非线性规划中的序列二次规划-积极集-信赖域反射-自适应屏障-代理模型-梯度投影混合算法进阶题
字数 3843 2025-12-05 19:35:09

非线性规划中的序列二次规划-积极集-信赖域反射-自适应屏障-代理模型-梯度投影混合算法进阶题

题目描述
考虑一个中等规模的非线性规划问题，其一般形式为：

\[\begin{aligned} \min_{x \in \mathbb{R}^n} \quad & f(x) \\ \text{s.t.} \quad & c_i(x) = 0, \quad i \in \mathcal{E}, \\ & c_i(x) \geq 0, \quad i \in \mathcal{I}, \end{aligned} \]

其中目标函数 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 和约束函数 \(c_i: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 均为二阶连续可微。本题目旨在设计并实现一个混合算法，该算法融合了序列二次规划（SQP）的局部快速收敛性、积极集法对约束的精确处理、信赖域反射（Trust Region Reflective）的全局鲁棒性、自适应屏障函数对不等式约束的内点处理、代理模型（如二次插值模型）对复杂函数的高效近似、以及梯度投影法在边界附近的可行性保持。你需要详细阐述算法的每一步，包括子问题构造、迭代更新、参数自适应调整及收敛性保障机制。

解题过程

第一步：算法框架与初始化

  1. 初始化：给定初始点 \(x_0\)，初始信赖域半径 \(\Delta_0 > 0\)，初始屏障参数 \(\mu_0 > 0\)，代理模型精度容差 \(\eta \in (0,1)\)，以及收敛容差 \(\epsilon > 0\)。设置迭代计数器 \(k=0\)。
  2. 框架概述：在每次迭代 \(k\) 中，算法执行以下核心步骤：
    • 构造当前点的代理模型（近似目标函数和约束）。
    • 基于代理模型和积极集识别，建立一个带屏障项的信赖域反射子问题。
    • 求解该子问题得到试探步。
    • 通过实际下降与预测下降的比较，自适应调整信赖域半径和屏障参数。
    • 若试探步被接受，则更新迭代点并可能更新积极集；否则调整信赖域半径重新求解。

第二步：构造代理模型

  1. 目标函数近似：在当前点 \(x_k\) 处，构建一个二次插值模型 \(\tilde{f}_k(x)\) 近似 \(f(x)\)：

\[ \tilde{f}_k(x) = f(x_k) + \nabla f(x_k)^T (x - x_k) + \frac{1}{2} (x - x_k)^T B_k (x - x_k), \]

其中 \(B_k\) 是Hessian矩阵 \(\nabla^2 f(x_k)\) 的拟牛顿近似（如BFGS更新）。
2. 约束近似：对每个约束 \(c_i(x)\)，同样构建线性模型（一阶近似）：

\[ \tilde{c}_i(x) = c_i(x_k) + \nabla c_i(x_k)^T (x - x_k). \]

  1. 模型更新准则：若代理模型的预测精度不足（通过比较模型值与实际函数值的差异判断），则增加采样点或调整插值节点以提高模型保真度。

第三步：积极集识别与屏障函数集成

  1. 积极集估计：在当前点 \(x_k\)，估计有效不等式约束的积极集 \(\mathcal{A}_k \subseteq \mathcal{I}\)，满足：

\[ \mathcal{A}_k = \{ i \in \mathcal{I} \mid c_i(x_k) \leq \tau \text{ 或 } \lambda_i^k > 0 \}, \]

其中 \(\tau > 0\) 是一个小阈值，\(\lambda_i^k\) 是当前拉格朗日乘子估计。等式约束 \(\mathcal{E}\) 始终视为积极。
2. 自适应屏障函数：引入对数屏障函数处理不等式约束，但仅对非积极不等式约束施加屏障项，积极不等式约束则作为等式约束处理。定义屏障惩罚项为：

\[ \phi_\mu(x) = -\mu \sum_{i \in \mathcal{I} \setminus \mathcal{A}_k} \log(c_i(x)), \]

其中 \(\mu > 0\) 是屏障参数。在迭代中，\(\mu\) 将根据可行性进展自适应减小。

第四步：构建信赖域反射子问题

  1. 子问题形式：在信赖域 \(\|x - x_k\| \leq \Delta_k\) 内，求解如下复合子问题：

\[ \begin{aligned} \min_{x \in \mathbb{R}^n} \quad & \tilde{f}_k(x) + \phi_\mu(x) \\ \text{s.t.} \quad & \tilde{c}_i(x) = 0, \quad i \in \mathcal{E}, \\ & \tilde{c}_i(x) = 0, \quad i \in \mathcal{A}_k, \\ & \tilde{c}_i(x) \geq 0, \quad i \in \mathcal{I} \setminus \mathcal{A}_k, \\ & \|x - x_k\| \leq \Delta_k. \end{aligned} \]

  1. 反射变换：为高效处理信赖域边界约束，采用反射变换技巧。定义反射算子 \(\mathcal{R}\)，将子问题变量映射到满足信赖域约束的简化空间。具体地，令 \(p = x - x_k\)，并将信赖域球面参数化，从而将子问题转化为一个更低维的、带边界约束的二次规划。
  2. 子问题求解：使用积极集法求解上述二次规划（因约束均为线性或信赖域反射简化后的线性约束），得到试探步 \(p_k\) 和新的迭代点候选 \(x_k^+ = x_k + p_k\)。

第五步：接受性与参数自适应调整

  1. 实际下降与预测下降：计算实际下降 \(\text{ared}_k = f(x_k) - f(x_k^+)\) 和预测下降 \(\text{pred}_k = \tilde{f}_k(x_k) - \tilde{f}_k(x_k^+)\)。同时，考虑约束违反度变化，定义实际可行性改进 \(\text{afeas}_k = \|c(x_k)\| - \|c(x_k^+)\|\)。
  2. 接受准则：若 \(\text{ared}_k \geq \eta \cdot \text{pred}_k\) 且 \(\text{afeas}_k \geq 0\)，则接受试探步：设置 \(x_{k+1} = x_k^+\)，并进入下一步。否则，拒绝试探步：\(x_{k+1} = x_k\)，缩小信赖域半径 \(\Delta_{k+1} = \gamma_1 \Delta_k\)（如 \(\gamma_1 = 0.5\)）。
  3. 信赖域半径调整：若试探步被接受，则根据预测下降的精度调整半径：
    • 若 \(\text{ared}_k / \text{pred}_k \geq \eta_2\)（如 \(\eta_2 = 0.9\)），表明模型精度高，可扩大半径：\(\Delta_{k+1} = \min(\gamma_2 \Delta_k, \Delta_{\max})\)。
    • 否则保持半径不变。
  4. 屏障参数自适应更新：在每次成功迭代后，根据当前不等式约束的满足程度调整 \(\mu\)。若积极集 \(\mathcal{A}_k\) 中约束的违反度小于某个阈值，则减小屏障参数：\(\mu_{k+1} = \gamma_\mu \mu_k\)（如 \(\gamma_\mu = 0.1\)），以逐步逼近原始问题。若违反度仍大，则保持 \(\mu\) 不变。

第六步：梯度投影修正与收敛判断

  1. 梯度投影步：在每次接受新点 \(x_{k+1}\) 后，为确保严格可行性（尤其对不等式约束），执行一步梯度投影。定义投影算子 \(P_\Omega\) 到可行域近似集 \(\Omega = \{ x \mid c_i(x) \geq 0, i \in \mathcal{I} \}\)。计算梯度投影步：

\[ x_{k+1} \leftarrow P_\Omega\big( x_{k+1} - \alpha \nabla f(x_{k+1}) \big), \]

其中步长 \(\alpha\) 由Armijo线搜索确定，以保证目标函数下降和可行性。
2. 收敛检查：计算当前点的最优性残差，包括梯度残差 \(\|\nabla L(x_k, \lambda_k)\|\) 和约束违反度 \(\|c(x_k)^-\|\)。若两者均小于容差 \(\epsilon\)，则算法终止，输出 \(x_k\) 作为近似最优解。否则，令 \(k \leftarrow k+1\) 并返回第二步。

第七步：算法特性与注意事项

  1. 全局收敛性：由于信赖域框架和梯度投影的可行性保持，算法在适当条件下可保证迭代点列的任何极限点都是原问题的KKT点。
  2. 局部超线性收敛：当迭代接近解时，积极集稳定且代理模型足够精确，算法退化为标准SQP，在拟牛顿更新下可达到超线性收敛。
  3. 计算效率：通过代理模型减少昂贵函数评估，同时利用反射变换降低子问题维度，使算法适用于中等规模问题。

本混合算法集成了多种技术的优点，通过自适应机制平衡全局探索与局部开发，是处理复杂非线性规划问题的一种强健而高效的策略。

非线性规划中的序列二次规划-积极集-信赖域反射-自适应屏障-代理模型-梯度投影混合算法进阶题 题目描述 考虑一个中等规模的非线性规划问题，其一般形式为： $$ \begin{aligned} \min_ {x \in \mathbb{R}^n} \quad & f(x) \\ \text{s.t.} \quad & c_ i(x) = 0, \quad i \in \mathcal{E}, \\ & c_ i(x) \geq 0, \quad i \in \mathcal{I}, \end{aligned} $$ 其中目标函数 $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ 和约束函数 $c_ i: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ 均为二阶连续可微。本题目旨在设计并实现一个混合算法，该算法融合了序列二次规划（SQP）的局部快速收敛性、积极集法对约束的精确处理、信赖域反射（Trust Region Reflective）的全局鲁棒性、自适应屏障函数对不等式约束的内点处理、代理模型（如二次插值模型）对复杂函数的高效近似、以及梯度投影法在边界附近的可行性保持。你需要详细阐述算法的每一步，包括子问题构造、迭代更新、参数自适应调整及收敛性保障机制。 解题过程 第一步：算法框架与初始化 初始化 ：给定初始点 $x_ 0$，初始信赖域半径 $\Delta_ 0 > 0$，初始屏障参数 $\mu_ 0 > 0$，代理模型精度容差 $\eta \in (0,1)$，以及收敛容差 $\epsilon > 0$。设置迭代计数器 $k=0$。 框架概述 ：在每次迭代 $k$ 中，算法执行以下核心步骤： 构造当前点的代理模型（近似目标函数和约束）。 基于代理模型和积极集识别，建立一个带屏障项的信赖域反射子问题。 求解该子问题得到试探步。 通过实际下降与预测下降的比较，自适应调整信赖域半径和屏障参数。 若试探步被接受，则更新迭代点并可能更新积极集；否则调整信赖域半径重新求解。 第二步：构造代理模型 目标函数近似 ：在当前点 $x_ k$ 处，构建一个二次插值模型 $\tilde{f}_ k(x)$ 近似 $f(x)$： $$ \tilde{f}_ k(x) = f(x_ k) + \nabla f(x_ k)^T (x - x_ k) + \frac{1}{2} (x - x_ k)^T B_ k (x - x_ k), $$ 其中 $B_ k$ 是Hessian矩阵 $\nabla^2 f(x_ k)$ 的拟牛顿近似（如BFGS更新）。 约束近似 ：对每个约束 $c_ i(x)$，同样构建线性模型（一阶近似）： $$ \tilde{c}_ i(x) = c_ i(x_ k) + \nabla c_ i(x_ k)^T (x - x_ k). $$ 模型更新准则 ：若代理模型的预测精度不足（通过比较模型值与实际函数值的差异判断），则增加采样点或调整插值节点以提高模型保真度。 第三步：积极集识别与屏障函数集成 积极集估计 ：在当前点 $x_ k$，估计有效不等式约束的积极集 $\mathcal{A}_ k \subseteq \mathcal{I}$，满足： $$ \mathcal{A}_ k = \{ i \in \mathcal{I} \mid c_ i(x_ k) \leq \tau \text{ 或 } \lambda_ i^k > 0 \}, $$ 其中 $\tau > 0$ 是一个小阈值，$\lambda_ i^k$ 是当前拉格朗日乘子估计。等式约束 $\mathcal{E}$ 始终视为积极。 自适应屏障函数 ：引入对数屏障函数处理不等式约束，但仅对非积极不等式约束施加屏障项，积极不等式约束则作为等式约束处理。定义屏障惩罚项为： $$ \phi_ \mu(x) = -\mu \sum_ {i \in \mathcal{I} \setminus \mathcal{A}_ k} \log(c_ i(x)), $$ 其中 $\mu > 0$ 是屏障参数。在迭代中，$\mu$ 将根据可行性进展自适应减小。 第四步：构建信赖域反射子问题 子问题形式 ：在信赖域 $\|x - x_ k\| \leq \Delta_ k$ 内，求解如下复合子问题： $$ \begin{aligned} \min_ {x \in \mathbb{R}^n} \quad & \tilde{f} k(x) + \phi \mu(x) \\ \text{s.t.} \quad & \tilde{c}_ i(x) = 0, \quad i \in \mathcal{E}, \\ & \tilde{c}_ i(x) = 0, \quad i \in \mathcal{A}_ k, \\ & \tilde{c}_ i(x) \geq 0, \quad i \in \mathcal{I} \setminus \mathcal{A}_ k, \\ & \|x - x_ k\| \leq \Delta_ k. \end{aligned} $$ 反射变换 ：为高效处理信赖域边界约束，采用反射变换技巧。定义反射算子 $\mathcal{R}$，将子问题变量映射到满足信赖域约束的简化空间。具体地，令 $p = x - x_ k$，并将信赖域球面参数化，从而将子问题转化为一个更低维的、带边界约束的二次规划。 子问题求解 ：使用积极集法求解上述二次规划（因约束均为线性或信赖域反射简化后的线性约束），得到试探步 $p_ k$ 和新的迭代点候选 $x_ k^+ = x_ k + p_ k$。 第五步：接受性与参数自适应调整 实际下降与预测下降 ：计算实际下降 $\text{ared}_ k = f(x_ k) - f(x_ k^+)$ 和预测下降 $\text{pred}_ k = \tilde{f}_ k(x_ k) - \tilde{f}_ k(x_ k^+)$。同时，考虑约束违反度变化，定义实际可行性改进 $\text{afeas}_ k = \|c(x_ k)\| - \|c(x_ k^+)\|$。 接受准则 ：若 $\text{ared} k \geq \eta \cdot \text{pred} k$ 且 $\text{afeas} k \geq 0$，则接受试探步：设置 $x {k+1} = x_ k^+$，并进入下一步。否则，拒绝试探步：$x {k+1} = x_ k$，缩小信赖域半径 $\Delta {k+1} = \gamma_ 1 \Delta_ k$（如 $\gamma_ 1 = 0.5$）。 信赖域半径调整 ：若试探步被接受，则根据预测下降的精度调整半径： 若 $\text{ared} k / \text{pred} k \geq \eta_ 2$（如 $\eta_ 2 = 0.9$），表明模型精度高，可扩大半径：$\Delta {k+1} = \min(\gamma_ 2 \Delta_ k, \Delta {\max})$。 否则保持半径不变。 屏障参数自适应更新 ：在每次成功迭代后，根据当前不等式约束的满足程度调整 $\mu$。若积极集 $\mathcal{A} k$ 中约束的违反度小于某个阈值，则减小屏障参数：$\mu {k+1} = \gamma_ \mu \mu_ k$（如 $\gamma_ \mu = 0.1$），以逐步逼近原始问题。若违反度仍大，则保持 $\mu$ 不变。 第六步：梯度投影修正与收敛判断 梯度投影步 ：在每次接受新点 $x_ {k+1}$ 后，为确保严格可行性（尤其对不等式约束），执行一步梯度投影。定义投影算子 $P_ \Omega$ 到可行域近似集 $\Omega = \{ x \mid c_ i(x) \geq 0, i \in \mathcal{I} \}$。计算梯度投影步： $$ x_ {k+1} \leftarrow P_ \Omega\big( x_ {k+1} - \alpha \nabla f(x_ {k+1}) \big), $$ 其中步长 $\alpha$ 由Armijo线搜索确定，以保证目标函数下降和可行性。 收敛检查 ：计算当前点的最优性残差，包括梯度残差 $\|\nabla L(x_ k, \lambda_ k)\|$ 和约束违反度 $\|c(x_ k)^-\|$。若两者均小于容差 $\epsilon$，则算法终止，输出 $x_ k$ 作为近似最优解。否则，令 $k \leftarrow k+1$ 并返回第二步。 第七步：算法特性与注意事项 全局收敛性 ：由于信赖域框架和梯度投影的可行性保持，算法在适当条件下可保证迭代点列的任何极限点都是原问题的KKT点。 局部超线性收敛 ：当迭代接近解时，积极集稳定且代理模型足够精确，算法退化为标准SQP，在拟牛顿更新下可达到超线性收敛。 计算效率 ：通过代理模型减少昂贵函数评估，同时利用反射变换降低子问题维度，使算法适用于中等规模问题。 本混合算法集成了多种技术的优点，通过自适应机制平衡全局探索与局部开发，是处理复杂非线性规划问题的一种强健而高效的策略。