奇怪的打印机 II（颜色数量有限的最少打印次数）

字数 4190 2025-12-05 22:09:29

奇怪的打印机 II（颜色数量有限的最少打印次数）

题目描述
你有一台奇怪的打印机，它有如下两个特殊打印规则：

打印机每次只能打印由同一个字符（颜色）组成的序列。
每次打印时，可以选择任意起始和结束位置，将这个位置区间全部覆盖成同一个字符（即使原本已经有字符，也会被覆盖）。
现在给定一个字符串 s 和一个整数 k，字符串只由小写字母组成，长度 ≤ 100，k 表示打印机能使用的颜色种类数（即不同字符的数量），且 k ≤ 26。
你的目标是：用这台打印机打印出恰好与 s 相同的字符串，并且使用的颜色种类数不能超过 k，但不要求 s 中原本出现的颜色种类数 ≤ k（即你可以重新给每个位置分配颜色，只要最终打印结果与 s 一致即可）。
问：最少需要多少次打印操作？

示例
输入：s = "abacaba", k = 3
输出：4
解释：
一种可行的打印方案：

打印整个区间为 "aaaaaaa"（颜色 a）
打印区间 [1,1] 为 "b"（颜色 b，覆盖位置1）
打印区间 [3,3] 为 "c"（颜色 c，覆盖位置3）
打印区间 [5,5] 为 "b"（颜色 b，覆盖位置5）
最终得到 "abacaba"，用了 3 种颜色，共 4 次打印。

解题思路

这个问题是“奇怪的打印机”原题的扩展，原题中颜色种类无限制（26 种），每次打印可覆盖任意区间。本题增加了颜色数量限制 k，难度增大。

关键观察：

如果我们允许无限颜色，那么最少打印次数就是原“奇怪的打印机”问题的答案，可以用区间 DP 解决：
- 定义 dp[i][j] 为打印出子串 s[i..j] 的最少打印次数。
- 转移时，如果 s[i] == s[j]，则可以在打印 s[i] 颜色时顺便覆盖到 j，从而 dp[i][j] = dp[i][j-1]。
- 否则，枚举分割点 t，dp[i][j] = min(dp[i][t] + dp[t+1][j])。
但有了颜色数量限制 k 后，我们还需要在 DP 状态中记录“这个区间使用的颜色集合”，因为不同区间如果用了不同颜色，最终整个字符串的颜色种类数不能超过 k。
直接记录颜色集合会状态爆炸（2^26 太大）。我们需要利用一个性质：在最优打印方案中，整个字符串的颜色数 ≤ k，且同一个颜色在字符串中出现的所有位置，在打印顺序中一定是同一次打印或多次打印的结果，但可以视为同一种颜色。
更形式化地说：我们可以将问题转化为：先给字符串每个位置分配一个颜色编号 1..k，使得相邻相同字符的位置尽量分配相同颜色（减少打印次数），然后按照颜色分层去打印。
一个经典的转化思路是：
- 考虑最终打印结果，每个位置有一个颜色 c，1 ≤ c ≤ k。
- 如果我们固定了每个位置的颜色，那么对于每一种颜色，打印机需要打印出该颜色占据的所有区间。
- 对于一种颜色，它在字符串中可能出现多个不连续的块，每个块需要一次打印，所以该颜色的打印次数 = 它占据的连续块的数量。
- 总打印次数 = 所有颜色的连续块数量之和。
因此问题变成：将字符串每个位置染色，颜色数 ≤ k，使得相邻且原字符串相同字符的位置尽量染相同颜色（以减少块数），从而最小化总块数。
可以用区间 DP 来考虑染色过程：
- 定义 f[i][j][c] 为将子串 s[i..j] 染色的最小总块数，且这个子串的第一个位置 i 的颜色是 c。
- 我们不必关心 c 具体是哪个字母，只需要 1..k 编号即可，因为不同 c 只是颜色代号，但原字符串 s 会影响能否相邻同色。
转移时考虑位置 i 的颜色 c 如何延续：
- 如果 i+1 位置与 i 位置原字符串字符相同，且我们让 i+1 也染颜色 c，则不会增加块数。
- 否则，如果字符不同，则 i+1 染任何颜色都会增加块数（因为相邻不同字符必然不同块）。
- 但字符相同也可以染不同颜色（会额外增加块数），这可能在颜色数有限时是必要的，以节省颜色种类。
更好的 DP 状态设计（标准解法）：
- 定义 dp[i][j][m] 为打印出 s[i..j] 且使用了 m 种颜色的最少打印次数，m ≤ k。
- 转移复杂，因为颜色与打印顺序耦合。
实际更简单的思路（已知解法）：
- 先忽略颜色限制，计算原打印机问题的答案 a（无限制最少打印次数）。
- 如果 a ≤ k，则答案就是 a，因为我们可以直接使用原方案，它用的颜色数 ≤ a（每次打印一种颜色），所以颜色数满足。
- 如果 a > k，则需要增加打印次数，以节省颜色数。
- 但这样并不完全正确，因为原方案可能用超过 k 种颜色，必须调整。
正解是“分层区间 DP”：
- 将 k 种颜色看作 k 个“层”，我们按层分配打印任务。
- 等价于：将字符串划分成若干段，每段用一种颜色打印，但打印一种颜色时，可以覆盖多个不连续区间（原打印机规则允许），所以问题还是回到打印机原问题，但颜色数有限。
标准状态：dp[i][j][c] 表示将 s[i..j] 打印完成，且最后一次打印（即最顶层的颜色）是 c 的最少操作次数。但这样要枚举颜色。
实际上，最优解中，同一种颜色在字符串中出现的所有位置，都可以在同一个打印操作中完成，即使它们不连续吗？不是，因为打印机一次只能打印一个连续区间，所以同一颜色的不同连续块需要不同次打印。
因此，问题变成：选择若干区间，每个区间染一种颜色，最终颜色集合大小 ≤ k，覆盖所有位置，且颜色满足目标字符串对应位置的颜色等于 s 对应位置的颜色（我们可以自由安排颜色字母，只要最终字母与 s 一致）。

具体 DP 设计

我们这样建模：

先对字符串进行预处理，将原字符串的每个字符看作“目标字符”，我们可以给它分配 1..k 的颜色编号，但相同颜色编号的字母必须相同（因为同一颜色打印的字母一样），而不同颜色编号的字母可以相同也可以不同，只要最终字母与 s 一致。
所以我们既要选颜色编号 1..k，又要给每种颜色编号分配一个字母（a..z），使得每个位置的颜色编号对应的字母等于 s[i]。

因此，这是一个“颜色编号分配”问题。

DP 状态：f[l][r][x] 表示子串 s[l..r] 中，只使用 x 种颜色的最少打印次数。

转移：

如果 l == r，则只需要 1 次打印，且使用 1 种颜色，所以 f[l][r][1] = 1，f[l][r][t] 对于 t>1 可以通过浪费颜色来达到，但最少是 1。
一般情况：考虑 s[l] 的颜色，它可以和后面某个位置 s[p] 在同一个颜色块中（如果 s[l] == s[p]），这样在打印颜色 s[l] 时，可以一次覆盖 [l, p] 区间（中间可能夹杂其他颜色，但会被覆盖）。
更简单的标准解法（来自题目讨论）：
先用区间 DP 求出无颜色限制时的最少打印次数 g[l][r]。
然后定义 f[l][r][c] 为子串 s[l..r] 在颜色数限制为 c 时的最少打印次数。
转移时，可以枚举第一段区间 [l, t] 用一种颜色打印（即原打印机问题的最小次数 g[l][t]），然后剩余部分用 c-1 种颜色打印，即：
```
f[l][r][c] = min_{t=l..r-1} (g[l][t] + f[t+1][r][c-1])
```
初始化 f[l][r][1] = g[l][r]。
最后答案是 f[0][n-1][k]。

算法步骤

计算无颜色限制的打印机最少打印次数 g[l][r]：
- 初始化 g[i][i] = 1。
- 对于区间 [i, j]，如果 s[i] == s[j]，则 g[i][j] = g[i][j-1]（因为可以在打印 s[i] 时一起打印 s[j]）。
- 否则，g[i][j] = min(g[i][t] + g[t+1][j]) 对 i ≤ t < j。
计算颜色限制下的 DP：
- 初始化 f[i][j][1] = g[i][j]。
- 对于颜色数 c 从 2 到 k：
  - 对于区间 [i, j]：
    f[i][j][c] = ∞
    - 如果 c > 长度，则不可能，跳过。
    - 枚举分割点 t 从 i 到 j-1：
      f[i][j][c] = min(f[i][j][c], g[i][t] + f[t+1][j][c-1])
最终答案为 f[0][n-1][k]。

示例推导

s = "abacaba", k=3

先求 g：
g[0][6] 计算：
s[0]=a, s[6]=a 相同，所以 g[0][6] = g[0][5]。
g[0][5] 中 s[0]=a, s[5]=b 不同，枚举分割... 最终得到 g[0][6] = 3（无颜色限制时最少打印次数）。
但这里 g=3 已经 ≤ k=3，所以答案就是 3？但示例答案是 4。
这说明无限制时最少打印 3 次，但 3 次打印需要 3 种颜色吗？不一定，可能 3 次打印用了 2 种颜色也可以。但这里目标字符串颜色分布导致必须 4 次打印。
实际上原“奇怪打印机”问题 s="abacaba" 最少是 4 次打印，我上面假设的 3 次打印是错误的，所以需重新计算。
计算 g[0..6]：
- 长度 1: g=1
- 长度 2: "ab": 2次, "ba":2, "ca":2, ...
- 逐步推得 g[0][6]=4。
  所以无颜色限制时最少 4 次打印。
现在颜色限制 k=3，所以 f[0][6][3] = 4，因为 4 次打印用了 ≤4 种颜色，满足 ≤3 种颜色。
但这里 4 次打印可以只用 3 种颜色吗？可以，示例方案用了 3 种颜色，4 次打印。

最终答案

这个题目的核心是两层 DP：

内层 DP 求无颜色限制的最少打印次数。
外层 DP 在颜色数限制下组合区间，允许不同区间用不同颜色集合打印。

时间复杂度 O(n^3 * k)，n ≤ 100，k ≤ 26，可过。

如果你愿意，我可以给你演示 s="abacaba", k=3 的 DP 表计算过程。

奇怪的打印机 II（颜色数量有限的最少打印次数）题目描述你有一台奇怪的打印机，它有如下两个特殊打印规则：打印机每次只能打印由同一个字符（颜色）组成的序列。每次打印时，可以选择任意起始和结束位置，将这个位置区间全部覆盖成同一个字符（即使原本已经有字符，也会被覆盖）。现在给定一个字符串 s 和一个整数 k ，字符串只由小写字母组成，长度 ≤ 100， k 表示打印机能使用的颜色种类数（即不同字符的数量），且 k ≤ 26 。你的目标是：用这台打印机打印出恰好与 s 相同的字符串，并且使用的颜色种类数不能超过 k ，但不要求 s 中原本出现的颜色种类数 ≤ k（即你可以重新给每个位置分配颜色，只要最终打印结果与 s 一致即可）。问：最少需要多少次打印操作？示例输入：s = "abacaba", k = 3 输出：4 解释：一种可行的打印方案：打印整个区间为 "aaaaaaa"（颜色 a）打印区间 [ 1,1 ] 为 "b"（颜色 b，覆盖位置1）打印区间 [ 3,3 ] 为 "c"（颜色 c，覆盖位置3）打印区间 [ 5,5 ] 为 "b"（颜色 b，覆盖位置5）最终得到 "abacaba"，用了 3 种颜色，共 4 次打印。解题思路这个问题是“奇怪的打印机”原题的扩展，原题中颜色种类无限制（26 种），每次打印可覆盖任意区间。本题增加了颜色数量限制 k，难度增大。关键观察：如果我们允许无限颜色，那么最少打印次数就是原“奇怪的打印机”问题的答案，可以用区间 DP 解决：定义 dp[i][j] 为打印出子串 s[i..j] 的最少打印次数。转移时，如果 s[i] == s[j] ，则可以在打印 s[i] 颜色时顺便覆盖到 j，从而 dp[i][j] = dp[i][j-1] 。否则，枚举分割点 t ， dp[i][j] = min(dp[i][t] + dp[t+1][j]) 。但有了颜色数量限制 k 后，我们还需要在 DP 状态中记录“这个区间使用的颜色集合”，因为不同区间如果用了不同颜色，最终整个字符串的颜色种类数不能超过 k。直接记录颜色集合会状态爆炸（2^26 太大）。我们需要利用一个性质：在最优打印方案中，整个字符串的颜色数 ≤ k，且同一个颜色在字符串中出现的所有位置，在打印顺序中一定是同一次打印或多次打印的结果，但可以视为同一种颜色。更形式化地说：我们可以将问题转化为：先给字符串每个位置分配一个颜色编号 1..k，使得相邻相同字符的位置尽量分配相同颜色（减少打印次数），然后按照颜色分层去打印。一个经典的转化思路是：考虑最终打印结果，每个位置有一个颜色 c，1 ≤ c ≤ k。如果我们固定了每个位置的颜色，那么对于每一种颜色，打印机需要打印出该颜色占据的所有区间。对于一种颜色，它在字符串中可能出现多个不连续的块，每个块需要一次打印，所以该颜色的打印次数 = 它占据的连续块的数量。总打印次数 = 所有颜色的连续块数量之和。因此问题变成：将字符串每个位置染色，颜色数 ≤ k，使得相邻且原字符串相同字符的位置尽量染相同颜色（以减少块数），从而最小化总块数。可以用区间 DP 来考虑染色过程：定义 f[i][j][c] 为将子串 s[i..j] 染色的最小总块数，且这个子串的第一个位置 i 的颜色是 c 。我们不必关心 c 具体是哪个字母，只需要 1..k 编号即可，因为不同 c 只是颜色代号，但原字符串 s 会影响能否相邻同色。转移时考虑位置 i 的颜色 c 如何延续：如果 i+1 位置与 i 位置原字符串字符相同，且我们让 i+1 也染颜色 c，则不会增加块数。否则，如果字符不同，则 i+1 染任何颜色都会增加块数（因为相邻不同字符必然不同块）。但字符相同也可以染不同颜色（会额外增加块数），这可能在颜色数有限时是必要的，以节省颜色种类。更好的 DP 状态设计（标准解法）：定义 dp[i][j][m] 为打印出 s[i..j] 且使用了 m 种颜色的最少打印次数，m ≤ k。转移复杂，因为颜色与打印顺序耦合。实际更简单的思路（已知解法）：先忽略颜色限制，计算原打印机问题的答案 a （无限制最少打印次数）。如果 a ≤ k ，则答案就是 a ，因为我们可以直接使用原方案，它用的颜色数 ≤ a（每次打印一种颜色），所以颜色数满足。如果 a > k ，则需要增加打印次数，以节省颜色数。但这样并不完全正确，因为原方案可能用超过 k 种颜色，必须调整。正解是“分层区间 DP”：将 k 种颜色看作 k 个“层”，我们按层分配打印任务。等价于：将字符串划分成若干段，每段用一种颜色打印，但打印一种颜色时，可以覆盖多个不连续区间（原打印机规则允许），所以问题还是回到打印机原问题，但颜色数有限。标准状态： dp[i][j][c] 表示将 s[i..j] 打印完成，且最后一次打印（即最顶层的颜色）是 c 的最少操作次数。但这样要枚举颜色。实际上，最优解中，同一种颜色在字符串中出现的所有位置，都可以在同一个打印操作中完成，即使它们不连续吗？不是，因为打印机一次只能打印一个连续区间，所以同一颜色的不同连续块需要不同次打印。因此，问题变成：选择若干区间，每个区间染一种颜色，最终颜色集合大小 ≤ k，覆盖所有位置，且颜色满足目标字符串对应位置的颜色等于 s 对应位置的颜色（我们可以自由安排颜色字母，只要最终字母与 s 一致）。具体 DP 设计我们这样建模：先对字符串进行预处理，将原字符串的每个字符看作“目标字符”，我们可以给它分配 1..k 的颜色编号，但相同颜色编号的字母必须相同（因为同一颜色打印的字母一样），而不同颜色编号的字母可以相同也可以不同，只要最终字母与 s 一致。所以我们既要选颜色编号 1..k，又要给每种颜色编号分配一个字母（a..z），使得每个位置的颜色编号对应的字母等于 s[ i ]。因此，这是一个“颜色编号分配”问题。 DP 状态： f[l][r][x] 表示子串 s[ l..r ] 中，只使用 x 种颜色的最少打印次数。转移：如果 l == r，则只需要 1 次打印，且使用 1 种颜色，所以 f[ l][ r][ 1] = 1，f[ l][ r][ t ] 对于 t>1 可以通过浪费颜色来达到，但最少是 1。一般情况：考虑 s[ l] 的颜色，它可以和后面某个位置 s[ p] 在同一个颜色块中（如果 s[ l] == s[ p]），这样在打印颜色 s[ l] 时，可以一次覆盖 [ l, p ] 区间（中间可能夹杂其他颜色，但会被覆盖）。更简单的标准解法（来自题目讨论）：先用区间 DP 求出无颜色限制时的最少打印次数 g[ l][ r ]。然后定义 f[ l][ r][ c] 为子串 s[ l..r ] 在颜色数限制为 c 时的最少打印次数。转移时，可以枚举第一段区间 [ l, t] 用一种颜色打印（即原打印机问题的最小次数 g[ l][ t ]），然后剩余部分用 c-1 种颜色打印，即：初始化 f[ l][ r][ 1] = g[ l][ r ]。最后答案是 f[ 0][ n-1][ k ]。算法步骤计算无颜色限制的打印机最少打印次数 g[ l][ r ]：初始化 g[ i][ i ] = 1。对于区间 [ i, j]，如果 s[ i] == s[ j]，则 g[ i][ j] = g[ i][ j-1]（因为可以在打印 s[ i] 时一起打印 s[ j ]）。否则，g[ i][ j] = min(g[ i][ t] + g[ t+1][ j]) 对 i ≤ t < j。计算颜色限制下的 DP：初始化 f[ i][ j][ 1] = g[ i][ j ]。对于颜色数 c 从 2 到 k：对于区间 [ i, j ]： f[ i][ j][ c ] = ∞ 如果 c > 长度，则不可能，跳过。枚举分割点 t 从 i 到 j-1： f[ i][ j][ c] = min(f[ i][ j][ c], g[ i][ t] + f[ t+1][ j][ c-1 ]) 最终答案为 f[ 0][ n-1][ k ]。示例推导 s = "abacaba", k=3 先求 g： g[ 0][ 6 ] 计算： s[ 0]=a, s[ 6]=a 相同，所以 g[ 0][ 6] = g[ 0][ 5 ]。 g[ 0][ 5] 中 s[ 0]=a, s[ 5]=b 不同，枚举分割... 最终得到 g[ 0][ 6 ] = 3（无颜色限制时最少打印次数）。但这里 g=3 已经 ≤ k=3，所以答案就是 3？但示例答案是 4。这说明无限制时最少打印 3 次，但 3 次打印需要 3 种颜色吗？不一定，可能 3 次打印用了 2 种颜色也可以。但这里目标字符串颜色分布导致必须 4 次打印。实际上原“奇怪打印机”问题 s="abacaba" 最少是 4 次打印，我上面假设的 3 次打印是错误的，所以需重新计算。计算 g[ 0..6 ]：长度 1: g=1 长度 2: "ab": 2次, "ba":2, "ca":2, ... 逐步推得 g[ 0][ 6 ]=4。所以无颜色限制时最少 4 次打印。现在颜色限制 k=3，所以 f[ 0][ 6][ 3 ] = 4，因为 4 次打印用了 ≤4 种颜色，满足 ≤3 种颜色。但这里 4 次打印可以只用 3 种颜色吗？可以，示例方案用了 3 种颜色，4 次打印。最终答案这个题目的核心是两层 DP：内层 DP 求无颜色限制的最少打印次数。外层 DP 在颜色数限制下组合区间，允许不同区间用不同颜色集合打印。时间复杂度 O(n^3 * k)，n ≤ 100，k ≤ 26，可过。如果你愿意，我可以给你演示 s="abacaba", k=3 的 DP 表计算过程。