环形石子合并（最大得分）问题

字数 1885 2025-12-05 19:46:02

环形石子合并（最大得分）问题

题目描述：有 N 堆石子排成一个环形，第 i 堆石子有 a[i] 个。现在要将这 N 堆石子合并成一堆，合并的规则是每次只能合并相邻的两堆石子，合并的得分是新一堆石子的总数。目标是求出合并的最大总得分。

示例：石子数量为 [3, 4, 6, 5] 排成环形。一种可能的合并顺序是：

合并 (3, 4) 得 7 分，石子变为 [7, 6, 5]
合并 (5, 7) 得 12 分，石子变为 [12, 6]（注意环形相邻，5 和 7 相邻）
合并 (6, 12) 得 18 分，总得分为 7+12+18=37 分。但可能存在更大得分的合并方式。

解题过程：

问题分析
环形结构增加了相邻关系的复杂性。一个常用技巧是将环形问题转化为线性问题：将原数组复制一份接到后面，形成长度为 2N 的数组。这样，原环形中任意一种合并顺序，都可以对应到这个长度为 2N 的数组中某个长度为 N 的连续子数组的合并问题。
状态定义
设 dp[i][j] 表示合并从第 i 堆到第 j 堆（i 和 j 是复制后数组的索引，且 i <= j）的所有石子成一堆所能获得的最大得分。注意，这里 i 和 j 是复制后数组的索引，取值范围是 0 到 2N-1。
状态转移方程
考虑最后一次合并，它一定是将两堆合并成一堆。假设最后一次合并时，左边那堆是由 i 到 k 合并而成的，右边那堆是由 k+1 到 j 合并而成的。那么合并 i 到 j 的得分为：dp[i][k] + dp[k+1][j] + sum(i, j)，其中 sum(i, j) 是 i 到 j 的石子总数（因为最后一步将两堆合并，新堆石子数为这两堆之和，得分即为这个和）。
由于我们要求最大得分，需要枚举所有可能的分割点 k：
dp[i][j] = max(dp[i][k] + dp[k+1][j] + sum(i, j))，其中 k 从 i 到 j-1。
注意，当 i == j 时，只有一堆石子，不需要合并，得分为 0。
前缀和优化
为了快速计算 sum(i, j)，我们可以使用前缀和数组 preSum，其中 preSum[0]=0, preSum[t]=a[0]+a[1]+...+a[t-1]（复制后的数组）。那么 sum(i, j) = preSum[j+1] - preSum[i]。
环形处理
我们只需在复制后的数组上，对每个可能的起点 i（0 <= i < N），计算长度为 N 的区间 [i, i+N-1] 的最大得分 dp[i][i+N-1]。最终答案就是所有这样的 dp[i][i+N-1] 中的最大值。
计算顺序
由于 dp[i][j] 依赖于更短的区间（即区间长度更小），我们需要按区间长度从小到大计算。先计算所有长度为 1 的区间（得分均为 0），然后长度从 2 到 N 进行计算。
举例演算
以示例 N=4, a=[3,4,6,5] 为例。复制后数组为 [3,4,6,5,3,4,6,5]。
计算前缀和 preSum=[0,3,7,13,18,21,25,31,36]。
计算 dp[0][1]：k 只能为 0，dp[0][1] = dp[0][0]+dp[1][1]+sum(0,1) = 0+0+(7-0)=7。
类似计算其他长度 2 的区间。
然后计算长度 3 的区间，例如 dp[0][2]：
- k=0: dp[0][0]+dp[1][2]+sum(0,2) = 0+dp[1][2]+(13-0)
  dp[1][2] 需要提前算好：k=1 时，dp[1][2]=dp[1][1]+dp[2][2]+sum(1,2)=0+0+(13-3)=10
  所以 k=0 时值为 0+10+13=23
- k=1: dp[0][1]+dp[2][2]+sum(0,2) = 7+0+13=20
  取最大值 23，所以 dp[0][2]=23。
  继续计算所有区间，最后对于每个起点 i，计算 dp[i][i+3]（长度 4），取最大值。
最终答案
最大得分 = max(dp[i][i+N-1])，其中 i 从 0 到 N-1。

这个解法的时间复杂度为 O(N^3)（因为有三重循环：区间长度、起点、分割点），空间复杂度为 O(N^2)。通过环形转线性的技巧，将环形问题转化为线性区间 DP 问题，从而可以求解。

环形石子合并（最大得分）问题题目描述：有 N 堆石子排成一个环形，第 i 堆石子有 a[ i ] 个。现在要将这 N 堆石子合并成一堆，合并的规则是每次只能合并相邻的两堆石子，合并的得分是新一堆石子的总数。目标是求出合并的最大总得分。示例：石子数量为 [ 3, 4, 6, 5 ] 排成环形。一种可能的合并顺序是：合并 (3, 4) 得 7 分，石子变为 [ 7, 6, 5 ] 合并 (5, 7) 得 12 分，石子变为 [ 12, 6 ]（注意环形相邻，5 和 7 相邻）合并 (6, 12) 得 18 分，总得分为 7+12+18=37 分。但可能存在更大得分的合并方式。解题过程：问题分析环形结构增加了相邻关系的复杂性。一个常用技巧是将环形问题转化为线性问题：将原数组复制一份接到后面，形成长度为 2N 的数组。这样，原环形中任意一种合并顺序，都可以对应到这个长度为 2N 的数组中某个长度为 N 的连续子数组的合并问题。状态定义设 dp[ i][ j] 表示合并从第 i 堆到第 j 堆（i 和 j 是复制后数组的索引，且 i <= j）的所有石子成一堆所能获得的最大得分。注意，这里 i 和 j 是复制后数组的索引，取值范围是 0 到 2N-1。状态转移方程考虑最后一次合并，它一定是将两堆合并成一堆。假设最后一次合并时，左边那堆是由 i 到 k 合并而成的，右边那堆是由 k+1 到 j 合并而成的。那么合并 i 到 j 的得分为：dp[ i][ k] + dp[ k+1][ j ] + sum(i, j)，其中 sum(i, j) 是 i 到 j 的石子总数（因为最后一步将两堆合并，新堆石子数为这两堆之和，得分即为这个和）。由于我们要求最大得分，需要枚举所有可能的分割点 k： dp[ i][ j] = max(dp[ i][ k] + dp[ k+1][ j ] + sum(i, j))，其中 k 从 i 到 j-1。注意，当 i == j 时，只有一堆石子，不需要合并，得分为 0。前缀和优化为了快速计算 sum(i, j)，我们可以使用前缀和数组 preSum，其中 preSum[ 0]=0, preSum[ t]=a[ 0]+a[ 1]+...+a[ t-1]（复制后的数组）。那么 sum(i, j) = preSum[ j+1] - preSum[ i ]。环形处理我们只需在复制后的数组上，对每个可能的起点 i（0 <= i < N），计算长度为 N 的区间 [ i, i+N-1] 的最大得分 dp[ i][ i+N-1]。最终答案就是所有这样的 dp[ i][ i+N-1 ] 中的最大值。计算顺序由于 dp[ i][ j ] 依赖于更短的区间（即区间长度更小），我们需要按区间长度从小到大计算。先计算所有长度为 1 的区间（得分均为 0），然后长度从 2 到 N 进行计算。举例演算以示例 N=4, a=[ 3,4,6,5] 为例。复制后数组为 [ 3,4,6,5,3,4,6,5 ]。计算前缀和 preSum=[ 0,3,7,13,18,21,25,31,36 ]。计算 dp[ 0][ 1]：k 只能为 0，dp[ 0][ 1] = dp[ 0][ 0]+dp[ 1][ 1 ]+sum(0,1) = 0+0+(7-0)=7。类似计算其他长度 2 的区间。然后计算长度 3 的区间，例如 dp[ 0][ 2 ]： k=0: dp[ 0][ 0]+dp[ 1][ 2]+sum(0,2) = 0+dp[ 1][ 2 ]+(13-0) dp[ 1][ 2] 需要提前算好：k=1 时，dp[ 1][ 2]=dp[ 1][ 1]+dp[ 2][ 2 ]+sum(1,2)=0+0+(13-3)=10 所以 k=0 时值为 0+10+13=23 k=1: dp[ 0][ 1]+dp[ 2][ 2 ]+sum(0,2) = 7+0+13=20 取最大值 23，所以 dp[ 0][ 2 ]=23。继续计算所有区间，最后对于每个起点 i，计算 dp[ i][ i+3 ]（长度 4），取最大值。最终答案最大得分 = max(dp[ i][ i+N-1 ])，其中 i 从 0 到 N-1。这个解法的时间复杂度为 O(N^3)（因为有三重循环：区间长度、起点、分割点），空间复杂度为 O(N^2)。通过环形转线性的技巧，将环形问题转化为线性区间 DP 问题，从而可以求解。