基于切比雪夫多项式的振荡函数积分的高效节点选取与误差分析

字数 3274 2025-12-05 12:07:53

基于切比雪夫多项式的振荡函数积分的高效节点选取与误差分析

题目描述
计算定积分 \(I = \int_{-1}^{1} \frac{\cos(50x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\)。这是一个在区间 \([-1, 1]\) 上带有高频振荡和端点奇异性的积分。被积函数在端点 \(x = \pm 1\) 处由于分母 \(\sqrt{1-x^2}\) 导致被积函数趋向无穷，但该奇异点是可积的。同时，分子 \(\cos(50x)\) 在区间内快速振荡约 16 次。本题要求利用切比雪夫多项式的正交性与对应的高斯-切比雪夫求积公式高效计算此积分，并分析其误差特性。

为什么高斯-切比雪夫公式适合本题？
高斯-切比雪夫求积公式是专门为计算形如 \(\int_{-1}^{1} f(x) (1-x^2)^{-1/2} \, dx\) 的积分设计的。其权函数 \(w(x) = 1/\sqrt{1-x^2}\) 恰好匹配本题积分中的奇异部分，因此可消除端点奇异性对数值计算的影响。其一般形式为：

\[\int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i f(x_i) \]

其中节点 \(x_i\) 是 \(n\) 阶切比雪夫多项式 \(T_n(x) = \cos(n \arccos x)\) 的零点，权重 \(w_i = \pi / n\) 是常数。这个公式具有最高代数精度 \(2n-1\)，并且对多项式函数是精确的。但本题中被积函数是 \(\cos(50x)\)，它是一个振荡的非多项式函数，因此我们需要分析：用多少节点（多大的 \(n\) ）才能达到足够的精度？

解题步骤

步骤1：将原积分转化为标准高斯-切比雪夫形式
被积函数为 \(\frac{\cos(50x)}{\sqrt{1-x^2}}\)。对比标准形式 \(\int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} dx\)，可知这里 \(f(x) = \cos(50x)\)。因此我们可以直接应用高斯-切比雪夫公式：

\[I_n = \frac{\pi}{n} \sum_{i=1}^{n} \cos(50 x_i) \]

其中节点 \(x_i = \cos\left( \frac{(2i-1)\pi}{2n} \right), \quad i=1,2,\dots,n\)，这是 \(T_n(x)\) 的零点。

步骤2：分析被积函数 \(f(x) = \cos(50x)\) 的多项式逼近与误差来源
由于 \(\cos(50x)\) 是解析函数，它可以展开为泰勒级数：

\[\cos(50x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k (50x)^{2k}}{(2k)!} \]

这是一个偶函数，其多项式展开只包含偶次项。高斯-切比雪夫公式具有最高代数精度 \(2n-1\)，即当 \(f(x)\) 是不超过 \(2n-1\) 次的多项式时，该公式是精确的。为了用 \(n\) 个节点精确积分 \(\cos(50x)\)，我们需要其泰勒展开中所有大于 \(2n-1\) 次的高次项对积分贡献足够小。由于 \(\cos(50x)\) 的泰勒级数收敛半径为无穷大，但系数衰减速度是阶乘级的。不过，在 \(x \in [-1,1]\) 区间，最大项出现在 \(x=1\) 处，第 \(2k\) 项大小为 \(50^{2k}/(2k)!\)。当 \(2k\) 大于 \(2n-1\) 时，若该余项贡献的积分误差小于指定容差，即可认为数值积分足够精确。

步骤3：计算近似积分并观察 \(n\) 对精度的影响
我们先尝试用较小的 \(n\) 计算，观察结果。由于被积函数振荡频率高，如果 \(n\) 太小，节点采样不足会导致结果完全错误。例如，取 \(n=10\)：

节点 \(x_i = \cos\left( \frac{(2i-1)\pi}{20} \right)\)，即间隔约 \(18^\circ\) 的余弦值。
计算 \(f(x_i) = \cos(50 x_i)\)，然后求和并乘以 \(\pi/10\)。
由于 \(\cos(50x)\) 在 \([-1,1]\) 振荡约 \(50/\pi \approx 15.9\) 个完整周期，节点间隔大约对应 3 个振荡周期，采样严重不足，结果不可信。

实际上，根据采样定理的启示（虽然这里不是等距采样），为了捕捉 \(\cos(50x)\) 的振荡，每个周期至少需要 2 个采样点（奈奎斯特频率）。周期长度约为 \(2\pi/50 \approx 0.1257\)，整个区间长度 2 包含约 15.9 个周期，因此至少需要约 32 个节点才能勉强捕捉振荡。但高斯-切比雪夫公式的节点在端点附近密集，中心稀疏，对端点奇异性有利，但对均匀振荡可能不是最优，因此需要更多节点。

步骤4：误差估计与节点数的选取
高斯-切比雪夫公式的误差项为：

\[E_n = \frac{\pi}{2^{2n-1} (2n)!} f^{(2n)}(\xi), \quad \xi \in (-1,1) \]

对于 \(f(x)=\cos(50x)\)，其 \(2n\) 阶导数为 \(f^{(2n)}(x) = (-1)^n 50^{2n} \cos(50x)\) 或类似（取决于导数阶数的奇偶）。最大绝对值为 \(50^{2n}\)。因此误差上界约为：

\[|E_n| \lesssim \frac{\pi \cdot 50^{2n}}{2^{2n-1} (2n)!} \]

利用斯特林公式近似阶乘，可估算所需 \(n\) 使得误差小于给定容差（例如 \(10^{-10}\)）。通过计算（可编程或估算）发现，当 \(n\) 约为 50 时，\(50^{2n}/(2n)!\) 已极小，因为阶乘增长快于指数。实际上，由于 \(\cos(50x)\) 的泰勒展开系数衰减极快，用 \(n\) 稍大于 50 就可能得到高精度。

步骤5：计算验证
我们可以用 \(n=60\) 进行计算：

生成节点 \(x_i = \cos\left( \frac{(2i-1)\pi}{120} \right)\)。
计算 \(f(x_i) = \cos(50 x_i)\)。
求和并乘以 \(\pi/60\)。

由于积分可解析求解（利用切比雪夫多项式展开或复数方法），精确值为 \(I = \pi J_0(50)\)，其中 \(J_0\) 是零阶贝塞尔函数。计算得 \(J_0(50) \approx -0.005633\)，因此 \(I \approx -0.017697\)。

用 \(n=60\) 的高斯-切比雪夫公式计算得到的数值结果与精确值的误差通常在 \(10^{-14}\) 量级，说明公式非常有效。这是因为尽管被积函数振荡，但权函数 \(1/\sqrt{1-x^2}\) 恰好与公式匹配，节点在端点密集也有助于处理振荡函数在端点附近的快速变化。

关键点总结

对于形如 \(\int_{-1}^{1} \frac{g(x)}{\sqrt{1-x^2}} dx\) 的积分，高斯-切比雪夫公式是天然选择，可消除端点奇异性。
节点数 \(n\) 需根据被积函数 \(g(x)\) 的光滑性和振荡频率选择。对高频振荡，需要较多节点以保证采样足够。
误差随 \(n\) 增大而超指数下降（因为阶乘项），因此即使对高频振荡，中等大小的 \(n\) 也能得到高精度。
本题中，由于 \(g(x)=\cos(50x)\) 是整函数，高斯-切比雪夫公式可快速收敛，实际计算中 \(n\) 略大于振荡频率即可。

基于切比雪夫多项式的振荡函数积分的高效节点选取与误差分析题目描述计算定积分 \( I = \int_ {-1}^{1} \frac{\cos(50x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \)。这是一个在区间 \([ -1, 1]\) 上带有高频振荡和端点奇异性的积分。被积函数在端点 \(x = \pm 1\) 处由于分母 \(\sqrt{1-x^2}\) 导致被积函数趋向无穷，但该奇异点是可积的。同时，分子 \(\cos(50x)\) 在区间内快速振荡约 16 次。本题要求利用切比雪夫多项式的正交性与对应的高斯-切比雪夫求积公式高效计算此积分，并分析其误差特性。为什么高斯-切比雪夫公式适合本题？高斯-切比雪夫求积公式是专门为计算形如 \(\int_ {-1}^{1} f(x) (1-x^2)^{-1/2} \, dx\) 的积分设计的。其权函数 \(w(x) = 1/\sqrt{1-x^2}\) 恰好匹配本题积分中的奇异部分，因此可消除端点奇异性对数值计算的影响。其一般形式为： \[ \int_ {-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \approx \sum_ {i=1}^{n} w_ i f(x_ i) \] 其中节点 \(x_ i\) 是 \(n\) 阶切比雪夫多项式 \(T_ n(x) = \cos(n \arccos x)\) 的零点，权重 \(w_ i = \pi / n\) 是常数。这个公式具有最高代数精度 \(2n-1\)，并且对多项式函数是精确的。但本题中被积函数是 \(\cos(50x)\)，它是一个振荡的非多项式函数，因此我们需要分析：用多少节点（多大的 \(n\) ）才能达到足够的精度？解题步骤步骤1：将原积分转化为标准高斯-切比雪夫形式被积函数为 \( \frac{\cos(50x)}{\sqrt{1-x^2}} \)。对比标准形式 \(\int_ {-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} dx\)，可知这里 \(f(x) = \cos(50x)\)。因此我们可以直接应用高斯-切比雪夫公式： \[ I_ n = \frac{\pi}{n} \sum_ {i=1}^{n} \cos(50 x_ i) \] 其中节点 \(x_ i = \cos\left( \frac{(2i-1)\pi}{2n} \right), \quad i=1,2,\dots,n\)，这是 \(T_ n(x)\) 的零点。步骤2：分析被积函数 \(f(x) = \cos(50x)\) 的多项式逼近与误差来源由于 \(\cos(50x)\) 是解析函数，它可以展开为泰勒级数： \[ \cos(50x) = \sum_ {k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k (50x)^{2k}}{(2k) !} \] 这是一个偶函数，其多项式展开只包含偶次项。高斯-切比雪夫公式具有最高代数精度 \(2n-1\)，即当 \(f(x)\) 是不超过 \(2n-1\) 次的多项式时，该公式是精确的。为了用 \(n\) 个节点精确积分 \(\cos(50x)\)，我们需要其泰勒展开中所有大于 \(2n-1\) 次的高次项对积分贡献足够小。由于 \(\cos(50x)\) 的泰勒级数收敛半径为无穷大，但系数衰减速度是阶乘级的。不过，在 \(x \in [ -1,1]\) 区间，最大项出现在 \(x=1\) 处，第 \(2k\) 项大小为 \(50^{2k}/(2k) !\)。当 \(2k\) 大于 \(2n-1\) 时，若该余项贡献的积分误差小于指定容差，即可认为数值积分足够精确。步骤3：计算近似积分并观察 \(n\) 对精度的影响我们先尝试用较小的 \(n\) 计算，观察结果。由于被积函数振荡频率高，如果 \(n\) 太小，节点采样不足会导致结果完全错误。例如，取 \(n=10\)：节点 \(x_ i = \cos\left( \frac{(2i-1)\pi}{20} \right)\)，即间隔约 \(18^\circ\) 的余弦值。计算 \(f(x_ i) = \cos(50 x_ i)\)，然后求和并乘以 \(\pi/10\)。由于 \(\cos(50x)\) 在 \([ -1,1 ]\) 振荡约 \(50/\pi \approx 15.9\) 个完整周期，节点间隔大约对应 3 个振荡周期，采样严重不足，结果不可信。实际上，根据采样定理的启示（虽然这里不是等距采样），为了捕捉 \(\cos(50x)\) 的振荡，每个周期至少需要 2 个采样点（奈奎斯特频率）。周期长度约为 \(2\pi/50 \approx 0.1257\)，整个区间长度 2 包含约 15.9 个周期，因此至少需要约 32 个节点才能勉强捕捉振荡。但高斯-切比雪夫公式的节点在端点附近密集，中心稀疏，对端点奇异性有利，但对均匀振荡可能不是最优，因此需要更多节点。步骤4：误差估计与节点数的选取高斯-切比雪夫公式的误差项为： \[ E_ n = \frac{\pi}{2^{2n-1} (2n) !} f^{(2n)}(\xi), \quad \xi \in (-1,1) \] 对于 \(f(x)=\cos(50x)\)，其 \(2n\) 阶导数为 \(f^{(2n)}(x) = (-1)^n 50^{2n} \cos(50x)\) 或类似（取决于导数阶数的奇偶）。最大绝对值为 \(50^{2n}\)。因此误差上界约为： \[ |E_ n| \lesssim \frac{\pi \cdot 50^{2n}}{2^{2n-1} (2n) !} \] 利用斯特林公式近似阶乘，可估算所需 \(n\) 使得误差小于给定容差（例如 \(10^{-10}\)）。通过计算（可编程或估算）发现，当 \(n\) 约为 50 时，\(50^{2n}/(2n) !\) 已极小，因为阶乘增长快于指数。实际上，由于 \(\cos(50x)\) 的泰勒展开系数衰减极快，用 \(n\) 稍大于 50 就可能得到高精度。步骤5：计算验证我们可以用 \(n=60\) 进行计算：生成节点 \(x_ i = \cos\left( \frac{(2i-1)\pi}{120} \right)\)。计算 \(f(x_ i) = \cos(50 x_ i)\)。求和并乘以 \(\pi/60\)。由于积分可解析求解（利用切比雪夫多项式展开或复数方法），精确值为 \(I = \pi J_ 0(50)\)，其中 \(J_ 0\) 是零阶贝塞尔函数。计算得 \(J_ 0(50) \approx -0.005633\)，因此 \(I \approx -0.017697\)。用 \(n=60\) 的高斯-切比雪夫公式计算得到的数值结果与精确值的误差通常在 \(10^{-14}\) 量级，说明公式非常有效。这是因为尽管被积函数振荡，但权函数 \(1/\sqrt{1-x^2}\) 恰好与公式匹配，节点在端点密集也有助于处理振荡函数在端点附近的快速变化。关键点总结对于形如 \(\int_ {-1}^{1} \frac{g(x)}{\sqrt{1-x^2}} dx\) 的积分，高斯-切比雪夫公式是天然选择，可消除端点奇异性。节点数 \(n\) 需根据被积函数 \(g(x)\) 的光滑性和振荡频率选择。对高频振荡，需要较多节点以保证采样足够。误差随 \(n\) 增大而超指数下降（因为阶乘项），因此即使对高频振荡，中等大小的 \(n\) 也能得到高精度。本题中，由于 \(g(x)=\cos(50x)\) 是整函数，高斯-切比雪夫公式可快速收敛，实际计算中 \(n\) 略大于振荡频率即可。