列生成算法在电信网络中的虚拟网络功能编排问题中的应用示例
字数 4955 2025-12-05 10:35:09

列生成算法在电信网络中的虚拟网络功能编排问题中的应用示例

题目描述

假设有一个电信服务提供商，需要为客户提供虚拟网络功能链服务。给定一个物理网络，表示为有向图 \(G = (V, E)\) ，其中每条边 \(e \in E\) 有一个带宽容量 \(c(e)\) 。现在有 \(K\) 个服务请求（也称服务功能链请求）。每个请求 \(k\) 由以下要素定义：

  1. 源节点 \(s_k\) 和目的节点 \(t_k\) 。
  2. 带宽需求 \(d_k\) 。
  3. 功能链：一个有序的虚拟网络功能序列 \((f_1^k, f_2^k, ..., f_{n_k}^k)\) 。
  4. 放置约束：每个虚拟网络功能 \(f_i^k\) 必须被放置在一个满足其计算资源需求的候选物理节点集合 \(V_i^k \subseteq V\) 上，且对于同一个请求 \(k\)，其功能必须按照顺序放置在不同的物理节点上（即功能不能共置）。
  5. 目标：接受并路由一部分请求，在满足物理链路带宽容量和节点计算资源容量的约束下，最大化被接受请求的总权重（或总收益），假设每个请求 \(k\) 的收益为 \(w_k\) 。

这是一个复杂的组合优化问题，是网络功能虚拟化中的关键问题。我们将使用列生成算法来求解其线性规划松弛，以获取高质量的解或上界。

解题过程

1. 问题建模与分解

直接为每个请求枚举所有可能的“路径与功能放置”组合（即从 \(s_k\) 到 \(t_k\) 的一条路径，并为路径上的每一个“跳”指定放置哪个功能）是指数级的。列生成非常适合处理这种“从大量可能列（配置）中选择一部分”的问题。

  • 主问题 (Master Problem, MP)：决定接受哪些“配置”，并分配资源。
    • 对于每个请求 \(k\)，定义其所有可能的有效配置的集合为 \(P_k\)。一个配置 \(p \in P_k\) 指定了：
      1. 从 \(s_k\) 到 \(t_k\) 的一条物理路径。
      2. 在该路径的中间节点上，如何有序地放置其功能链 \((f_1^k, ..., f_{n_k}^k)\) 。
    • 决策变量：\(y_{kp} \in \{0, 1\}\)，如果请求 \(k\) 使用配置 \(p\) 被接受，则为1，否则为0。在线性规划松弛中，我们允许 \(0 \leq y_{kp} \leq 1\)。
    • 目标：最大化总收益。\(\max \sum_{k=1}^{K} \sum_{p \in P_k} w_k y_{kp}\)。
    • 约束：
      1. 每个请求至多一个配置：\(\sum_{p \in P_k} y_{kp} \leq 1, \quad \forall k\)。（每个请求最多被服务一次）。
      2. 链路带宽容量：对于每条物理边 \(e \in E\)，所有请求使用的所有配置中，经过该边的流量总和不能超过其容量。
        \(\sum_{k=1}^{K} \sum_{p \in P_k} a_{kp}^e d_k y_{kp} \leq c(e), \quad \forall e \in E\)。
        其中 \(a_{kp}^e\) 是指示系数，如果配置 \(p\) 为请求 \(k\) 使用的路径包含了边 \(e\)，则为1，否则为0。
      3. 节点计算资源容量（简化模型）：假设每个节点 \(v\) 有总的计算资源 \(C(v)\)，每个功能 \(f_i^k\) 放置到节点 \(v\) 上消耗计算资源 \(r_{i,v}^k\)。
        \(\sum_{k=1}^{K} \sum_{p \in P_k} b_{kp}^v y_{kp} \leq C(v), \quad \forall v \in V\)。
        其中 \(b_{kp}^v\) 是配置 \(p\) 在节点 \(v\) 上放置的所有功能消耗的计算资源总和。

主问题的变量数（即所有 \(|P_k|\) 之和）是天文数字，无法显式列出。这就是列生成发挥作用的地方。

2. 列生成算法框架

我们只初始化主问题的一个小子集（称为限制主问题，RMP）的列（配置），然后迭代地：
a. 求解当前RMP的线性规划松弛，得到对偶变量的值。
b. 为每个请求 \(k\) ，利用对偶变量构造一个定价子问题。求解子问题的目标是：为请求 \(k\) 找到一个“新配置”（即一条带功能放置的路径），其检验数（Reduced Cost）为负。这等价于寻找一个能“获利”的新列加入RMP。
c. 如果所有请求的子问题都找不到检验数为负的新配置，则当前RMP的解就是原主问题线性规划松弛的最优解。否则，将找到的负检验数配置作为新列加入RMP，重复步骤a。

3. 定价子问题详解

假设我们求解了当前的RMP，得到了最优的对偶变量：

  • \(\alpha_k \geq 0\)：对应每个请求的“至多一个配置”约束。
  • \(\beta_e \geq 0\)：对应每条边 \(e\) 的带宽容量约束。
  • \(\gamma_v \geq 0\)：对应每个节点 \(v\) 的计算资源容量约束。

现在，对于某个特定的请求 \(k\)，我们想为它生成一个新配置 \(p\)。

  • 新配置 \(p\) 在目标函数中的系数：\(w_k\)。
  • 新配置 \(p\) 在约束中的系数：
    • 在“至多一个配置”约束中系数为1。
    • 在边 \(e\) 的容量约束中系数为 \(a_{kp}^e d_k\)。
    • 在节点 \(v\) 的计算容量约束中系数为 \(b_{kp}^v\)。
  • 新配置 \(p\) 的检验数为：

\[ \bar{c}_{kp} = w_k - \alpha_k \cdot 1 - \sum_{e \in E} \beta_e \cdot (a_{kp}^e d_k) - \sum_{v \in V} \gamma_v \cdot b_{kp}^v \]

在单纯形法中，要找到能进基的变量（即加入RMP能改善目标函数的列），就需要找到检验数为负的列。即我们需要找到：

\[ \bar{c}_{kp} = (w_k - \alpha_k) - d_k \sum_{e \in p} \beta_e - \sum_{\text{v在p上放置了功能}} \gamma_v \cdot r_{\text{功能},v}^k < 0 \]

这里我们做了简化，$ b_{kp}^v $ 是放置在节点 $ v $ 上所有功能资源消耗的和 $ \sum r_{\text{功能},v}^k $。

因此，为请求 \(k\) 寻找负检验数配置的定价子问题，转化为一个图上的最短路径/资源受限最短路径问题：

  • 构建扩展图：为请求 \(k\) 构建一个分层图（Layered Graph）。
    1. 第0层：源节点 \(s_k\)。
    2. 第 \(i\) 层（\(1 \le i \le n_k\)）：放置第 \(i\) 个功能 \(f_i^k\) 的所有候选物理节点 \(v \in V_i^k\) 的副本。
    3. 第 \(n_k + 1\) 层：目的节点 \(t_k\)。
    4. 边与成本：
      • 从 \(s_k\) 到第一层节点 \(v_1\)：边的权重为 \(d_k \cdot \text{SP}_{\beta}(s_k, v_1) + \gamma_{v_1} \cdot r_{1,v_1}^k\)。其中 \(\text{SP}_{\beta}(s_k, v_1)\) 是在原图 \(G\) 上，以 \(\beta_e\) 作为边权重，从 \(s_k\) 到 \(v_1\) 的最短路径长度。这体现了路由的“对偶成本”和第一个功能的放置成本。
      • 从第 \(i\) 层的节点 \(v_i\) 到第 \(i+1\) 层的节点 \(v_{i+1}\) ：边的权重为 \(d_k \cdot \text{SP}_{\beta}(v_i, v_{i+1}) + \gamma_{v_{i+1}} \cdot r_{i+1, v_{i+1}}^k\)。
      • 从第 \(n_k\) 层的节点 \(v_{n_k}\) 到 \(t_k\)：边的权重为 \(d_k \cdot \text{SP}_{\beta}(v_{n_k}, t_k)\)。
  • 子问题目标：在这个分层图上，找到从 \(s_k\)（第0层）到 \(t_k\)（第 \(n_k+1\) 层）的一条路径。这条路径对应于一个完整的配置 \(p\)：路径经过的各层节点决定了功能的放置位置，路径中连接各层节点的最短路径片段决定了实际的数据路由。
  • 路径的总权重 = \(d_k \sum_{e \in p} \beta_e + \sum_{\text{v在p上放置了功能}} \gamma_v \cdot r_{\text{功能},v}^k\)。
  • 检验数判断：比较 \(w_k - \alpha_k\) 与找到的路径总权重。如果路径总权重 > \(w_k - \alpha_k\)，则检验数 \(\bar{c}_{kp} < 0\)，我们找到了一个可以加入RMP的有利可图的配置。这条路径的详细信息（经过的边和节点）就构成了新的一列。

4. 算法步骤总结

  1. 初始化：为每个请求 \(k\) 生成一个或多个简单的可行配置（例如，最短路径，随机可行放置）加入RMP。确保RMP是可行的（有解）。
  2. 循环：
    a. 求解RMP：求解当前限制主问题的线性规划松弛，得到最优解 \(y^*\) 和对应的对偶变量 \(\alpha^*, \beta^*, \gamma^*\)。
    b. 定价：对于每个请求 \(k\)：
    * 利用对偶变量 \(\beta^*, \gamma^*\) 构建其分层图，并赋予边权重。
    * 在分层图上，运行最短路径算法（如Dijkstra算法，如果图无负环；如果边权可能有负，则用Bellman-Ford）。
    * 设找到的最短路径权重为 \(L_k\)。
    * 如果 \(L_k < w_k - \alpha_k^*\)，则该路径对应的配置检验数为负，将其加入RMP（添加新变量 \(y_{kp}\) 及它在各约束中对应的系数）。
    c. 终止判断：如果遍历所有请求 \(k\)，都没有找到检验数为负的新配置，则算法终止。当前RMP的解就是原问题线性规划松弛的最优解。否则，返回步骤2a。

5. 后续处理

得到线性规划松弛的最优解和最优值后：

  • 上界：这个最优值就是原整数规划问题的上界。
  • 启发式构造可行解：可以利用RMP的解进行舍入或启发式搜索，构造一个可行的整数解（实际接受哪些请求，使用何种配置）。例如，可以按 \(y_{kp}^*\) 值从大到小处理请求，尝试按分数解中最优的配置来接受请求，如果资源冲突则拒绝或调整。
  • 分支定价：如果需要精确最优解，可以将此列生成过程嵌入到分支定界框架中，形成分支定价算法。在分支定界树的每个节点，都使用列生成求解线性规划松弛。

这个示例展示了列生成如何将一个复杂的、变量数极多的网络功能编排问题，分解为一个主问题和一系列独立的、结构良好的最短路径子问题，从而高效地求解其线性规划松弛。

列生成算法在电信网络中的虚拟网络功能编排问题中的应用示例 题目描述 假设有一个电信服务提供商，需要为客户提供虚拟网络功能链服务。给定一个物理网络，表示为有向图 \( G = (V, E) \) ，其中每条边 \( e \in E \) 有一个带宽容量 \( c(e) \) 。现在有 \( K \) 个服务请求（也称服务功能链请求）。每个请求 \( k \) 由以下要素定义： 源节点 \( s_ k \) 和 目的节点 \( t_ k \) 。 带宽需求 \( d_ k \) 。 功能链 ：一个有序的虚拟网络功能序列 \( (f_ 1^k, f_ 2^k, ..., f_ {n_ k}^k) \) 。 放置约束 ：每个虚拟网络功能 \( f_ i^k \) 必须被放置在一个满足其计算资源需求的 候选物理节点集合 \( V_ i^k \subseteq V \) 上，且对于同一个请求 \( k \)，其功能必须按照顺序放置在不同的物理节点上（即功能不能共置）。 目标 ：接受并路由一部分请求，在满足物理链路带宽容量和节点计算资源容量的约束下，最大化被接受请求的总权重（或总收益），假设每个请求 \( k \) 的收益为 \( w_ k \) 。 这是一个复杂的组合优化问题，是网络功能虚拟化中的关键问题。我们将使用 列生成算法 来求解其线性规划松弛，以获取高质量的解或上界。 解题过程 1. 问题建模与分解 直接为每个请求枚举所有可能的“路径与功能放置”组合（即从 \( s_ k \) 到 \( t_ k \) 的一条路径，并为路径上的每一个“跳”指定放置哪个功能）是指数级的。列生成非常适合处理这种“从大量可能列（配置）中选择一部分”的问题。 主问题 (Master Problem, MP) ：决定接受哪些“配置”，并分配资源。 对于每个请求 \( k \)，定义其所有可能的 有效配置 的集合为 \( P_ k \)。一个配置 \( p \in P_ k \) 指定了： 从 \( s_ k \) 到 \( t_ k \) 的一条物理路径。 在该路径的中间节点上，如何有序地放置其功能链 \( (f_ 1^k, ..., f_ {n_ k}^k) \) 。 决策变量 ：\( y_ {kp} \in \{0, 1\} \)，如果请求 \( k \) 使用配置 \( p \) 被接受，则为1，否则为0。在 线性规划松弛 中，我们允许 \( 0 \leq y_ {kp} \leq 1 \)。 目标 ：最大化总收益。\( \max \sum_ {k=1}^{K} \sum_ {p \in P_ k} w_ k y_ {kp} \)。 约束 ： 每个请求至多一个配置 ：\( \sum_ {p \in P_ k} y_ {kp} \leq 1, \quad \forall k \)。（每个请求最多被服务一次）。 链路带宽容量 ：对于每条物理边 \( e \in E \)，所有请求使用的所有配置中，经过该边的流量总和不能超过其容量。 \( \sum_ {k=1}^{K} \sum_ {p \in P_ k} a_ {kp}^e d_ k y_ {kp} \leq c(e), \quad \forall e \in E \)。 其中 \( a_ {kp}^e \) 是 指示系数 ，如果配置 \( p \) 为请求 \( k \) 使用的路径包含了边 \( e \)，则为1，否则为0。 节点计算资源容量 （简化模型）：假设每个节点 \( v \) 有总的计算资源 \( C(v) \)，每个功能 \( f_ i^k \) 放置到节点 \( v \) 上消耗计算资源 \( r_ {i,v}^k \)。 \( \sum_ {k=1}^{K} \sum_ {p \in P_ k} b_ {kp}^v y_ {kp} \leq C(v), \quad \forall v \in V \)。 其中 \( b_ {kp}^v \) 是配置 \( p \) 在节点 \( v \) 上放置的所有功能消耗的计算资源总和。 主问题的变量数（即所有 \( |P_ k| \) 之和）是天文数字，无法显式列出。这就是列生成发挥作用的地方。 2. 列生成算法框架 我们只初始化主问题的一个小子集（称为 限制主问题，RMP ）的列（配置），然后迭代地： a. 求解当前RMP的线性规划松弛，得到 对偶变量 的值。 b. 为每个请求 \( k \) ，利用对偶变量构造一个 定价子问题 。求解子问题的目标是：为请求 \( k \) 找到一个“新配置”（即一条带功能放置的路径），其 检验数 （Reduced Cost）为负。这等价于寻找一个能“获利”的新列加入RMP。 c. 如果所有请求的子问题都找不到检验数为负的新配置，则当前RMP的解就是原主问题线性规划松弛的 最优解 。否则，将找到的负检验数配置作为新列加入RMP，重复步骤a。 3. 定价子问题详解 假设我们求解了当前的RMP，得到了最优的 对偶变量 ： \( \alpha_ k \geq 0 \)：对应每个请求的“至多一个配置”约束。 \( \beta_ e \geq 0 \)：对应每条边 \( e \) 的带宽容量约束。 \( \gamma_ v \geq 0 \)：对应每个节点 \( v \) 的计算资源容量约束。 现在，对于某个特定的请求 \( k \)，我们想为它生成一个新配置 \( p \)。 新配置 \( p \) 在目标函数中的系数 ：\( w_ k \)。 新配置 \( p \) 在约束中的系数 ： 在“至多一个配置”约束中系数为1。 在边 \( e \) 的容量约束中系数为 \( a_ {kp}^e d_ k \)。 在节点 \( v \) 的计算容量约束中系数为 \( b_ {kp}^v \)。 新配置 \( p \) 的检验数 为： \[ \bar{c} {kp} = w_ k - \alpha_ k \cdot 1 - \sum {e \in E} \beta_ e \cdot (a_ {kp}^e d_ k) - \sum_ {v \in V} \gamma_ v \cdot b_ {kp}^v \] 在单纯形法中，要找到能进基的变量（即加入RMP能改善目标函数的列），就需要找到检验数为负的列。即我们需要找到： \[ \bar{c} {kp} = (w_ k - \alpha_ k) - d_ k \sum {e \in p} \beta_ e - \sum_ {\text{v在p上放置了功能}} \gamma_ v \cdot r_ {\text{功能},v}^k < 0 \] 这里我们做了简化，\( b_ {kp}^v \) 是放置在节点 \( v \) 上所有功能资源消耗的和 \( \sum r_ {\text{功能},v}^k \)。 因此，为请求 \( k \) 寻找负检验数配置的定价子问题，转化为一个图上的最短路径/资源受限最短路径问题： 构建扩展图 ：为请求 \( k \) 构建一个 分层图 （Layered Graph）。 第0层：源节点 \( s_ k \)。 第 \( i \) 层（\( 1 \le i \le n_ k \)）：放置第 \( i \) 个功能 \( f_ i^k \) 的所有候选物理节点 \( v \in V_ i^k \) 的副本。 第 \( n_ k + 1 \) 层：目的节点 \( t_ k \)。 边与成本 ： 从 \( s_ k \) 到第一层节点 \( v_ 1 \) ：边的权重为 \( d_ k \cdot \text{SP} {\beta}(s_ k, v_ 1) + \gamma {v_ 1} \cdot r_ {1,v_ 1}^k \)。其中 \( \text{SP}_ {\beta}(s_ k, v_ 1) \) 是在原图 \( G \) 上，以 \( \beta_ e \) 作为边权重，从 \( s_ k \) 到 \( v_ 1 \) 的 最短路径长度 。这体现了路由的“对偶成本”和第一个功能的放置成本。 从第 \( i \) 层的节点 \( v_ i \) 到第 \( i+1 \) 层的节点 \( v_ {i+1} \) ：边的权重为 \( d_ k \cdot \text{SP} {\beta}(v_ i, v {i+1}) + \gamma_ {v_ {i+1}} \cdot r_ {i+1, v_ {i+1}}^k \)。 从第 \( n_ k \) 层的节点 \( v_ {n_ k} \) 到 \( t_ k \) ：边的权重为 \( d_ k \cdot \text{SP} {\beta}(v {n_ k}, t_ k) \)。 子问题目标 ：在这个 分层图 上，找到从 \( s_ k \)（第0层）到 \( t_ k \)（第 \( n_ k+1 \) 层）的一条路径。这条路径对应于一个完整的配置 \( p \)：路径经过的各层节点决定了功能的放置位置，路径中连接各层节点的最短路径片段决定了实际的数据路由。 路径的总权重 = \( d_ k \sum_ {e \in p} \beta_ e + \sum_ {\text{v在p上放置了功能}} \gamma_ v \cdot r_ {\text{功能},v}^k \)。 检验数判断 ：比较 \( w_ k - \alpha_ k \) 与找到的路径总权重。如果 路径总权重 > \( w_ k - \alpha_ k \) ，则检验数 \( \bar{c}_ {kp} < 0 \)，我们找到了一个可以加入RMP的有利可图的配置。这条路径的详细信息（经过的边和节点）就构成了新的一列。 4. 算法步骤总结 初始化 ：为每个请求 \( k \) 生成一个或多个简单的可行配置（例如，最短路径，随机可行放置）加入RMP。确保RMP是可行的（有解）。 循环 ： a. 求解RMP ：求解当前限制主问题的线性规划松弛，得到最优解 \( y^* \) 和对应的 对偶变量 \( \alpha^ , \beta^ , \gamma^* \)。 b. 定价 ：对于每个请求 \( k \)： * 利用对偶变量 \( \beta^ , \gamma^ \) 构建其分层图，并赋予边权重。 * 在分层图上，运行 最短路径算法 （如Dijkstra算法，如果图无负环；如果边权可能有负，则用Bellman-Ford）。 * 设找到的最短路径权重为 \( L_ k \)。 * 如果 \( L_ k < w_ k - \alpha_ k^* \)，则该路径对应的配置检验数为负，将其加入RMP（添加新变量 \( y_ {kp} \) 及它在各约束中对应的系数）。 c. 终止判断 ：如果遍历所有请求 \( k \)，都没有找到检验数为负的新配置，则 算法终止 。当前RMP的解就是原问题线性规划松弛的最优解。否则，返回步骤2a。 5. 后续处理 得到线性规划松弛的最优解和最优值后： 上界 ：这个最优值就是原整数规划问题的上界。 启发式构造可行解 ：可以利用RMP的解进行舍入或启发式搜索，构造一个可行的整数解（实际接受哪些请求，使用何种配置）。例如，可以按 \( y_ {kp}^* \) 值从大到小处理请求，尝试按分数解中最优的配置来接受请求，如果资源冲突则拒绝或调整。 分支定价 ：如果需要精确最优解，可以将此列生成过程嵌入到分支定界框架中，形成 分支定价 算法。在分支定界树的每个节点，都使用列生成求解线性规划松弛。 这个示例展示了列生成如何将一个复杂的、变量数极多的网络功能编排问题，分解为一个主问题和一系列独立的、结构良好的最短路径子问题，从而高效地求解其线性规划松弛。