高斯-切比雪夫求积公式在带边界层函数积分中的变量替换技巧
题目描述
考虑计算带边界层的振荡衰减函数在区间[-1,1]上的定积分：
\[I = \int_{-1}^{1} w(x) f(x) \, dx, \quad w(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \]
其中被积函数 \(f(x)\) 在区间端点附近存在边界层（即函数在端点附近变化剧烈，例如 \(f(x) = e^{-100(1-x^2)} \sin(10x)\) 在 \(x = \pm 1\) 附近呈指数衰减）。高斯-切比雪夫求积公式是专门处理权函数 \(w(x) = 1/\sqrt{1-x^2}\) 的积分，但其标准节点为 \(x_k = \cos\left( \frac{(2k-1)\pi}{2n} \right)\)，分布在区间内部，端点处无节点。当 \(f(x)\) 在端点有边界层时，标准公式可能因采样不足而导致误差较大。本题要求设计变量替换技巧，使得变换后的被积函数在端点附近被“拉伸”，从而用较少的节点也能精确逼近边界层行为。
解题步骤
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理解问题核心
- 高斯-切比雪夫求积公式（第一类）用于计算形如 \(\int_{-1}^{1} \frac{g(x)}{\sqrt{1-x^2}} dx\) 的积分，节点为切比雪夫多项式的零点，权重均为 \(\pi/n\)。
- 边界层特征：被积函数在端点附近（如 \(x = \pm 1\)）变化剧烈，但高斯-切比雪夫节点在端点处分布稀疏（节点密度在端点处高，但节点本身不包含端点），若边界层非常薄，节点可能无法捕捉到函数在边界层内的变化细节。
- 目标：通过变量替换 \(x = \phi(t)\)，将原积分变换为新积分 \(\int_{-1}^{1} \frac{f(\phi(t))}{\sqrt{1-\phi(t)^2}} \phi'(t) dt\)，使新被积函数在端点附近变化平缓，从而标准高斯-切比雪夫公式能高效积分。
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选择变量替换函数
- 常用替换基于边界层位置。若边界层在 \(x=1\) 附近，可选用指数拉伸变换。例如：
\[ x = 1 - \epsilon \ln(1 - t), \quad t \in [-1, 1) \]
其中 $ \epsilon > 0 $ 为小参数，匹配边界层厚度。但此变换会使积分区间变为半无穷，不适用。
- 更实用的替换是代数映射，如：
\[ x = \frac{t}{\sqrt{1 - \alpha(1 - t^2)}}, \quad \alpha \in (0,1) \]
该映射将 $ t $ 的端点映射到 $ x $ 的端点，且在 $ t \approx \pm 1 $ 时放大 $ x $ 的变化。但需确保逆变换可求且雅可比行列式不过于复杂。
- 为简化，可采用正弦缩放变换：
\[ x = \sin\left( \frac{\pi}{2} t \right) \]
但此变换不保留权函数形式。
- 针对本问题，采用“双曲正切变换”更为合适：
\[ x = \tanh\left( \frac{a t}{\sqrt{1 - t^2}} \right) \]
其中 $ a > 0 $ 控制拉伸强度。但该变换复杂，实践中常使用“代数奇性消除变换”。
- 构造具体变换
- 设边界层厚度参数为 \(\delta \ll 1\)，构造变换：
\[ x = \phi(t) = t + c \cdot \operatorname{sgn}(t) (1 - |t|)^p \]
其中 $ p > 1 $ 控制边界层内的拉伸，$ c $ 为小常数。但此类变换可能破坏积分区间。
- 更系统的方法：令新变量 \(t\) 满足 \(dx/dt\) 在端点处很小，从而将 \(x\) 的边界层对应到 \(t\) 的较大区间。选取：
\[ \frac{dx}{dt} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - t^2}} \]
解得 $ \arcsin(x) = \arcsin(t) / \alpha $，即：
\[ x = \sin\left( \frac{1}{\alpha} \arcsin(t) \right), \quad \alpha > 1 \]
此变换保持权函数形式：代入原积分得
\[ I = \int_{-1}^{1} \frac{f(\phi(t))}{\sqrt{1 - t^2}} \cdot \frac{1}{\alpha} \cdot \frac{\cos(\arcsin(t)/\alpha)}{\cos(\arcsin(t))} \, dt \]
但新被积函数含额外因子，不再符合标准高斯-切比雪夫权函数。
- 修正：选择变换使 \(dx/dt = \gamma / \sqrt{1 - x^2}\)，则 \(\phi'(t) = \gamma / \sqrt{1 - \phi(t)^2}\)，代入原积分：
\[ I = \int_{-1}^{1} \frac{f(\phi(t))}{\sqrt{1 - \phi(t)^2}} \cdot \frac{\gamma}{\sqrt{1 - \phi(t)^2}} \, dt = \gamma \int_{-1}^{1} \frac{f(\phi(t))}{1 - \phi(t)^2} \, dt \]
仍不符合标准形式。
- 实用变换设计
- 实际中，采用“边界层拟合变换”：设 \(f(x)\) 在边界层内近似为 \(e^{-\beta(1 \mp x)}\)，则令：
\[ x = 1 - \delta \ln\left( \frac{2}{1 + t} \right) \quad (\text{对} x \approx 1 \text{区域}) \]
但此变换需分段组合，复杂。
- 推荐使用“代数奇性消除+线性缩放”组合：
\[ x = \frac{t}{(1 - |t|)^s + |t|}, \quad s \in (0,1) \]
此变换在 $ t \to \pm 1 $ 时，$ x \to \pm 1 $，且导数在端点趋于无穷，从而将边界层拉伸。但需注意变换的单调性和可逆性。
- 为简化计算，通常采用 erf 缩放：
\[ x = \operatorname{erf}\left( \frac{K t}{\sqrt{1 - t^2}} \right) \]
其中 $ K $ 为缩放因子。erf 函数将无穷区间映射到 [-1,1]，且导数在端点指数衰减，适合边界层。
- 应用高斯-切比雪夫求积公式
- 选定变换 \(x = \phi(t)\) 后，原积分变为：
\[ I = \int_{-1}^{1} \frac{f(\phi(t))}{\sqrt{1 - \phi(t)^2}} \phi'(t) \, dt \]
若 $ \phi(t) $ 设计得当，新被积函数 $ g(t) = \frac{f(\phi(t))}{\sqrt{1 - \phi(t)^2}} \phi'(t) $ 在区间端点变化平缓。
- 用 n 点高斯-切比雪夫公式计算近似值：
\[ I_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{\pi}{n} g(t_k), \quad t_k = \cos\left( \frac{(2k-1)\pi}{2n} \right) \]
- 由于变换拉伸了边界层，原来需要很多节点才能捕捉的快速变化，现在用较少节点即可达到高精度。
- 误差与参数选择
- 误差来源：① 高斯-切比雪夫公式的截断误差（与被积函数光滑性有关）；② 变换引入的近似（若边界层模型不精确）。
- 关键参数（如拉伸强度）需根据边界层厚度调整：可先估计边界层厚度 \(\delta\)（如通过 \(f(x)\) 的二阶导数），然后令变换的导数在端点处量级为 \(O(1/\delta)\)。
- 验证：比较不同节点数 n 的结果，观察收敛速度；若无变换时收敛慢，有变换后收敛加速，则变换有效。
总结
通过变量替换将原积分的边界层“拉伸”，使新被积函数更平滑，再利用高斯-切比雪夫公式计算。此技巧的关键是设计合适的单调变换函数，使得边界层内的函数变化被放大到更大的变量区间，从而被求积公式的节点有效采样。实际应用时需根据具体边界层形式调整变换参数，有时需结合数值试验确定最优拉伸因子。