高斯-切比雪夫求积公式在带端点振荡函数积分中的局部自适应策略
我们先明确这个题目要解决的问题。在很多物理和工程问题中，经常会遇到如下形式的积分：
\[I = \int_{-1}^{1} \frac{f(x) \cdot \sin(\omega / (1 - x^2))}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \]
或者更一般地，被积函数具有 \(f(x) \cdot g(x)\) 的形式，其中 \(g(x)\) 是振荡函数，且振荡频率在积分区间端点附近急剧增加（例如分母中有 \((1-x^2)\) 因子导致在 \(x = \pm 1\) 时振荡无穷快），同时权函数为 \(1/\sqrt{1-x^2}\)，这是第二类切比雪夫权函数。高斯-切比雪夫求积公式虽然能精确处理权函数部分，但对于端点附近的高频振荡，标准的高阶公式也会失效，因为多项式无法有效逼近快速振荡。此时，单纯增加节点数效率低下，且可能因Runge现象导致误差增大。因此，需要一种“局部自适应策略”，在振荡剧烈的端点附近密集布点，而在内部平缓区域稀疏布点，以高效、高精度地计算此类积分。
第一步：理解高斯-切比雪夫求积公式的本质
高斯-切比雪夫（第二类）求积公式用于计算形式为
\[\int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \]
的积分。它的核心思想是利用正交多项式的根作为求积节点。对于第二类权函数 \(w(x) = 1/\sqrt{1-x^2}\)，对应的正交多项式是第二类切比雪夫多项式 \(U_n(x)\)。n点高斯-切比雪夫求积公式的节点是 \(U_n(x)\) 的零点 \(x_k = \cos\left( \frac{k\pi}{n+1} \right)\)，权重全部相等，为 \(w_k = \frac{\pi}{n+1}\)。这个公式对 \(f(x)\) 是次数 ≤ 2n-1 的多项式时能给出精确积分值。
但对于我们的被积函数 \(f(x) \cdot g(x)\)，其中 \(g(x)\) 是振荡剧烈的函数，整个被积函数不再是低次多项式。如果直接应用高斯-切比雪夫公式，需要非常高的n才能捕捉端点振荡，计算量大且可能数值不稳定。
第二步：识别端点振荡的特性与挑战
以 \(g(x) = \sin(\omega / (1 - x^2))\) 为例。当 \(x \to \pm 1\) 时，\(1-x^2 \to 0\)，导致振荡频率 \(\omega / (1-x^2) \to \infty\)。这意味着在端点附近极小的区间内，函数会振荡非常多次。一个高阶多项式（对应高阶高斯求积）要逼近这样一个函数，需要非常高的次数，而且可能由于振荡导致数值误差放大。另外，高斯-切比雪夫节点的分布虽然也在端点附近更密（因为 \(x_k = \cos(k\pi/(n+1))\)，在 \(k\) 接近0或n+1时，\(x_k\) 接近±1），但其密度是固定的余弦分布，可能不足以匹配端点处剧烈振荡所需的采样密度。
第三步：设计局部自适应策略的核心思想
局部自适应策略的核心是：不全局使用单一的高阶高斯公式，而是将积分区间 \([-1,1]\) 分割成若干子区间，在每个子区间上应用适当阶数的高斯-切比雪夫公式，并且根据被积函数在该子区间内的“行为”决定是否进一步细分。 目标是：在函数变化平缓（或振荡可被当前阶数多项式充分逼近）的大子区间上用较少节点，在函数振荡剧烈的端点附近的小子区间上用较多节点（或通过细分产生更多小子区间，每个子区间上可用相对较少的节点）。
具体到带端点振荡的问题，一个自然的策略是：在靠近±1的区域，进行更细的划分。
第四步：局部自适应策略的详细步骤
-
问题预处理：我们的积分是 \(I = \int_{-1}^{1} f(x) \cdot g(x) \cdot w(x) \, dx\)，其中 \(w(x)=1/\sqrt{1-x^2}\)。为了应用高斯-切比雪夫公式，我们需要处理权函数 \(w(x)\)。标准做法是不将权函数显式分离，而是将整个被积函数视为 \(h(x) = f(x) \cdot g(x)\)，然后计算 \(\int_{-1}^{1} h(x) w(x) dx\)。这样，在每个子区间上进行变量变换后，仍然可以应用对应权函数的高斯求积公式。
-
区间分割与映射：将原区间 \([-1,1]\) 分割为 \(M\) 个子区间，记分点为 \(-1 = a_0 < a_1 < ... < a_M = 1\)。对于每个子区间 \([a_{j-1}, a_j]\)，我们做线性变换将其映射到标准区间 \([-1,1]\) 上：
\[ x = \frac{a_j - a_{j-1}}{2} t + \frac{a_j + a_{j-1}}{2}, \quad t \in [-1,1]. \]
则原积分变为：
\[ I = \sum_{j=1}^{M} \int_{a_{j-1}}^{a_j} h(x) w(x) dx = \sum_{j=1}^{M} \frac{a_j - a_{j-1}}{2} \int_{-1}^{1} h(x(t)) w(x(t)) dt. \]
这里的关键是，$ w(x(t)) $ 是新的权函数。由于 $ w(x) = 1/\sqrt{1-x^2} $ 不是常数，经过线性变换后，它在每个子区间上的形式变得复杂，不再保持标准高斯-切比雪夫权函数的形式。这破坏了高斯求积的直接应用条件。
-
权函数的处理策略：为了让每个子区间上仍然能使用高斯-切比雪夫公式（以利用其高精度和对端点奇异性 \(1/\sqrt{1-x^2}\) 的内在处理能力），我们不能简单地做均匀分割。取而代之，一个更聪明的策略是利用高斯求积公式的“可加性”和原有权函数的特性。
标准的高斯-切比雪夫公式直接应用于整个区间 \([-1,1]\)，节点是 \(U_n\) 的零点。我们可以将其视为一种“全局”离散。为了实现“局部自适应”，我们可以这样做：
- 从一组初始的、较稀疏的高斯-切比雪夫节点和权重开始（例如，n=10）。
- 评估被积函数 \(h(x) = f(x)g(x)\) 在这些节点上的值，计算积分近似值 \(I_0\)。
- 然后，检查每对相邻节点构成的子区间。如果这个子区间上函数变化剧烈（用后文介绍的误差估计判断），则在这个子区间上单独应用一个高阶的高斯-切比雪夫公式。注意，这需要在原坐标下的子区间上定义新的权函数。然而，在子区间 \([c,d] \subset [-1,1]\) 上，权函数是 \(1/\sqrt{1-x^2}\)，这不是标准形式。为了应用高斯公式，我们需要一个变量变换，将子区间映射到[-1,1]，且将权函数化为标准形式。这可以通过代数变换实现。
-
子区间上的变量变换：考虑子区间 \([c,d] \subset (-1,1)\)。我们希望计算
\[ I_{[c,d]} = \int_{c}^{d} \frac{h(x)}{\sqrt{1-x^2}} dx. \]
做变量代换 $ x = \cos \theta $，则当 $ x \in [-1,1] $ 时，$ \theta \in [0,\pi] $。在子区间上，这对应于 $ \theta \in [\arccos d, \arccos c] $。积分变为：
\[ I_{[c,d]} = \int_{\arccos d}^{\arccos c} h(\cos \theta) d\theta. \]
这是一个无权重函数的积分！区间是 $[\alpha, \beta] = [\arccos d, \arccos c]$。然后我们可以再次用线性变换 $ \theta = \frac{\beta-\alpha}{2} s + \frac{\beta+\alpha}{2} $，将区间映射到 $[-1,1]$，然后应用标准**高斯-勒让德**求积公式（因为此时被积函数无奇异性权函数，只是可能存在高频振荡）。这一步是关键：通过 $ x=\cos\theta $ 变换，消去了 $ 1/\sqrt{1-x^2} $ 的奇异性，将问题转化到 $ \theta $ 空间。在 $ \theta $ 空间中，端点 $ x=\pm 1 $ 对应 $ \theta=0, \pi $，而端点振荡在 $ \theta $ 空间中可能表现为“边界层”行为（例如，当 $ x\to 1 $，即 $ \theta \to 0 $ 时， $ g(x) = \sin(\omega/(1-x^2)) = \sin(\omega/(1-\cos^2\theta)) = \sin(\omega/\sin^2\theta) $，在 $ \theta $ 接近0时振荡极快）。在 $ \theta $ 空间，我们可以应用标准的局部自适应策略（比如对 $ \theta $ 区间进行自适应细分），而不再受权函数形式束缚。
-
自适应细化过程：
a. 初始化：在原始的 \(x\) 坐标下，选择一个适中的n，用n点高斯-切比雪夫公式计算全局积分近似 \(I_0\)。
b. 转换到 \(\theta\) 坐标：将整个区间 \(x\in[-1,1]\) 通过 \(x=\cos\theta\) 映射到 \(\theta \in [0,\pi]\)，积分变为 \(I=\int_{0}^{\pi} h(\cos\theta) d\theta\)。
c. 在 \(\theta\) 空间应用自适应积分策略（如自适应辛普森或自适应高斯-克朗罗德）：
- 将 \([0,\pi]\) 作为初始区间。
- 计算当前区间（比如 \([\theta_a, \theta_b]\) ）上的积分近似值（例如用低阶和高阶高斯-勒让德公式计算，得到 \(Q_1\) 和 \(Q_2\) ）。
- 估计误差 \(|Q_1 - Q_2|\)。
- 如果误差小于给定容差，则接受该积分值。
- 如果误差大于容差，则将区间对半分为两个子区间，对每个子区间递归执行上述过程。
d. 这个自适应过程会自动在函数变化剧烈（振荡快）的地方细分区间。对于我们的端点振荡问题，在 \(\theta\) 接近0或 \(\pi\) 时，函数 \(h(\cos\theta)\) 振荡剧烈，自适应算法会在此处产生密集的细分。而在中间平缓区域，区间较大。这就实现了“局部自适应”。 -
策略总结：我们并没有直接在高斯-切比雪夫公式上做局部自适应，而是通过 \(x=\cos\theta\) 变换，将带权积分转化为无权重积分，然后在变换后的空间（ \(\theta\) 空间）应用成熟的自适应积分策略。这个方法的巧妙之处在于：
- 它自动处理了原权函数 \(1/\sqrt{1-x^2}\)。
- 它将原积分区间端点 \(x=\pm 1\) 映射为 \(\theta=0,\pi\)，在这两点，被积函数可能剧烈振荡，但不再有权函数奇异性（1/√(1-x²) 的奇异性来自于 dx = -sinθ dθ，与 sinθ 相消）。
- 在 \(\theta\) 空间，我们可以自由使用任何自适应求积法，让算法根据被积函数的实际振荡情况自动决定细分策略，这才是真正的“局部自适应”。
第五步：误差控制与收敛性
在 \(\theta\) 空间使用自适应高斯-克朗罗德法时，误差控制是标准的：比较低阶和高阶公式的结果，如果差值小于预设的绝对容差与相对容差的组合，则接受。由于高斯-克朗罗德公式提供了误差估计，这种方法可靠。对于端点振荡函数，在 \(\theta\) 接近0或π时，细分会使子区间长度指数级减小（因为函数振荡频率增加），最终能保证在这些区域有足够采样点来捕捉振荡，从而控制总误差。
总结：
“高斯-切比雪夫求积公式在带端点振荡函数积分中的局部自适应策略”的核心，不是去修改高斯-切比雪夫公式本身，而是通过 \(x=\cos\theta\) 变换，将带权振荡积分转化为无权重振荡积分，然后在变换后的变量空间应用标准的自适应求积法（如自适应高斯-克朗罗德法）。这个策略巧妙地分离了两个难点：高斯-切比雪夫公式处理权函数奇异性，自适应细分处理端点振荡。最终实现根据被积函数振荡剧烈程度自动调整计算资源（节点分布），在保证精度的同时提高计算效率。