逻辑回归（Logistic Regression）算法的原理与二分类计算过程 我将为你讲解逻辑回归算法的核心原理、建模思路以及具体的计算步骤，让你理解它如何处理二分类问题。 题目描述 逻辑回归是一种经典的线性分类模型，用于解决二分类问题（如预测邮件是否为垃圾邮件、判断肿瘤是良性还是恶性等）。尽管名字中有“回归”，但实际上用于分类。它的核心思想是：通过对数几率（log-odds）进行线性建模，再通过Sigmoid函数将线性结果映射到[ 0,1 ]区间，得到样本属于正类的概率，最后通过设定阈值（通常为0.5）进行分类决策。我们需要理解其模型假设、概率表示、损失函数推导及参数优化过程。 解题过程逐步讲解 第一步：问题建模与基本思路 在二分类中，我们想要预测某个样本属于正类（y=1）的概率P(y=1|x)，其中x是特征向量。 直接使用线性回归模型（z = wᵀx + b）输出连续值不适合表示概率，因为其输出范围是(-∞, +∞)，无法限定在[ 0,1 ]。 逻辑回归的巧妙之处：先对“几率”（odds，即P/(1-P)）取自然对数，称为“对数几率”（logit），并假设它与特征x呈线性关系： log(P/(1-P)) = wᵀx + b 通过这个假设，我们就能用线性函数来刻画分类边界，同时保证输出是概率。 第二步：Sigmoid函数与概率表达式 对上述等式进行变换，可以解出P(y=1|x)： P = 1 / (1 + e^-(wᵀx+b)) 这个表达式正是Sigmoid函数（也称为Logistic函数）的形式：σ(z) = 1/(1+e⁻ᶻ)，其中z = wᵀx + b。 Sigmoid函数将线性组合z映射到(0,1)之间，具备良好的可导性，其输出可解释为概率。 因此，逻辑回归模型为： P(y=1|x; w,b) = σ(wᵀx + b) P(y=0|x; w,b) = 1 - σ(wᵀx + b) 第三步：构造损失函数（极大似然估计） 为了训练模型，需要定义损失函数来度量预测概率与真实标签的差距。 对于单个样本(x,y)，其概率可统一写为： P(y|x; w,b) = (σ(z))ʸ · (1-σ(z))¹⁻ʸ （当y=1时取前项，y=0时取后项） 假设有m个独立同分布的样本，则似然函数为所有样本概率的乘积： L(w,b) = ∏ᵢ P(y⁽ⁱ⁾|x⁽ⁱ⁾; w,b) 为方便计算，取对数似然函数（将乘法转为加法）： ℓ(w,b) = ∑ᵢ [ y⁽ⁱ⁾ log σ(z⁽ⁱ⁾) + (1-y⁽ⁱ⁾) log (1-σ(z⁽ⁱ⁾)) ] 我们的目标是最大化对数似然函数，这等价于最小化其负值，由此得到损失函数（即交叉熵损失）： J(w,b) = -1/m ∑ᵢ [ y⁽ⁱ⁾ log σ(z⁽ⁱ⁾) + (1-y⁽ⁱ⁾) log (1-σ(z⁽ⁱ⁾)) ] 第四步：梯度计算与参数优化 通常使用梯度下降法优化参数w和b。为此需要计算损失函数对参数的梯度。 首先求Sigmoid函数的导数：σ'(z) = σ(z)(1-σ(z))。 计算损失函数对线性组合z⁽ⁱ⁾的偏导： ∂J/∂z⁽ⁱ⁾ = σ(z⁽ⁱ⁾) - y⁽ⁱ⁾ （经过推导，形式非常简单） 再根据链式法则，求对参数wⱼ（第j个权重）的偏导： ∂J/∂wⱼ = 1/m ∑ᵢ (σ(z⁽ⁱ⁾)-y⁽ⁱ⁾) xⱼ⁽ⁱ⁾ 同理，对偏置b的偏导：∂J/∂b = 1/m ∑ᵢ (σ(z⁽ⁱ⁾)-y⁽ⁱ⁾) 梯度下降更新公式（α为学习率）： wⱼ := wⱼ - α · ∂J/∂wⱼ b := b - α · ∂J/∂b 迭代更新直到收敛，得到最优参数w 和b 。 第五步：模型预测与决策 训练完成后，对于新样本x_ new，计算z = w ᵀx_ new + b ，再通过Sigmoid得到概率： p = σ(z) = 1/(1+e⁻ᶻ) 设定阈值（通常为0.5）： 若p ≥ 0.5，预测为正类（ŷ=1） 若p < 0.5，预测为负类（ŷ=0） 阈值可根据实际问题调整（如对查全率要求高时降低阈值）。 总结 逻辑回归通过Sigmoid函数将线性回归的输出转化为概率，利用极大似然估计推导出交叉熵损失，并用梯度下降优化参数。整个过程清晰、可解释性强，是理解分类模型的基础。其扩展（如Softmax回归）可处理多分类问题，而加入正则化（L1/L2）可防止过拟合。