随机坐标搜索算法基础题 题目描述 ： 考虑以下非线性约束优化问题： 最小化目标函数 \( f(x) = (x_ 1 - 1)^4 + (x_ 2 - 2)^2 \) 满足约束条件： \( g_ 1(x) = x_ 1^2 + x_ 2^2 - 5 \leq 0 \) \( g_ 2(x) = x_ 1 + x_ 2 - 3 \leq 0 \) 其中初始点 \( x^{(0)} = (0, 0) \)，可行域为 \( \mathcal{F} = \{ x \in \mathbb{R}^2 : g_ 1(x) \leq 0, g_ 2(x) \leq 0 \} \)。 请使用 随机坐标搜索算法 求解该问题，具体任务是：详细展示算法的一次完整迭代过程，包括初始点可行性验证、搜索方向的随机生成、步长的确定、新点的可行性检查，以及是否接受新点的判断逻辑。最终给出第一次迭代后得到的点 \( x^{(1)} \) 及其目标函数值。 解题过程 ： 1. 算法基本原理 随机坐标搜索是一种直接搜索法，适用于目标函数或约束不可导的情况。其基本思想是：在当前点 \( x^{(k)} \)，随机生成多个搜索方向（通常是坐标轴方向或随机向量），沿这些方向进行试探移动，如果找到能使目标函数下降且满足约束的新点，则移动到该点，否则保持原位置或调整步长。 2. 初始点可行性验证 给定 \( x^{(0)} = (0, 0) \)。 计算约束函数值： \( g_ 1(0,0) = 0^2 + 0^2 - 5 = -5 \leq 0 \)，满足。 \( g_ 2(0,0) = 0 + 0 - 3 = -3 \leq 0 \)，满足。 因此 \( x^{(0)} \) 是可行点。 初始目标函数值：\( f(x^{(0)}) = (0-1)^4 + (0-2)^2 = 1 + 4 = 5 \)。 3. 设置算法参数 搜索方向数量：\( N = 2 \)（通常至少等于变量维数）。 初始步长：\( \alpha = 1 \)（根据问题规模设定）。 方向生成方式：从单位坐标轴方向集合 \( \{ e_ 1, e_ 2, -e_ 1, -e_ 2 \} \) 中随机选取，其中 \( e_ 1 = (1,0) \), \( e_ 2 = (0,1) \)。 4. 第一次迭代过程 步骤1：生成第一个随机方向 。 从集合中随机选取一个方向，假设为 \( d_ 1 = (1, 0) \)（即 \( e_ 1 \)）。 步骤2：沿 \( d_ 1 \) 试探移动 。 试探点：\( x_ {\text{temp}} = x^{(0)} + \alpha d_ 1 = (0,0) + 1 \cdot (1,0) = (1,0) \)。 步骤3：检查 \( x_ {\text{temp}} \) 的可行性 。 \( g_ 1(1,0) = 1^2 + 0^2 - 5 = -4 \leq 0 \)，满足。 \( g_ 2(1,0) = 1 + 0 - 3 = -2 \leq 0 \)，满足。 因此 \( x_ {\text{temp}} \) 可行。 步骤4：计算目标函数值并比较 。 \( f(x_ {\text{temp}}) = (1-1)^4 + (0-2)^2 = 0 + 4 = 4 \)。 与当前值 \( f(x^{(0)}) = 5 \) 比较，下降量 \( \Delta f = 4 - 5 = -1 < 0 \)，目标函数下降。 步骤5：接受该试探点 。 由于找到可行且下降的点，算法通常接受第一个成功的试探点（也可继续测试其他方向，但为简化演示，这里采用“首次改进”策略）。 因此，令 \( x^{(1)} = (1,0) \)，当前目标函数值更新为 4。 5. 第一次迭代结果 新点：\( x^{(1)} = (1, 0) \)。 目标函数值：\( f(x^{(1)}) = 4 \)。 约束检查：\( g_ 1(1,0) = -4 \leq 0 \)，\( g_ 2(1,0) = -2 \leq 0 \)，均满足。 6. 算法后续迭代说明 上述过程完成了第一次迭代。实际算法中，若未找到可行下降点，可尝试其他随机方向，或缩减步长 \( \alpha \) 后重新搜索。 迭代终止条件通常设为：步长 \( \alpha \) 小于给定精度 \( \epsilon \)，或达到最大迭代次数。 总结 ： 通过随机坐标搜索的一次迭代，我们从初始点 \( (0,0) \) 移动到了新点 \( (1,0) \)，目标函数值从 5 下降到了 4。这展示了该算法通过随机方向试探，在可行域内寻找改进点的基本流程。