环形数组的最小代价划分问题

字数 2889 2025-12-05 20:53:00

环形数组的最小代价划分问题

题目描述
给定一个环形数组 nums，其长度为 n。你可以执行以下操作任意次：选择数组中任意一个元素，将其移除，并支付该元素的代价。你的目标是最终将数组划分成若干个“好段”。一个“好段”定义为长度恰好为 k 的连续子数组（在原数组剩余元素顺序不变的前提下）。注意，由于数组是环形的，头尾元素被认为是相邻的。问：为了将数组划分成若干个“好段”（允许最后剩下无法构成好段的零散元素，但需要将它们全部移除），你需要支付的最小总代价是多少？

例如，假设 nums = [1, 2, 3, 4, 5], k = 2。一种方案是：移除元素 1，则剩下 [2, 3, 4, 5]，可以划分为 [2, 3] 和 [4, 5] 两个好段，代价为 1。另一种方案是：移除元素 3，剩下 [1, 2, 4, 5]，但无法形成长度为 2 的好段（因为 1 和 5 相邻，但移除 3 后它们不相邻），还需要继续移除，总代价可能更高。题目要求找到最小总代价。

解题步骤

问题转换
由于数组是环形的，处理起来比线性数组复杂。常见的技巧是“破环成链”：将原数组复制一份接在后面，形成长度为 2n 的线性数组。这样，环形中任意一段连续子数组（可能跨越头尾）都对应新线性数组中长度为 n 以内的某个连续子数组。
但注意，我们划分好段时，最终剩下的元素（未被划分的）会被移除。我们可以反过来思考：最大化保留的元素总价值（因为总代价 = 所有元素代价之和 - 保留元素代价之和），并且保留的元素必须构成若干个互不重叠的长度为 k 的段。由于是环形，这些段在环上排列，不会重叠。
定义状态
设 dp[i] 表示在线性数组（即破环成链后的数组）中，考虑前 i 个元素（下标从 1 开始），在选取若干长度为 k 的不重叠段（每段必须完整保留，不能只取部分）的情况下，能够保留的最大代价和。
注意，这里“保留”意味着这些段最终不被移除，且它们之间可以有空隙（空隙中的元素会被移除）。
由于段长度固定为 k，状态转移时，我们考虑是否以 i 结尾形成一个好段：
- 如果不选取以 i 结尾的段，则 dp[i] = dp[i-1]。
- 如果选取以 i 结尾的段，则该段为 [i-k+1, i]，需要保留这个段的所有元素，那么 dp[i] = dp[i-k] + sum(nums[i-k+1 ... i])，其中 sum 表示这一段的和。
  因此：
```
dp[i] = max(dp[i-1], dp[i-k] + sum(nums[i-k+1 ... i]))   (当 i >= k 时)
```
初始时，dp[0] = 0，且对于 i < k，不能形成完整段，dp[i] = 0。
处理环形
在环形中，如果我们选取了一些好段，这些段在环上排列，那么环上会剩下一些未被覆盖的元素。由于环形，我们可以认为第一个元素是否被保留会影响结构。
一种巧妙方法：
- 情况一：第一个元素不被保留（即被移除）。那么问题转化为在 nums[2..n] 这个线性数组上选取若干好段，求最大保留和。
- 情况二：第一个元素被保留。那么它必须属于某个好段，由于段长度为 k，这个段必须包含 nums[1..k]（因为第一个元素是段的首元素）。那么 nums[1..k] 被保留，接下来在 nums[k+1..n] 这个线性数组中继续选取好段。
  这样，我们枚举这两种情况，分别用上述线性 DP 求解，再取最优。
实现细节
- 预处理前缀和 prefix，方便快速求区间和。
- 对情况一：在线性数组 nums[2..n] 上运行 DP，注意数组长度为 n-1。
- 对情况二：强制保留 nums[1..k]，然后在 nums[k+1..n] 上运行 DP，数组长度为 n-k。
- 总代价 = 所有元素和 - 最大保留和。
边界情况
- 如果 k > n，无法形成任何好段，最小代价就是所有元素代价和（全部移除）。
- 如果 k == 1，每个元素自身就是一个好段，可以保留所有元素，代价为 0。
- 注意在情况二中，必须满足 k <= n，否则无法保留第一个元素所在段。
示例演算
以 nums = [1, 2, 3, 4, 5], k = 2 为例：
总代价和 = 15。
情况一：第一个元素移除，在线性数组 [2,3,4,5] 上 DP：
- 前缀和：[0,2,5,9,14]
- dp[1]=0, dp[2]=max(0, dp[0]+sum(2,3)=5)=5，dp[3]=max(5, dp[1]+sum(3,4)=7)=7，dp[4]=max(7, dp[2]+sum(4,5)=9)=9。
  最大保留和 = 9，对应保留段 [2,3] 和 [4,5]。
  情况二：保留第一个元素所在段 [1,2]，和在 [3,4,5] 上 DP：
- 数组 [3,4,5] 上 DP：dp[1]=0, dp[2]=max(0, dp[0]+sum(3,4)=7)=7，dp[3]=max(7, dp[1]+sum(4,5)=9)=9。
  最大保留和 = 1+2 + 9 = 12（保留 [1,2] 和 [4,5]）。
  比较两种情况，最大保留和 = max(9, 12) = 12。
  最小总代价 = 15 - 12 = 3。
  注意这里比直接移除元素 1 的代价 1 更大？检查：移除 1 后剩下 [2,3,4,5]，可划分 [2,3] 和 [4,5]，保留和 = 2+3+4+5=14，代价=1。为什么我们 DP 得到 12？因为情况一我们计算的是在线性数组 [2,3,4,5] 上，保留两段 [2,3] 和 [4,5] 的和是 14，但我们的 DP 数组求得是 9，哪里错了？
  错误在于：在线性数组 [2,3,4,5] 中，dp[4] 应该是 max(dp[3], dp[2]+sum(4,5)=9)，而 dp[2]=5, dp[3]=max(5, dp[1]+7)=7，所以 dp[4]=max(7, 5+9=14)=14。我前面计算错了 dp[2] 的值，更正：
  dp[2] = max(dp[1], dp[0]+sum(2,3)=5) = max(0,5) = 5。
  dp[3] = max(dp[2], dp[1]+sum(3,4)=7) = max(5,7) = 7。
  dp[4] = max(dp[3], dp[2]+sum(4,5)=9) = max(7, 5+9=14) = 14。
  所以情况一最大保留和 = 14，情况二 = 12，最优为 14，代价 = 15-14=1。符合预期。
最终答案
综合两种情况，得到最大保留和，再用总和减去即得最小代价。
时间复杂度 O(n)，空间复杂度 O(n)。

通过以上步骤，我们可以系统解决这类环形数组固定长度段划分的最小代价问题。核心是破环处理 + 固定长度段选取的线性 DP。

环形数组的最小代价划分问题题目描述给定一个环形数组 nums ，其长度为 n 。你可以执行以下操作任意次：选择数组中任意一个元素，将其移除，并支付该元素的代价。你的目标是最终将数组划分成若干个“好段”。一个“好段”定义为长度恰好为 k 的连续子数组（在原数组剩余元素顺序不变的前提下）。注意，由于数组是环形的，头尾元素被认为是相邻的。问：为了将数组划分成若干个“好段”（允许最后剩下无法构成好段的零散元素，但需要将它们全部移除），你需要支付的最小总代价是多少？例如，假设 nums = [1, 2, 3, 4, 5] , k = 2 。一种方案是：移除元素 1，则剩下 [2, 3, 4, 5] ，可以划分为 [2, 3] 和 [4, 5] 两个好段，代价为 1。另一种方案是：移除元素 3，剩下 [1, 2, 4, 5] ，但无法形成长度为 2 的好段（因为 1 和 5 相邻，但移除 3 后它们不相邻），还需要继续移除，总代价可能更高。题目要求找到最小总代价。解题步骤问题转换由于数组是环形的，处理起来比线性数组复杂。常见的技巧是“破环成链”：将原数组复制一份接在后面，形成长度为 2n 的线性数组。这样，环形中任意一段连续子数组（可能跨越头尾）都对应新线性数组中长度为 n 以内的某个连续子数组。但注意，我们划分好段时，最终剩下的元素（未被划分的）会被移除。我们可以反过来思考：最大化保留的元素总价值（因为总代价 = 所有元素代价之和 - 保留元素代价之和），并且保留的元素必须构成若干个互不重叠的长度为 k 的段。由于是环形，这些段在环上排列，不会重叠。定义状态设 dp[i] 表示在线性数组（即破环成链后的数组）中，考虑前 i 个元素（下标从 1 开始），在选取若干长度为 k 的不重叠段（每段必须完整保留，不能只取部分）的情况下，能够保留的最大代价和。注意，这里“保留”意味着这些段最终不被移除，且它们之间可以有空隙（空隙中的元素会被移除）。由于段长度固定为 k ，状态转移时，我们考虑是否以 i 结尾形成一个好段：如果不选取以 i 结尾的段，则 dp[i] = dp[i-1] 。如果选取以 i 结尾的段，则该段为 [i-k+1, i] ，需要保留这个段的所有元素，那么 dp[i] = dp[i-k] + sum(nums[i-k+1 ... i]) ，其中 sum 表示这一段的和。因此：初始时， dp[0] = 0 ，且对于 i < k ，不能形成完整段， dp[i] = 0 。处理环形在环形中，如果我们选取了一些好段，这些段在环上排列，那么环上会剩下一些未被覆盖的元素。由于环形，我们可以认为第一个元素是否被保留会影响结构。一种巧妙方法：情况一：第一个元素不被保留（即被移除）。那么问题转化为在 nums[2..n] 这个线性数组上选取若干好段，求最大保留和。情况二：第一个元素被保留。那么它必须属于某个好段，由于段长度为 k ，这个段必须包含 nums[1..k] （因为第一个元素是段的首元素）。那么 nums[1..k] 被保留，接下来在 nums[k+1..n] 这个线性数组中继续选取好段。这样，我们枚举这两种情况，分别用上述线性 DP 求解，再取最优。实现细节预处理前缀和 prefix ，方便快速求区间和。对情况一：在线性数组 nums[2..n] 上运行 DP，注意数组长度为 n-1 。对情况二：强制保留 nums[1..k] ，然后在 nums[k+1..n] 上运行 DP，数组长度为 n-k 。总代价 = 所有元素和 - 最大保留和。边界情况如果 k > n ，无法形成任何好段，最小代价就是所有元素代价和（全部移除）。如果 k == 1 ，每个元素自身就是一个好段，可以保留所有元素，代价为 0。注意在情况二中，必须满足 k <= n ，否则无法保留第一个元素所在段。示例演算以 nums = [1, 2, 3, 4, 5] , k = 2 为例：总代价和 = 15。情况一：第一个元素移除，在线性数组 [2,3,4,5] 上 DP：前缀和：[ 0,2,5,9,14 ] dp[1]=0 , dp[2]=max(0, dp[0]+sum(2,3)=5)=5 ， dp[3]=max(5, dp[1]+sum(3,4)=7)=7 ， dp[4]=max(7, dp[2]+sum(4,5)=9)=9 。最大保留和 = 9，对应保留段 [2,3] 和 [4,5] 。情况二：保留第一个元素所在段 [1,2] ，和在 [3,4,5] 上 DP：数组 [3,4,5] 上 DP： dp[1]=0 , dp[2]=max(0, dp[0]+sum(3,4)=7)=7 ， dp[3]=max(7, dp[1]+sum(4,5)=9)=9 。最大保留和 = 1+2 + 9 = 12（保留 [1,2] 和 [4,5] ）。比较两种情况，最大保留和 = max(9, 12) = 12。最小总代价 = 15 - 12 = 3。注意这里比直接移除元素 1 的代价 1 更大？检查：移除 1 后剩下 [2,3,4,5] ，可划分 [2,3] 和 [4,5] ，保留和 = 2+3+4+5=14，代价=1。为什么我们 DP 得到 12？因为情况一我们计算的是在线性数组 [2,3,4,5] 上，保留两段 [2,3] 和 [4,5] 的和是 14，但我们的 DP 数组求得是 9，哪里错了？错误在于：在线性数组 [2,3,4,5] 中， dp[4] 应该是 max(dp[3], dp[2]+sum(4,5)=9) ，而 dp[2]=5 , dp[3]=max(5, dp[1]+7)=7 ，所以 dp[4]=max(7, 5+9=14)=14 。我前面计算错了 dp[2] 的值，更正： dp[2] = max(dp[1], dp[0]+sum(2,3)=5) = max(0,5) = 5 。 dp[3] = max(dp[2], dp[1]+sum(3,4)=7) = max(5,7) = 7 。 dp[4] = max(dp[3], dp[2]+sum(4,5)=9) = max(7, 5+9=14) = 14 。所以情况一最大保留和 = 14，情况二 = 12，最优为 14，代价 = 15-14=1。符合预期。最终答案综合两种情况，得到最大保留和，再用总和减去即得最小代价。时间复杂度 O(n)，空间复杂度 O(n)。通过以上步骤，我们可以系统解决这类环形数组固定长度段划分的最小代价问题。核心是破环处理 + 固定长度段选取的线性 DP。