带限制的矩阵链乘最小乘法次数问题（矩阵维度带约束版本）

字数 5668 2025-12-06 01:32:28

带限制的矩阵链乘最小乘法次数问题（矩阵维度带约束版本）

题目描述
给定一系列矩阵 \(A_1, A_2, \dots, A_n\)，其中矩阵 \(A_i\) 的维度为 \(p_{i-1} \times p_i\)。矩阵相乘的次数取决于乘法的顺序。标准矩阵链乘问题的目标是找到一种完全括号化方案，使得计算矩阵乘积 \(A_1 A_2 \dots A_n\) 所需标量乘法次数最少。
在本问题中，额外增加一个约束：某些相邻矩阵对不能直接相乘（即不能以相邻顺序进行乘法），这个约束由布尔矩阵 \(C\) 表示，其中 \(C[i][j] = 0\) 表示矩阵 \(A_i, A_{i+1}, \dots, A_j\) 不能作为一个连续子链相乘（即不能将这段矩阵视为一个连续的块进行括号化）。
求满足约束的最少乘法次数。如果不存在可行的括号化方式，返回 -1。

解题过程

这是一个区间动态规划问题。基本框架是标准的矩阵链乘 DP，但需要额外处理约束条件。

1. 状态定义
设 \(dp[i][j]\) 表示计算矩阵子链 \(A_i A_{i+1} \dots A_j\) 所需的最小标量乘法次数。若子链不可行（受约束或无解），则 \(dp[i][j] = \infty\)。
最终答案：\(dp[1][n]\)（若为无穷大则返回 -1）。

2. 约束条件
约束 \(C[i][j] = 0\) 表示：不能将 \(A_i \dots A_j\) 视为一个连续的块（即不能在这个区间内不插入括号，作为一个整体相乘）。注意：即使 \(C[i][j] = 0\)，仍然可以通过在区间内划分，使得左右两部分各自计算后再乘起来，只要划分点 \(k\) 满足两段分别可行。

3. 状态转移
考虑区间 \([i, j]\)：

如果 \(i = j\)，只有一个矩阵，无需乘法，\(dp[i][j] = 0\)。
如果 \(i < j\)，我们需要找一个划分点 \(k\)（\(i \le k < j\)），将链分成 \(A_i \dots A_k\) 和 \(A_{k+1} \dots A_j\) 两部分。
乘法次数 = 左部分乘法次数 + 右部分乘法次数 + 合并两部分的乘法次数。
合并乘法次数 = \(p_{i-1} \times p_k \times p_j\)。
但这里有一个限制：如果划分点 \(k = i\) 且右部分长度为 1？不，我们需要考虑约束条件。
实际上，约束是：当我们在某个划分点 \(k\) 将区间分成两段时，整个区间作为一个整体是否被允许？如果 \(C[i][j] = 0\)，这意味着我们不能将整个区间视为一个“不括号化”的块，但在区间 DP 中，我们总是会划分，所以约束影响的是：当 \(C[i][j] = 1\) 时，我们可以将区间视为整体，不进行任何划分（即区间内不插入括号）吗？ 不，在标准矩阵链乘中，我们总可以划分或不划分，但这里约束是对整个区间作为一个整体相乘的限制。
更准确的理解是：如果我们想将 \(A_i \dots A_j\) 作为一个整体（不进一步括号化）来计算，那么必须 \(C[i][j] = 1\)，否则不能这样。但 DP 中我们总是划分成两段，所以这个约束实际上影响的是是否允许在区间内部不划分。然而，区间 DP 中即使允许整体不划分，也需要比较划分与不划分的代价。但矩阵链乘中，不划分意味着区间内只有一个矩阵（即 i=j），否则不划分是不允许的，因为乘法是二元运算，必须两两结合。

所以正确的理解是：约束 \(C[i][j] = 0\) 表示“不能将 \(A_i \dots A_j\) 作为一个连续块相乘”意味着：我们不能在计算过程中将 \(A_i \dots A_j\) 看作一个整体与其它矩阵相乘。换句话说，在递归计算时，如果 \(C[i][j] = 0\)，则区间 \([i, j]\) 必须被进一步划分，不能直接作为一个整体返回。但 DP 中我们本来就会划分，所以只需要在合并时注意，当我们要将左右两个子区间合并时，左子区间必须与右子区间相邻，且它们各自是可行的。但约束 \(C[i][j]\) 针对整个区间，所以其实它影响的是：当我们将区间分为两段时，左段和右段各自独立计算，合并时就是两矩阵相乘，不需要整体区间满足 \(C[i][j] = 1\)。

那么约束怎么用？仔细看：如果 \(C[i][j] = 0\)，意味着我们不能将 \(A_i \dots A_j\) 作为一个整体与外部矩阵相乘。但是在计算 \(dp[i][j]\) 时，我们不需要 \(C[i][j] = 1\)，因为 \(dp[i][j]\) 只是计算这个子链的最小代价，不涉及外部。所以约束在递归计算中并无影响？不对，原题意思是：某些相邻矩阵对不能直接相乘，扩展为“某些连续子链不能作为一个整体相乘”。那么，在 DP 中，当我们尝试将区间分成两段时，两段各自必须是一个“合法的可相乘的子链”，即 \(C\) 为 1 或者进一步划分。

我们重新定义约束：\(C[i][j] = 1\) 表示子链 \(A_i \dots A_j\) 可以作为一个整体相乘（即可以不加括号直接按顺序乘），否则必须划分。在 DP 中，整体相乘对应不划分，代价是 \(p_{i-1} \times p_{j-1} \times p_j\) 吗？不对，整体相乘不是一次乘法，而是顺序乘，其代价是固定顺序乘的代价。但固定顺序乘的代价不一定最小。实际上，矩阵链乘中，如果不加括号，就是顺序乘，代价是固定的，但我们可以加括号改变顺序。
所以正确的建模是：
对于区间 [i, j]，计算它的最小乘法次数，有两种情况：
1. 不加括号，直接按顺序乘，这要求 \(C[i][j] = 1\)。
2. 在某个 k 处划分，左右分别加括号，这总是允许的，只要左右子链可行。
这样转移方程为：
- 先初始化 \(dp[i][j] = \infty\)。
- 如果 \(C[i][j] = 1\)，则可以直接顺序乘，代价是 \(\sum_{t=i}^{j-1} p_{i-1} \times p_t \times p_j\)？不对，顺序乘的代价是固定的，假设我们按 \(((A_i A_{i+1}) A_{i+2}) \dots\) 顺序，这是最左顺序，乘法次数 = \(p_{i-1} p_i p_j + p_{i-1} p_{i+1} p_j + \dots + p_{i-1} p_{j-1} p_j\)。但这不是最小代价，只是为了满足不括号化的代价。
  实际上，如果 \(C[i][j] = 1\)，意味着我们可以不划分，此时计算这个区间的代价就是按给定顺序乘的代价，但“不划分”不代表顺序固定，只是说可以作为一个块直接乘，但内部的乘法顺序可以任意吗？不，如果不划分，那就是默认顺序乘，代价固定。如果我们想得到最小代价，那还是要括号化，除非约束禁止括号化。但约束只是说“可以作为一个整体相乘”，并不禁止括号化。
  所以这里有点绕。我们简化：约束 \(C[i][j] = 1\) 表示“允许将 i..j 视为一个整体”，在计算时，我们可以选择不划分（即直接按顺序乘），也可以选择划分。如果不划分，代价是固定顺序乘的代价；如果划分，代价是 DP 子问题代价之和。我们取最小。
但这样复杂度高，因为要算固定顺序乘的代价。但原题可能意图是：约束只影响是否允许作为一个整体，不影响内部是否括号化。我们采用更简单的理解：约束只影响整个区间是否允许作为一个块，而不影响内部划分。 在 DP 中，我们总是划分，所以约束在最后合并时检查：当我们计算 \(dp[i][j]\) 时，如果 \(C[i][j] = 0\)，则这个区间不能作为一个整体输出，但 \(dp[i][j]\) 只是中间结果，可以继续用于更大的区间，所以应该允许。
但原题说“某些相邻矩阵对不能直接相乘”，这意味着如果 \(C[i][i+1] = 0\)，则 \(A_i\) 和 \(A_{i+1}\) 不能直接乘，但可以通过括号化让它们不直接乘。比如 A1, A2, A3，如果 C[1][2]=0，我们可以先算 A2*A3，再与 A1 乘。所以 C 只是限制相邻乘，不是限制区间。

因此，我们采用更常见的理解：约束 \(C[i][j] = 0\) 表示子链 i..j 不能直接作为一个块相乘。在 DP 中，当我们考虑区间 [i, j] 时，如果 C[i][j] = 1，则我们可以用整体相乘的代价来更新 dp[i][j]；否则只能用划分。但整体相乘的代价怎么算？就是顺序乘，乘法次数是 \(p_{i-1} p_i p_{i+1} + p_{i-1} p_{i+1} p_{i+2} + \dots\) 吗？这不就是固定顺序的代价。但这样还不如直接划分。所以可能约束的意思是：C[i][j]=1 表示子链 i..j 可以相乘（不违反约束），否则不能相乘，即 dp[i][j] 必须为 INF。

我们采用这个简单理解：C[i][j]=1 表示允许子链 i..j 作为一个可计算的块，否则不允许。在计算 dp[i][j] 时，只有 C[i][j]=1 时，我们才计算它，否则 dp[i][j]=INF。但这样整个链必须 C[1][n]=1 才可能有解。这似乎太强。

仔细看原题描述：某些相邻矩阵对不能直接相乘。这可以扩展为：如果 C[i][j]=0，则不能将 i..j 作为一个整体相乘，但内部划分后可以。在 DP 中，整体相乘对应不划分，但我们可以划分，所以 C[i][j]=0 只是禁止不划分的情况，不禁止划分。

所以转移方程修正：
- 如果区间长度=1，dp[i][i] = 0，不需要 C[i][i]=1，因为单个矩阵总是可乘。
- 如果长度>1，考虑划分点 k，分 [i, k] 和 [k+1, j] 两段，分别计算代价，再加上合并代价。这总是允许的，只要左右两段可行。
- 另外，如果 C[i][j]=1，我们还可以考虑“不划分”，即整体顺序乘的代价，但顺序乘的代价不一定最小，所以我们可以忽略这种情况，因为划分总能达到更小或相等代价（因为矩阵链乘不加括号的代价通常大于最优括号化的代价）。但为了完整性，我们可以算一下整体顺序乘的代价：设整体顺序乘，就是从左到右依次乘，乘法次数 = sum_{t=i}^{j-1} p_{i-1} * p_t * p_j。这可以在 O(n) 时间算出。然后与划分的代价取 min。
所以转移方程为：
dp[i][j] = min(
min_{k=i}^{j-1} (dp[i][k] + dp[k+1][j] + p_{i-1} * p_k * p_j), // 划分
(如果 C[i][j]=1) 则顺序乘代价
)

顺序乘代价 = 0 如果 i=j，否则 = sum_{t=i}^{j-1} p_{i-1} * p_t * p_j。

4. 计算顺序
区间长度 len 从 2 到 n 递增计算。

5. 初始化
dp[i][i] = 0，对任意 i。

6. 最终答案
dp[1][n] 如果为无穷大则返回 -1，否则返回该值。

示例解释

假设 n=3，p = [10, 20, 30, 40]，即 A1:10x20, A2:20x30, A3:30x40。
约束 C[1][2]=0（A1 和 A2 不能直接乘），C[2][3]=1，C[1][3]=1。
计算：

dp[1][1]=0, dp[2][2]=0, dp[3][3]=0。
len=2:
[1,2]: C[1][2]=0，不能整体顺序乘，只能划分。但划分只有 k=1，分 [1,1] 和 [2,2]，代价 = 0+0+102030=6000，所以 dp[1][2]=6000。
[2,3]: C[2][3]=1，划分代价 k=2: 0+0+203040=24000，整体顺序乘代价 = 203040=24000，取 min=24000。dp[2][3]=24000。
len=3: [1,3]
划分点 k=1: dp[1][1]+dp[2][3]+102040=0+24000+8000=32000。
划分点 k=2: dp[1][2]+dp[3][3]+103040=6000+0+12000=18000。
整体顺序乘（C[1][3]=1）：代价=102040+103040=8000+12000=20000。
取最小=18000。
所以最小乘法次数=18000。

复杂度
时间复杂度 O(n^3)，空间复杂度 O(n^2)。

核心点

约束 C 只影响“整体顺序乘”是否允许，不影响划分。
状态转移时，比较划分与整体顺序乘的代价，取最小。
若无可行方案（所有 dp[1][n] 为无穷大）则返回 -1。

带限制的矩阵链乘最小乘法次数问题（矩阵维度带约束版本）题目描述给定一系列矩阵 \( A_ 1, A_ 2, \dots, A_ n \)，其中矩阵 \( A_ i \) 的维度为 \( p_ {i-1} \times p_ i \)。矩阵相乘的次数取决于乘法的顺序。标准矩阵链乘问题的目标是找到一种完全括号化方案，使得计算矩阵乘积 \( A_ 1 A_ 2 \dots A_ n \) 所需标量乘法次数最少。在本问题中，额外增加一个约束：某些相邻矩阵对不能直接相乘（即不能以相邻顺序进行乘法），这个约束由布尔矩阵 \( C \) 表示，其中 \( C[ i][ j] = 0 \) 表示矩阵 \( A_ i, A_ {i+1}, \dots, A_ j \) 不能作为一个连续子链相乘（即不能将这段矩阵视为一个连续的块进行括号化）。求满足约束的最少乘法次数。如果不存在可行的括号化方式，返回 -1。解题过程这是一个区间动态规划问题。基本框架是标准的矩阵链乘 DP，但需要额外处理约束条件。 1. 状态定义设 \( dp[ i][ j] \) 表示计算矩阵子链 \( A_ i A_ {i+1} \dots A_ j \) 所需的最小标量乘法次数。若子链不可行（受约束或无解），则 \( dp[ i][ j ] = \infty \)。最终答案：\( dp[ 1][ n ] \)（若为无穷大则返回 -1）。 2. 约束条件约束 \( C[ i][ j] = 0 \) 表示：不能将 \( A_ i \dots A_ j \) 视为一个连续的块（即不能在这个区间内不插入括号，作为一个整体相乘）。注意：即使 \( C[ i][ j ] = 0 \)，仍然可以通过在区间内划分，使得左右两部分各自计算后再乘起来，只要划分点 \( k \) 满足两段分别可行。 3. 状态转移考虑区间 \( [ i, j ] \)：如果 \( i = j \)，只有一个矩阵，无需乘法，\( dp[ i][ j ] = 0 \)。如果 \( i < j \)，我们需要找一个划分点 \( k \)（\( i \le k < j \)），将链分成 \( A_ i \dots A_ k \) 和 \( A_ {k+1} \dots A_ j \) 两部分。乘法次数 = 左部分乘法次数 + 右部分乘法次数 + 合并两部分的乘法次数。合并乘法次数 = \( p_ {i-1} \times p_ k \times p_ j \)。但这里有一个限制：如果划分点 \( k = i \) 且右部分长度为 1？不，我们需要考虑约束条件。实际上，约束是：当我们在某个划分点 \( k \) 将区间分成两段时，整个区间作为一个整体是否被允许？如果 \( C[ i][ j] = 0 \)，这意味着我们不能将整个区间视为一个“不括号化”的块，但在区间 DP 中，我们总是会划分，所以约束影响的是：当 \( C[ i][ j] = 1 \) 时，我们可以将区间视为整体，不进行任何划分（即区间内不插入括号）吗？不，在标准矩阵链乘中，我们总可以划分或不划分，但这里约束是对整个区间作为一个整体相乘的限制。更准确的理解是：如果我们想将 \( A_ i \dots A_ j \) 作为一个整体（不进一步括号化）来计算，那么必须 \( C[ i][ j] = 1 \)，否则不能这样。但 DP 中我们总是划分成两段，所以这个约束实际上影响的是是否允许在区间内部不划分。然而，区间 DP 中即使允许整体不划分，也需要比较划分与不划分的代价。但矩阵链乘中，不划分意味着区间内只有一个矩阵（即 i=j），否则不划分是不允许的，因为乘法是二元运算，必须两两结合。所以正确的理解是：约束 \( C[ i][ j] = 0 \) 表示“不能将 \( A_ i \dots A_ j \) 作为一个连续块相乘”意味着：我们不能在计算过程中将 \( A_ i \dots A_ j \) 看作一个整体与其它矩阵相乘。换句话说，在递归计算时，如果 \( C[ i][ j] = 0 \)，则区间 \( [ i, j] \) 必须被进一步划分，不能直接作为一个整体返回。但 DP 中我们本来就会划分，所以只需要在合并时注意，当我们要将左右两个子区间合并时，左子区间必须与右子区间相邻，且它们各自是可行的。但约束 \( C[ i][ j] \) 针对整个区间，所以其实它影响的是：当我们将区间分为两段时，左段和右段各自独立计算，合并时就是两矩阵相乘，不需要整体区间满足 \( C[ i][ j ] = 1 \)。那么约束怎么用？仔细看：如果 \( C[ i][ j] = 0 \)，意味着我们不能将 \( A_ i \dots A_ j \) 作为一个整体与外部矩阵相乘。但是在计算 \( dp[ i][ j] \) 时，我们不需要 \( C[ i][ j] = 1 \)，因为 \( dp[ i][ j ] \) 只是计算这个子链的最小代价，不涉及外部。所以约束在递归计算中并无影响？不对，原题意思是：某些相邻矩阵对不能直接相乘，扩展为“某些连续子链不能作为一个整体相乘”。那么，在 DP 中，当我们尝试将区间分成两段时，两段各自必须是一个“合法的可相乘的子链”，即 \( C \) 为 1 或者进一步划分。我们重新定义约束：\( C[ i][ j] = 1 \) 表示子链 \( A_ i \dots A_ j \) 可以作为一个整体相乘（即可以不加括号直接按顺序乘），否则必须划分。在 DP 中，整体相乘对应不划分，代价是 \( p_ {i-1} \times p_ {j-1} \times p_ j \) 吗？不对，整体相乘不是一次乘法，而是顺序乘，其代价是固定顺序乘的代价。但固定顺序乘的代价不一定最小。实际上，矩阵链乘中，如果不加括号，就是顺序乘，代价是固定的，但我们可以加括号改变顺序。所以正确的建模是：对于区间 [ i, j ]，计算它的最小乘法次数，有两种情况：不加括号，直接按顺序乘，这要求 \( C[ i][ j ] = 1 \)。在某个 k 处划分，左右分别加括号，这总是允许的，只要左右子链可行。这样转移方程为：先初始化 \( dp[ i][ j ] = \infty \)。如果 \( C[ i][ j] = 1 \)，则可以直接顺序乘，代价是 \( \sum_ {t=i}^{j-1} p_ {i-1} \times p_ t \times p_ j \)？不对，顺序乘的代价是固定的，假设我们按 \( ((A_ i A_ {i+1}) A_ {i+2}) \dots \) 顺序，这是最左顺序，乘法次数 = \( p_ {i-1} p_ i p_ j + p_ {i-1} p_ {i+1} p_ j + \dots + p_ {i-1} p_ {j-1} p_ j \)。但这不是最小代价，只是为了满足不括号化的代价。实际上，如果 \( C[ i][ j ] = 1 \)，意味着我们可以不划分，此时计算这个区间的代价就是按给定顺序乘的代价，但“不划分”不代表顺序固定，只是说可以作为一个块直接乘，但内部的乘法顺序可以任意吗？不，如果不划分，那就是默认顺序乘，代价固定。如果我们想得到最小代价，那还是要括号化，除非约束禁止括号化。但约束只是说“可以作为一个整体相乘”，并不禁止括号化。所以这里有点绕。我们简化：约束 \( C[ i][ j ] = 1 \) 表示“允许将 i..j 视为一个整体”，在计算时，我们可以选择不划分（即直接按顺序乘），也可以选择划分。如果不划分，代价是固定顺序乘的代价；如果划分，代价是 DP 子问题代价之和。我们取最小。但这样复杂度高，因为要算固定顺序乘的代价。但原题可能意图是：约束只影响是否允许作为一个整体，不影响内部是否括号化。我们采用更简单的理解：约束只影响整个区间是否允许作为一个块，而不影响内部划分。在 DP 中，我们总是划分，所以约束在最后合并时检查：当我们计算 \( dp[ i][ j] \) 时，如果 \( C[ i][ j] = 0 \)，则这个区间不能作为一个整体输出，但 \( dp[ i][ j ] \) 只是中间结果，可以继续用于更大的区间，所以应该允许。但原题说“某些相邻矩阵对不能直接相乘”，这意味着如果 \( C[ i][ i+1] = 0 \)，则 \( A_ i \) 和 \( A_ {i+1} \) 不能直接乘，但可以通过括号化让它们不直接乘。比如 A1, A2, A3，如果 C[ 1][ 2]=0，我们可以先算 A2* A3，再与 A1 乘。所以 C 只是限制相邻乘，不是限制区间。因此，我们采用更常见的理解：约束 \( C[ i][ j] = 0 \) 表示子链 i..j 不能直接作为一个块相乘。在 DP 中，当我们考虑区间 [ i, j] 时，如果 C[ i][ j] = 1，则我们可以用整体相乘的代价来更新 dp[ i][ j]；否则只能用划分。但整体相乘的代价怎么算？就是顺序乘，乘法次数是 \( p_ {i-1} p_ i p_ {i+1} + p_ {i-1} p_ {i+1} p_ {i+2} + \dots \) 吗？这不就是固定顺序的代价。但这样还不如直接划分。所以可能约束的意思是：C[ i][ j]=1 表示子链 i..j 可以相乘（不违反约束），否则不能相乘，即 dp[ i][ j ] 必须为 INF。我们采用这个简单理解：C[ i][ j]=1 表示允许子链 i..j 作为一个可计算的块，否则不允许。在计算 dp[ i][ j] 时，只有 C[ i][ j]=1 时，我们才计算它，否则 dp[ i][ j]=INF。但这样整个链必须 C[ 1][ n ]=1 才可能有解。这似乎太强。仔细看原题描述：某些相邻矩阵对不能直接相乘。这可以扩展为：如果 C[ i][ j]=0，则不能将 i..j 作为一个整体相乘，但内部划分后可以。在 DP 中，整体相乘对应不划分，但我们可以划分，所以 C[ i][ j ]=0 只是禁止不划分的情况，不禁止划分。所以转移方程修正：如果区间长度=1，dp[ i][ i] = 0，不需要 C[ i][ i ]=1，因为单个矩阵总是可乘。如果长度>1，考虑划分点 k，分 [ i, k] 和 [ k+1, j ] 两段，分别计算代价，再加上合并代价。这总是允许的，只要左右两段可行。另外，如果 C[ i][ j]=1，我们还可以考虑“不划分”，即整体顺序乘的代价，但顺序乘的代价不一定最小，所以我们可以忽略这种情况，因为划分总能达到更小或相等代价（因为矩阵链乘不加括号的代价通常大于最优括号化的代价）。但为了完整性，我们可以算一下整体顺序乘的代价：设整体顺序乘，就是从左到右依次乘，乘法次数 = sum_ {t=i}^{j-1} p_ {i-1} * p_ t * p_ j。这可以在 O(n) 时间算出。然后与划分的代价取 min。所以转移方程为： dp[ i][ j ] = min( min_ {k=i}^{j-1} (dp[ i][ k] + dp[ k+1][ j] + p_ {i-1} * p_ k * p_ j), // 划分 (如果 C[ i][ j ]=1) 则顺序乘代价 ) 顺序乘代价 = 0 如果 i=j，否则 = sum_ {t=i}^{j-1} p_ {i-1} * p_ t * p_ j。 4. 计算顺序区间长度 len 从 2 到 n 递增计算。 5. 初始化 dp[ i][ i ] = 0，对任意 i。 6. 最终答案 dp[ 1][ n ] 如果为无穷大则返回 -1，否则返回该值。示例解释假设 n=3，p = [ 10, 20, 30, 40 ]，即 A1:10x20, A2:20x30, A3:30x40。约束 C[ 1][ 2]=0（A1 和 A2 不能直接乘），C[ 2][ 3]=1，C[ 1][ 3 ]=1。计算： dp[ 1][ 1]=0, dp[ 2][ 2]=0, dp[ 3][ 3 ]=0。 len=2: [ 1,2]: C[ 1][ 2]=0，不能整体顺序乘，只能划分。但划分只有 k=1，分 [ 1,1] 和 [ 2,2]，代价 = 0+0+10 20 30=6000，所以 dp[ 1][ 2 ]=6000。 [ 2,3]: C[ 2][ 3]=1，划分代价 k=2: 0+0+20 30 40=24000，整体顺序乘代价 = 20 30 40=24000，取 min=24000。dp[ 2][ 3 ]=24000。 len=3: [ 1,3 ] 划分点 k=1: dp[ 1][ 1]+dp[ 2][ 3]+10 20 40=0+24000+8000=32000。划分点 k=2: dp[ 1][ 2]+dp[ 3][ 3]+10 30 40=6000+0+12000=18000。整体顺序乘（C[ 1][ 3]=1）：代价=10 20 40+10 30 40=8000+12000=20000。取最小=18000。所以最小乘法次数=18000。复杂度时间复杂度 O(n^3)，空间复杂度 O(n^2)。核心点约束 C 只影响“整体顺序乘”是否允许，不影响划分。状态转移时，比较划分与整体顺序乘的代价，取最小。若无可行方案（所有 dp[ 1][ n ] 为无穷大）则返回 -1。