将满足 \(W_k^* < \mu_k\) 的路径 \(p_k^*\) 加入对应 \(P_k'\)，返回步骤 4.2。

4.5 获得整数解

列生成结束时，得到线性松弛的最优解。
但变量是分数（一个请求的流量可能拆分到多条路径），而实际中常要求单路径路由。
此时可：

  • 将 RMP 限制为当前生成的列，用整数规划求解器（如分支定界）求解整数解。
  • 或采用舍入启发式：选择每个请求 \(k\) 的 \(x_p\) 中最大的一个置为 1，其余为 0，再检查容量可行性。

5. 实例演示（小型网络）

考虑一个 4 节点网络：

  • 边：\((1,2), (1,3), (2,3), (2,4), (3,4)\)。
  • 容量 \(c_e = 10\)，时延 \(d_e = 1\)，丢包率 \(l_e = 0.001\)。
  • 2 个请求：
    \(k=1: s_1=1, t_1=4, b_1=4, D_1=3, L_1=0.01\)
    \(k=2: s_2=1, t_2=4, b_2=5, D_2=3, L_1=0.01\)

步骤 1：初始路径。

  • 请求 1：路径 \(p_1: 1-2-4\)（时延 2，可行）。
  • 请求 2：路径 \(p_2: 1-3-4\)（时延 2，可行）。
    RMP 初始列只有这两条。

步骤 2：求解 RMP 线性松弛。
约束：

  1. \(x_{p_1} = 1\)（请求 1 流守恒）。
  2. \(x_{p_2} = 1\)（请求 2 流守恒）。
  3. 边容量：
    • 边 (1,2)：\(4x_{p_1} \le 10\)（松）
    • 边 (1,3)：\(5x_{p_2} \le 10\)（松）
    • 边 (2,4)：\(4x_{p_1} \le 10\)（松）
    • 边 (3,4)：\(5x_{p_2} \le 10\)（松）
    • 边 (2,3)：0。
      显然可行，最优解 \(x_{p_1}=1, x_{p_2}=1\)，目标值 0。
      对偶变量：设容量约束的 \(\pi_e = 0\)（因为约束不紧），流守恒约束的 \(\mu_1, \mu_2\) 任意？实际上，此时 RMP 是退化的，可固定 \(\mu_1 = \mu_2 = 0\) 作为一组最优对偶解。

步骤 3：定价子问题。
对请求 1：边权重 \(w_e = 4\pi_e = 0\)，所有路径权重 0，\(W_1^* = 0\)，与 \(\mu_1=0\) 相等，无负检验数。
对请求 2 类似。
因此算法终止，当前解即为线性松弛最优解。

步骤 4：整数解。
当前解已整数，且满足容量约束（链路负载分别为 4 和 5），因此得到最终解。

6. 算法扩展与注意事项

  1. QoS 约束处理：
    在定价子问题中，不仅要找权重最小的路径，还要满足时延、丢包约束。这变为受约束最短路径问题（CSP），可用动态规划（如 Lagrange 松弛或标签设置法）求解。

  2. 多商品流整合：
    如果允许流量拆分，列生成后直接得到线性规划最优解。若要求单一路径，需在列生成后解整数规划。

  3. 加速技巧：

    • 一次迭代中可为多个请求添加多条负检验数路径。
    • 可结合启发式初始列生成，避免早期退化。

  4. 实际应用：
    在软件定义网络（SDN）中，集中控制器可用列生成在线计算路由，适应动态请求。

7. 总结

列生成在该问题中：

  • 主问题：分配流量到路径，满足容量约束。
  • 子问题：对每个请求，在 QoS 约束下找权重最小路径（权重 = 需求 × 链路对偶价格）。
  • 将大规模路径选择问题分解为“主问题分配” + “子问题寻路”，有效处理指数级变量。
列生成算法在电信网络中的QoS路由优化问题中的应用示例 1. 问题背景与描述 在现代电信网络中，数据流（如视频、语音通话）需要在多个节点（路由器/交换机）组成的网络中，从源节点传输到目标节点。 不同数据流对服务质量（Quality of Service, QoS）有严格要求，例如： 带宽限制 ：每条链路有最大传输容量。 时延限制 ：端到端总时延不能超过阈值。 丢包率限制 ：路径丢包率需低于一定比例。 问题抽象 ： 网络用有向图 \( G = (V, E) \) 表示，其中 \( V \) 是节点集，\( E \) 是链路集。 每条边 \( e \in E \) 有属性：带宽容量 \( c_ e \)、时延 \( d_ e \)、丢包率 \( l_ e \)。 现有 \( K \) 个数据流请求，第 \( k \) 个请求需从源节点 \( s_ k \) 到目标节点 \( t_ k \)，要求带宽 \( b_ k \)、最大时延 \( D_ k \)、最大丢包率 \( L_ k \)。 目标：为所有请求选择路径，满足各链路容量和 QoS 约束，并最小化 总网络负载 （或最大化网络利用率）。 2. 数学模型构建 2.1 集合与参数 边集合 \( E \)，节点集合 \( V \)。 请求集合 \( K = \{1,2,\dots,|K|\} \)。 对请求 \( k \)，其候选路径集合 \( P_ k \) 包含所有从 \( s_ k \) 到 \( t_ k \) 的可行路径（满足 QoS 约束的简单路径）。 对路径 \( p \in P_ k \)： 若边 \( e \) 在路径 \( p \) 上，则指示系数 \( a_ {e,p} = 1 \)，否则为 0。 路径时延 \( d(p) = \sum_ {e \in p} d_ e \)。 路径丢包率 \( l(p) = 1 - \prod_ {e \in p} (1 - l_ e) \)（近似为 \( \sum_ {e \in p} l_ e \) 若 \( l_ e \) 很小）。 带宽需求 \( b_ k \)。 2.2 决策变量 \( x_ {p} \)：二进制变量，若请求 \( k \) 使用路径 \( p \in P_ k \) 则为 1，否则为 0。 2.3 整数规划模型 \[ \min \sum_ {e \in E} y_ e \] \[ \text{s.t.} \quad \sum_ {p \in P_ k} x_ {p} = 1, \quad \forall k \in K \] \[ \sum_ {k \in K} \sum_ {p \in P_ k} a_ {e,p} b_ k x_ {p} \le c_ e, \quad \forall e \in E \] \[ x_ {p} \in \{0,1\}, \quad \forall p \in P_ k, \forall k \in K \] \[ y_ e \ge 0 \text{ 表示边 } e \text{ 上的总负载（可省略，此处仅为目标函数）} \] 实际上，目标可设为最小化最大链路利用率，但为简化，我们先最小化总负载。 3. 直接求解的困难 候选路径集合 \( P_ k \) 可能 指数级庞大 （因为网络路径数量随节点数指数增长）。 无法显式列出所有变量 \( x_ p \) 来求解整数规划。 列生成思想 ： 只考虑一部分路径（初始列），求解受限主问题（RMP），然后通过 定价子问题 （即寻找负检验数的列）动态生成新路径加入 RMP，迭代直至最优。 4. 列生成算法步骤 4.1 构造初始受限主问题（RMP） 初始时，为每个请求 \( k \) 选择一条最短路径（如时延最小）作为初始列，构成初始 \( P_ k' \subset P_ k \)。 RMP 是上述模型的线性松弛（将 \( x_ p \in \{0,1\} \) 松弛为 \( x_ p \ge 0 \)），只包含 \( P_ k' \) 中的列。 4.2 求解 RMP 并获得对偶变量 设 RMP 的约束与对偶变量对应： 每个请求 \( k \) 的流守恒约束 \( \sum_ {p \in P_ k'} x_ p = 1 \) 对应对偶变量 \( \mu_ k \)（无约束）。 每条边 \( e \) 的容量约束 \( \sum_ {k, p} a_ {e,p} b_ k x_ p \le c_ e \) 对应对偶变量 \( \pi_ e \ge 0 \)。 求解 RMP（线性规划），得到最优对偶值 \( (\mu_ k^ , \pi_ e^ ) \)。 4.3 定价子问题（寻找检验数为负的列） 在单纯形法中，一列（变量 \( x_ p \)）的检验数（reduced cost）为： \[ \bar{c} p = 0 - \mu_ k - \sum {e \in E} a_ {e,p} b_ k (-\pi_ e) \] 因为目标函数系数为 0（我们只关心可行性，目标是最小化负载，但这里可以设为 0，检查是否有更优路径）。更准确地说，我们想找检验数为负的列，即： \[ \bar{c} p = -\mu_ k + \sum {e \in p} b_ k \pi_ e < 0 \] 等价于对每个请求 \( k \)： \[ \min_ {p \in P_ k} \left\{ \sum_ {e \in p} b_ k \pi_ e \right\} < \mu_ k \] 如果上式成立，则对应路径 \( p \) 的检验数为负，应加入 RMP。 子问题 ：对每个请求 \( k \)，在图上求从 \( s_ k \) 到 \( t_ k \) 的路径，使得 路径权重 \( \sum_ {e \in p} (b_ k \pi_ e) \) 最小。 这是一个 最短路径问题 ，边权重为 \( w_ e = b_ k \pi_ e \)，可用 Dijkstra 算法求解。 4.4 检查最优性与迭代 对每个 \( k \)，求最短路径 \( p_ k^* \) 及其权重 \( W_ k^* = \sum_ {e \in p_ k^* } b_ k \pi_ e \)。 若对所有 \( k \)，有 \( W_ k^* \ge \mu_ k \)，则无负检验数列，当前 RMP 解即原线性松弛最优解。 否则，将满足 \( W_ k^* < \mu_ k \) 的路径 \( p_ k^* \) 加入对应 \( P_ k' \)，返回步骤 4.2。 4.5 获得整数解 列生成结束时，得到线性松弛的最优解。 但变量是分数（一个请求的流量可能拆分到多条路径），而实际中常要求单路径路由。 此时可： 将 RMP 限制为当前生成的列，用整数规划求解器（如分支定界）求解整数解。 或采用舍入启发式：选择每个请求 \( k \) 的 \( x_ p \) 中最大的一个置为 1，其余为 0，再检查容量可行性。 5. 实例演示（小型网络） 考虑一个 4 节点网络： 边：\( (1,2), (1,3), (2,3), (2,4), (3,4) \)。 容量 \( c_ e = 10 \)，时延 \( d_ e = 1 \)，丢包率 \( l_ e = 0.001 \)。 2 个请求： \( k=1: s_ 1=1, t_ 1=4, b_ 1=4, D_ 1=3, L_ 1=0.01 \) \( k=2: s_ 2=1, t_ 2=4, b_ 2=5, D_ 2=3, L_ 1=0.01 \) 步骤 1 ：初始路径。 请求 1：路径 \( p_ 1: 1-2-4 \)（时延 2，可行）。 请求 2：路径 \( p_ 2: 1-3-4 \)（时延 2，可行）。 RMP 初始列只有这两条。 步骤 2 ：求解 RMP 线性松弛。 约束： \( x_ {p_ 1} = 1 \)（请求 1 流守恒）。 \( x_ {p_ 2} = 1 \)（请求 2 流守恒）。 边容量： 边 (1,2)：\( 4x_ {p_ 1} \le 10 \)（松） 边 (1,3)：\( 5x_ {p_ 2} \le 10 \)（松） 边 (2,4)：\( 4x_ {p_ 1} \le 10 \)（松） 边 (3,4)：\( 5x_ {p_ 2} \le 10 \)（松） 边 (2,3)：0。 显然可行，最优解 \( x_ {p_ 1}=1, x_ {p_ 2}=1 \)，目标值 0。 对偶变量：设容量约束的 \( \pi_ e = 0 \)（因为约束不紧），流守恒约束的 \( \mu_ 1, \mu_ 2 \) 任意？实际上，此时 RMP 是退化的，可固定 \( \mu_ 1 = \mu_ 2 = 0 \) 作为一组最优对偶解。 步骤 3 ：定价子问题。 对请求 1：边权重 \( w_ e = 4\pi_ e = 0 \)，所有路径权重 0，\( W_ 1^* = 0 \)，与 \( \mu_ 1=0 \) 相等，无负检验数。 对请求 2 类似。 因此算法终止，当前解即为线性松弛最优解。 步骤 4 ：整数解。 当前解已整数，且满足容量约束（链路负载分别为 4 和 5），因此得到最终解。 6. 算法扩展与注意事项 QoS 约束处理 ： 在定价子问题中，不仅要找权重最小的路径，还要满足时延、丢包约束。这变为 受约束最短路径问题 （CSP），可用动态规划（如 Lagrange 松弛或标签设置法）求解。 多商品流整合 ： 如果允许流量拆分，列生成后直接得到线性规划最优解。若要求单一路径，需在列生成后解整数规划。 加速技巧 ： 一次迭代中可为多个请求添加多条负检验数路径。 可结合启发式初始列生成，避免早期退化。 实际应用 ： 在软件定义网络（SDN）中，集中控制器可用列生成在线计算路由，适应动态请求。 7. 总结 列生成在该问题中： 主问题 ：分配流量到路径，满足容量约束。 子问题 ：对每个请求，在 QoS 约束下找权重最小路径（权重 = 需求 × 链路对偶价格）。 将大规模路径选择问题分解为“主问题分配” + “子问题寻路”，有效处理指数级变量。