分块矩阵的广义极小残差算法（FGMRES）在求解多重右端项非对称线性方程组中的应用
字数 3570 2025-12-05 12:02:24

分块矩阵的广义极小残差算法（FGMRES）在求解多重右端项非对称线性方程组中的应用

1. 题目描述

考虑求解如下形式的多重右端项线性方程组：

\[A X = B \]

其中：

  • \(A\) 是一个 \(n \times n\) 的非对称稀疏（或稠密）矩阵，可能为非正定或病态。
  • \(B = [b^{(1)}, b^{(2)}, \dots, b^{(p)}]\) 是 \(n \times p\) 的右端项矩阵，包含 \(p\) 个右端向量。
  • \(X = [x^{(1)}, x^{(2)}, \dots, x^{(p)}]\) 是 \(n \times p\) 的解矩阵，我们需要高效地同时求解 \(p\) 个线性方程组：

\[ A x^{(k)} = b^{(k)}, \quad k = 1, 2, \dots, p. \]

核心挑战：当 \(p\) 较大时，如果对每个右端项独立调用标准GMRES算法，会重复执行大量相同矩阵 \(A\) 的矩阵-向量乘法，计算成本很高。我们需要一种能重用Krylov子空间信息的方法，以加速整体求解过程。灵活广义极小残差法（FGMRES）通过允许每次迭代使用不同的预处理子，能够更灵活地应对多重右端项问题，特别是当右端项存在某种相关性时。

2. 核心思想

标准GMRES通过构造Krylov子空间 \(\mathcal{K}_m(A, r_0) = \text{span}\{r_0, A r_0, \dots, A^{m-1} r_0\}\) 来逼近解，其中 \(r_0 = b - A x_0\) 是初始残差。对于多重右端项，我们可以：

  1. 顺序求解，但重用之前构造的部分Krylov子空间基向量，以“热启动”后续求解。
  2. 使用块Krylov子空间方法，一次性生成包含所有右端项的块Krylov子空间，但该方法在 \(p\) 较大时子空间维数增长过快。
  3. 采用循环或回收策略的FGMRES，在求解每个右端项时，允许动态调整预处理子，并可能复用前一个右端项已构造的部分正交基，从而减少总迭代次数。

FGMRES的核心特点：

  • 是GMRES的变体，其预处理操作可以是可变的（即预处理矩阵 \(M_j\) 可以随迭代步 \(j\) 变化）。
  • 对于多重右端项，我们可以在求解不同右端项时，采用不同的预处理策略，或者逐步更新预处理子以逼近 \(A^{-1}\) 的某种低秩近似。
  • 在顺序求解中，可将上一个系统的解向量或最终的Krylov子空间作为下一个系统的初始猜测或预处理子的一部分，从而加速收敛。

3. 算法步骤与推导

我们以顺序求解 \(p\) 个右端项为例，对每个 \(k = 1, \dots, p\) 使用FGMRES，并尝试利用之前求解的信息。

步骤1：初始化全局参数

  • 设定最大重启次数 \(m_{\max}\)（每个FGMRES循环的最大子空间维数）。
  • 设定容差 \(\tau\) 和最大迭代步数。
  • 可选择一个初始预处理子 \(M_1^{-1}\)（例如，基于 \(A\) 的不完全LU分解）。

步骤2：顺序求解每个右端项

对第 \(k\) 个右端项 \(b^{(k)}\)：

  1. 设置初始猜测：

    • 如果 \(k = 1\)，取 \(x_0^{(1)} = 0\) 或任意猜测。
    • 如果 \(k > 1\)，可利用前面已求得的解，例如 \(x_0^{(k)} = x^{(k-1)}\) 或更复杂的插值。
    • 计算初始残差：\(r_0^{(k)} = b^{(k)} - A x_0^{(k)}\)。

  2. 运行FGMRES(\(m_{\max}\))：

    • 与标准GMRES类似，构建Krylov子空间 \(\mathcal{K}_{m}(A, r_0^{(k)})\)，但允许每一步使用不同的预处理子 \(M_j^{-1}\)。
    • Arnoldi过程（可变预处理）：
      a. 令 \(v_1 = r_0^{(k)} / \| r_0^{(k)} \|_2\)。
      b. 对 \(j = 1, 2, \dots, m\)：
      • 计算 \(z_j = M_j^{-1} v_j\)（应用当前步的预处理）。
      • 计算 \(w = A z_j\)。
      • 对 \(i = 1, \dots, j\)：

\[ h_{i,j} = (w, v_i) \]

\[ w = w - h_{i,j} v_i \]

    - 令 $ h_{j+1,j} = \| w \|_2 $，若 $ h_{j+1,j} = 0 $ 则提前终止。
    - 令 $ v_{j+1} = w / h_{j+1,j} $。
 c. 得到正交基矩阵 $ V_m = [v_1, \dots, v_m] $ 和上Hessenberg矩阵 $ \bar{H}_m \in \mathbb{R}^{(m+1) \times m} $。
  • 最小二乘求解：
    寻找 \(y_m \in \mathbb{R}^m\) 使得

\[ \| \beta e_1 - \bar{H}_m y_m \|_2 \]

 最小，其中 $ \beta = \| r_0^{(k)} \|_2 $，$ e_1 = [1, 0, \dots, 0]^T \in \mathbb{R}^{m+1} $。
  • 更新近似解：

\[ x_m^{(k)} = x_0^{(k)} + Z_m y_m, \quad Z_m = [z_1, \dots, z_m] \]

 （注意：$ z_j $ 是预处理后的向量，因此解是 $ z_j $ 的组合）。
  • 如果残差已满足 \(\| b^{(k)} - A x_m^{(k)} \|_2 < \tau\)，则接受解并进入下一个右端项；否则，重启或增加 \(m\)。
  1. 为下一个右端项更新预处理子：
    • 在完成第 \(k\) 个系统后，可基于已构造的Krylov子空间 \(V_m\) 和矩阵 \(H_m\) 更新预处理子 \(M^{-1}\)。
    • 一种简单策略：用已求得的解 \(x^{(k)}\) 对应的Krylov子空间构造一个低秩近似预处理子。例如，设 \(P_k = V_m (H_m)^{-1} V_m^T\)，并令 \(M_{k+1}^{-1} = P_k + M_0^{-1}\)（其中 \(M_0^{-1}\) 是基础预处理子）。
    • 更实用的方法是：将前几个右端项求解过程中的 \(Z_m\) 和 \(V_m\) 部分保存，用于构造后续系统的初始猜测或右预处理子。

步骤3：整体加速技巧

  • 循环/回收FGMRES：在达到最大子空间维数 \(m_{\max}\) 后，不丢弃所有基向量，而是保留部分“最优”基向量，用于下一个右端项的初始子空间构造。
  • 近似逆预处理更新：利用Sherman-Morrison-Woodbury公式，基于前一个系统的Krylov子空间信息，更新预处理矩阵的近似逆。

4. 算法优势与适用场景

  • 优势：

    1. 预处理灵活性：可针对每个右端项或迭代步调整预处理，适应矩阵 \(A\) 的不同频谱区域。
    2. 信息重用：通过顺序求解和预处理更新，可减少总迭代步数。
    3. 内存可控：通过重启机制控制内存使用，适合大规模问题。

  • 适用场景：

    • 右端项 \(b^{(k)}\) 之间存在相关性（例如，随时间步变化的右端项）。
    • 矩阵 \(A\) 为非对称、非正定，且标准GMRES收敛较慢，需动态调整预处理。
    • 系统需要求解多个右端项，但预处理构造成本较高，希望分摊成本。

5. 注意事项与扩展

  • 预处理子的更新策略是影响效率的关键。过于频繁的更新会增加计算开销，需权衡更新频率与收敛加速。
  • 如果右端项之间差异很大，信息重用的效果可能有限，此时可考虑块Krylov方法（如块GMRES）或独立求解。
  • FGMRES的收敛理论较复杂，因为预处理可变，标准GMRES的最优性性质不再严格保持，但在实践中常表现稳健。

总结：分块矩阵的FGMRES算法通过顺序求解多重右端项，并利用可变预处理和Krylov子空间信息重用，在非对称线性方程组的求解中提供了灵活且高效的策略。其核心在于动态调整预处理和循环使用基向量，从而在多个右端项间分摊计算成本，加速整体求解过程。

分块矩阵的广义极小残差算法（FGMRES）在求解多重右端项非对称线性方程组中的应用 1. 题目描述 考虑求解如下形式的多重右端项线性方程组： \[ A X = B \] 其中： \( A \) 是一个 \( n \times n \) 的非对称稀疏（或稠密）矩阵，可能为非正定或病态。 \( B = [ b^{(1)}, b^{(2)}, \dots, b^{(p)} ] \) 是 \( n \times p \) 的右端项矩阵，包含 \( p \) 个右端向量。 \( X = [ x^{(1)}, x^{(2)}, \dots, x^{(p)} ] \) 是 \( n \times p \) 的解矩阵，我们需要高效地同时求解 \( p \) 个线性方程组： \[ A x^{(k)} = b^{(k)}, \quad k = 1, 2, \dots, p. \] 核心挑战 ：当 \( p \) 较大时，如果对每个右端项独立调用标准GMRES算法，会重复执行大量相同矩阵 \( A \) 的矩阵-向量乘法，计算成本很高。我们需要一种能重用Krylov子空间信息的方法，以加速整体求解过程。 灵活广义极小残差法 （FGMRES）通过允许每次迭代使用不同的预处理子，能够更灵活地应对多重右端项问题，特别是当右端项存在某种相关性时。 2. 核心思想 标准GMRES通过构造Krylov子空间 \( \mathcal{K}_ m(A, r_ 0) = \text{span}\{r_ 0, A r_ 0, \dots, A^{m-1} r_ 0\} \) 来逼近解，其中 \( r_ 0 = b - A x_ 0 \) 是初始残差。对于多重右端项，我们可以： 顺序求解，但重用之前构造的部分Krylov子空间基向量，以“热启动”后续求解。 使用 块Krylov子空间方法 ，一次性生成包含所有右端项的块Krylov子空间，但该方法在 \( p \) 较大时子空间维数增长过快。 采用 循环或回收策略 的FGMRES，在求解每个右端项时，允许动态调整预处理子，并可能复用前一个右端项已构造的部分正交基，从而减少总迭代次数。 FGMRES的核心特点 ： 是GMRES的变体，其预处理操作可以是可变的（即预处理矩阵 \( M_ j \) 可以随迭代步 \( j \) 变化）。 对于多重右端项，我们可以在求解不同右端项时，采用不同的预处理策略，或者逐步更新预处理子以逼近 \( A^{-1} \) 的某种低秩近似。 在顺序求解中，可将上一个系统的解向量或最终的Krylov子空间作为下一个系统的初始猜测或预处理子的一部分，从而加速收敛。 3. 算法步骤与推导 我们以 顺序求解 \( p \) 个右端项为例，对每个 \( k = 1, \dots, p \) 使用FGMRES，并尝试利用之前求解的信息。 步骤1：初始化全局参数 设定最大重启次数 \( m_ {\max} \)（每个FGMRES循环的最大子空间维数）。 设定容差 \( \tau \) 和最大迭代步数。 可选择一个初始预处理子 \( M_ 1^{-1} \)（例如，基于 \( A \) 的不完全LU分解）。 步骤2：顺序求解每个右端项 对第 \( k \) 个右端项 \( b^{(k)} \)： 设置初始猜测 ： 如果 \( k = 1 \)，取 \( x_ 0^{(1)} = 0 \) 或任意猜测。 如果 \( k > 1 \)，可利用前面已求得的解，例如 \( x_ 0^{(k)} = x^{(k-1)} \) 或更复杂的插值。 计算初始残差：\( r_ 0^{(k)} = b^{(k)} - A x_ 0^{(k)} \)。 运行FGMRES(\( m_ {\max} \)) ： 与标准GMRES类似，构建Krylov子空间 \( \mathcal{K}_ {m}(A, r_ 0^{(k)}) \)，但允许每一步使用不同的预处理子 \( M_ j^{-1} \)。 Arnoldi过程 （可变预处理）： a. 令 \( v_ 1 = r_ 0^{(k)} / \| r_ 0^{(k)} \|_ 2 \)。 b. 对 \( j = 1, 2, \dots, m \)： 计算 \( z_ j = M_ j^{-1} v_ j \)（应用当前步的预处理）。 计算 \( w = A z_ j \)。 对 \( i = 1, \dots, j \)： \[ h_ {i,j} = (w, v_ i) \] \[ w = w - h_ {i,j} v_ i \] 令 \( h_ {j+1,j} = \| w \| 2 \)，若 \( h {j+1,j} = 0 \) 则提前终止。 令 \( v_ {j+1} = w / h_ {j+1,j} \)。 c. 得到正交基矩阵 \( V_ m = [ v_ 1, \dots, v_ m] \) 和上Hessenberg矩阵 \( \bar{H}_ m \in \mathbb{R}^{(m+1) \times m} \)。 最小二乘求解 ： 寻找 \( y_ m \in \mathbb{R}^m \) 使得 \[ \| \beta e_ 1 - \bar{H}_ m y_ m \|_ 2 \] 最小，其中 \( \beta = \| r_ 0^{(k)} \|_ 2 \)，\( e_ 1 = [ 1, 0, \dots, 0 ]^T \in \mathbb{R}^{m+1} \)。 更新近似解 ： \[ x_ m^{(k)} = x_ 0^{(k)} + Z_ m y_ m, \quad Z_ m = [ z_ 1, \dots, z_ m ] \] （注意：\( z_ j \) 是预处理后的向量，因此解是 \( z_ j \) 的组合）。 如果残差已满足 \( \| b^{(k)} - A x_ m^{(k)} \|_ 2 < \tau \)，则接受解并进入下一个右端项；否则，重启或增加 \( m \)。 为下一个右端项更新预处理子 ： 在完成第 \( k \) 个系统后，可基于已构造的Krylov子空间 \( V_ m \) 和矩阵 \( H_ m \) 更新预处理子 \( M^{-1} \)。 一种简单策略：用已求得的解 \( x^{(k)} \) 对应的Krylov子空间构造一个低秩近似预处理子。例如，设 \( P_ k = V_ m (H_ m)^{-1} V_ m^T \)，并令 \( M_ {k+1}^{-1} = P_ k + M_ 0^{-1} \)（其中 \( M_ 0^{-1} \) 是基础预处理子）。 更实用的方法是：将前几个右端项求解过程中的 \( Z_ m \) 和 \( V_ m \) 部分保存，用于构造后续系统的初始猜测或右预处理子。 步骤3：整体加速技巧 循环/回收FGMRES ：在达到最大子空间维数 \( m_ {\max} \) 后，不丢弃所有基向量，而是保留部分“最优”基向量，用于下一个右端项的初始子空间构造。 近似逆预处理更新 ：利用Sherman-Morrison-Woodbury公式，基于前一个系统的Krylov子空间信息，更新预处理矩阵的近似逆。 4. 算法优势与适用场景 优势 ： 预处理灵活性 ：可针对每个右端项或迭代步调整预处理，适应矩阵 \( A \) 的不同频谱区域。 信息重用 ：通过顺序求解和预处理更新，可减少总迭代步数。 内存可控 ：通过重启机制控制内存使用，适合大规模问题。 适用场景 ： 右端项 \( b^{(k)} \) 之间存在相关性（例如，随时间步变化的右端项）。 矩阵 \( A \) 为非对称、非正定，且标准GMRES收敛较慢，需动态调整预处理。 系统需要求解多个右端项，但预处理构造成本较高，希望分摊成本。 5. 注意事项与扩展 预处理子的更新策略 是影响效率的关键。过于频繁的更新会增加计算开销，需权衡更新频率与收敛加速。 如果右端项之间差异很大，信息重用的效果可能有限，此时可考虑 块Krylov方法 （如块GMRES）或独立求解。 FGMRES的收敛理论较复杂，因为预处理可变，标准GMRES的最优性性质不再严格保持，但在实践中常表现稳健。 总结 ：分块矩阵的FGMRES算法通过顺序求解多重右端项，并利用可变预处理和Krylov子空间信息重用，在非对称线性方程组的求解中提供了灵活且高效的策略。其核心在于动态调整预处理和循环使用基向量，从而在多个右端项间分摊计算成本，加速整体求解过程。