序列随机拟牛顿法(Sequential Stochastic Quasi-Newton Method)进阶题

字数 3458 2025-12-05 10:17:39

序列随机拟牛顿法(Sequential Stochastic Quasi-Newton Method)进阶题

题目描述
考虑如下带有期望约束的非线性规划问题：

\[\min_{x \in \mathbb{R}^n} f(x) = \mathbb{E}[F(x, \xi)] \]

\[ \text{s.t. } g_i(x) = \mathbb{E}[G_i(x, \xi)] \leq 0, \quad i = 1, \dots, m \]

其中，\(F(x, \xi), G_i(x, \xi)\) 是关于随机变量 \(\xi\) 的（可能非光滑）函数，其数学期望难以直接计算。我们只能通过抽样获得随机样本 \(\xi_1, \xi_2, \dots\)，并基于样本均值来近似目标与约束。假设 \(f(x)\) 和 \(g_i(x)\) 是连续可微的，但它们的梯度信息只能通过随机样本估计得到。要求设计一种高效的序列随机拟牛顿法，在每次迭代中利用随机样本近似梯度与Hessian信息，结合约束处理技术，逐步逼近问题的局部最优解。

解题过程循序渐进讲解

1. 问题理解与核心挑战

这是随机优化问题，目标与约束都涉及数学期望，无法精确计算。
直接应用确定性优化方法（如SQP、内点法）不可行，因为每次需要精确的梯度和Hessian矩阵。
我们需要一种能在随机噪声下逐步更新迭代点，并保证收敛的方法。
拟牛顿法（如BFGS、DFP）用对称正定矩阵近似Hessian，避免计算二阶导数，适合随机环境。
序列化思想：每一步利用新样本改进梯度与Hessian估计，并求解一个子问题产生新的迭代点。

2. 方法框架概述
序列随机拟牛顿法的基本迭代格式如下：
在第 \(k\) 次迭代，已知当前点 \(x_k\)，我们执行：
① 采集一批随机样本 \(\{\xi_{k,1}, \dots, \xi_{k,N_k}\}\)，样本量 \(N_k\) 可随 \(k\) 增大。
② 用样本均值估计梯度与约束值：

\[\hat{\nabla} f_k = \frac{1}{N_k} \sum_{j=1}^{N_k} \nabla_x F(x_k, \xi_{k,j}) \]

\[ \hat{g}_{i,k} = \frac{1}{N_k} \sum_{j=1}^{N_k} G_i(x_k, \xi_{k,j}), \quad \hat{\nabla} g_{i,k} = \frac{1}{N_k} \sum_{j=1}^{N_k} \nabla_x G_i(x_k, \xi_{k,j}) \]

③ 更新拟牛顿矩阵 \(B_k\)（正定，近似 \(\nabla^2 L(x_k, \lambda_k)\)，其中 \(L\) 是拉格朗日函数）。
④ 求解一个二次规划子问题得到搜索方向 \(d_k\) 和乘子估计 \(\lambda_{k+1}\)。
⑤ 沿 \(d_k\) 进行线搜索（或信赖域）确定步长 \(\alpha_k\)，更新 \(x_{k+1} = x_k + \alpha_k d_k\)。
⑥ 增加样本量 \(N_{k+1} \ge N_k\) 以降低估计方差，进入下一迭代。

3. 拟牛顿矩阵的随机更新

在随机环境中，我们不能用精确的梯度差 \(y_k = \nabla L(x_{k+1}, \lambda_{k+1}) - \nabla L(x_k, \lambda_{k+1})\)，因为 \(\nabla L\) 未知。
替代方案：用随机梯度估计的差

\[\hat{y}_k = \hat{\nabla}_x L(x_{k+1}, \lambda_{k+1}) - \hat{\nabla}_x L(x_k, \lambda_{k+1}) \]

其中 \(\hat{\nabla}_x L = \hat{\nabla} f + \sum \lambda_i \hat{\nabla} g_i\)。

更新拟牛顿矩阵 \(B_k\) 采用BFGS公式：

\[B_{k+1} = B_k - \frac{B_k s_k s_k^T B_k}{s_k^T B_k s_k} + \frac{\hat{y}_k \hat{y}_k^T}{s_k^T \hat{y}_k}, \quad s_k = x_{k+1} - x_k \]

为保证正定性，需满足曲率条件 \(s_k^T \hat{y}_k > 0\)，这在随机样本下不一定成立。常用技巧：若 \(s_k^T \hat{y}_k < \delta \|s_k\|^2\)（\(\delta > 0\) 小常数），则令 \(\hat{y}_k = \hat{y}_k + \theta_k s_k\) 使条件满足。

4. 子问题构建
在第 \(k\) 步，构建以下二次规划（QP）：

\[\min_{d \in \mathbb{R}^n} \hat{\nabla} f_k^T d + \frac12 d^T B_k d \]

\[ \text{s.t. } \hat{g}_{i,k} + \hat{\nabla} g_{i,k}^T d \le 0, \quad i=1,\dots,m \]

这是局部近似模型：目标用二次项近似，约束线性化。
解此QP得到方向 \(d_k\) 和乘子估计 \(\lambda_{k+1}^\text{qp}\)。
由于随机噪声，QP可能不相容。可引入松弛变量或采用过滤器（Filter） 处理约束违反。

5. 步长选择与收敛控制

采用随机线搜索：试探步长 \(\alpha\)，要求满足如下条件（随机Armijo条件）：

\[\hat{f}(x_k + \alpha d_k) \le \hat{f}(x_k) + c_1 \alpha \hat{\nabla} f_k^T d_k - \eta_k \]

其中 \(\eta_k > 0\) 是容忍度，用来抵消梯度估计的噪声，且 \(\sum \eta_k < \infty\) 保证最终收敛。

或者采用随机信赖域：在半径 \(\Delta_k\) 内求解子问题，根据实际下降与预测下降的比例调整半径。
样本量 \(N_k\) 应逐渐增加，例如 \(N_k = \lfloor N_0 k^\rho \rfloor, \rho \in (0,1]\)，以降低方差，满足大数定律。

6. 收敛性关键点

在随机噪声下，算法只能收敛到稳定点（一阶临界点）的概率为1。
需要假设：随机梯度估计是无偏的，方差有限；目标与约束满足一定光滑性；积极集变化有限。
拟牛顿矩阵 \(B_k\) 需保持一致正定且有界，以保证搜索方向合理。
步长条件与样本量增加策略需协调，确保噪声不干扰收敛方向。

7. 算法步骤总结
① 初始化 \(x_0, B_0 = I, N_0, k=0\)。
② 采集 \(N_k\) 个样本，计算 \(\hat{\nabla} f_k, \hat{g}_{i,k}, \hat{\nabla} g_{i,k}\)。
③ 求解QP子问题得 \(d_k, \lambda_{k+1}^\text{qp}\)。
④ 执行随机线搜索确定步长 \(\alpha_k\)。
⑤ 更新 \(x_{k+1} = x_k + \alpha_k d_k\)。
⑥ 采集新样本（可重用部分旧样本），计算 \(\hat{y}_k\)，调整曲率条件。
⑦ 用BFGS更新 \(B_{k+1}\)。
⑧ 增加样本量 \(N_{k+1}\)，\(k := k+1\)，转②直至收敛准则满足（如 \(\|d_k\|\) 很小且约束违反小）。

重点提示

此方法融合了随机逼近、拟牛顿法和序列二次规划，适合期望型约束问题。
关键挑战是在噪声下保持拟牛顿矩阵的稳定性和子问题相容性。
实际应用中，常结合方差缩减技术（如SVRG、SAGA）来提升梯度估计质量，加速收敛。

序列随机拟牛顿法(Sequential Stochastic Quasi-Newton Method)进阶题题目描述考虑如下带有期望约束的非线性规划问题： \[ \min_ {x \in \mathbb{R}^n} f(x) = \mathbb{E}[ F(x, \xi) ] \] \[ \text{s.t. } g_ i(x) = \mathbb{E}[ G_ i(x, \xi) ] \leq 0, \quad i = 1, \dots, m \] 其中，\(F(x, \xi), G_ i(x, \xi)\) 是关于随机变量 \(\xi\) 的（可能非光滑）函数，其数学期望难以直接计算。我们只能通过抽样获得随机样本 \(\xi_ 1, \xi_ 2, \dots\)，并基于样本均值来近似目标与约束。假设 \(f(x)\) 和 \(g_ i(x)\) 是连续可微的，但它们的梯度信息只能通过随机样本估计得到。要求设计一种高效的序列随机拟牛顿法，在每次迭代中利用随机样本近似梯度与Hessian信息，结合约束处理技术，逐步逼近问题的局部最优解。解题过程循序渐进讲解 1. 问题理解与核心挑战这是随机优化问题，目标与约束都涉及数学期望，无法精确计算。直接应用确定性优化方法（如SQP、内点法）不可行，因为每次需要精确的梯度和Hessian矩阵。我们需要一种能在随机噪声下逐步更新迭代点，并保证收敛的方法。拟牛顿法（如BFGS、DFP）用对称正定矩阵近似Hessian，避免计算二阶导数，适合随机环境。序列化思想：每一步利用新样本改进梯度与Hessian估计，并求解一个子问题产生新的迭代点。 2. 方法框架概述序列随机拟牛顿法的基本迭代格式如下：在第 \(k\) 次迭代，已知当前点 \(x_ k\)，我们执行： ① 采集一批随机样本 \(\{\xi_ {k,1}, \dots, \xi_ {k,N_ k}\}\)，样本量 \(N_ k\) 可随 \(k\) 增大。 ② 用样本均值估计梯度与约束值： \[ \hat{\nabla} f_ k = \frac{1}{N_ k} \sum_ {j=1}^{N_ k} \nabla_ x F(x_ k, \xi_ {k,j}) \] \[ \hat{g} {i,k} = \frac{1}{N_ k} \sum {j=1}^{N_ k} G_ i(x_ k, \xi_ {k,j}), \quad \hat{\nabla} g_ {i,k} = \frac{1}{N_ k} \sum_ {j=1}^{N_ k} \nabla_ x G_ i(x_ k, \xi_ {k,j}) \] ③ 更新拟牛顿矩阵 \(B_ k\)（正定，近似 \(\nabla^2 L(x_ k, \lambda_ k)\)，其中 \(L\) 是拉格朗日函数）。 ④ 求解一个二次规划子问题得到搜索方向 \(d_ k\) 和乘子估计 \(\lambda_ {k+1}\)。 ⑤ 沿 \(d_ k\) 进行线搜索（或信赖域）确定步长 \(\alpha_ k\)，更新 \(x_ {k+1} = x_ k + \alpha_ k d_ k\)。 ⑥ 增加样本量 \(N_ {k+1} \ge N_ k\) 以降低估计方差，进入下一迭代。 3. 拟牛顿矩阵的随机更新在随机环境中，我们不能用精确的梯度差 \(y_ k = \nabla L(x_ {k+1}, \lambda_ {k+1}) - \nabla L(x_ k, \lambda_ {k+1})\)，因为 \(\nabla L\) 未知。替代方案：用随机梯度估计的差 \[ \hat{y} k = \hat{\nabla} x L(x {k+1}, \lambda {k+1}) - \hat{\nabla} x L(x_ k, \lambda {k+1}) \] 其中 \(\hat{\nabla}_ x L = \hat{\nabla} f + \sum \lambda_ i \hat{\nabla} g_ i\)。更新拟牛顿矩阵 \(B_ k\) 采用 BFGS公式： \[ B_ {k+1} = B_ k - \frac{B_ k s_ k s_ k^T B_ k}{s_ k^T B_ k s_ k} + \frac{\hat{y}_ k \hat{y}_ k^T}{s_ k^T \hat{y} k}, \quad s_ k = x {k+1} - x_ k \] 为保证正定性，需满足曲率条件 \(s_ k^T \hat{y}_ k > 0\)，这在随机样本下不一定成立。常用技巧：若 \(s_ k^T \hat{y}_ k < \delta \|s_ k\|^2\)（\(\delta > 0\) 小常数），则令 \(\hat{y}_ k = \hat{y}_ k + \theta_ k s_ k\) 使条件满足。 4. 子问题构建在第 \(k\) 步，构建以下二次规划（QP）： \[ \min_ {d \in \mathbb{R}^n} \hat{\nabla} f_ k^T d + \frac12 d^T B_ k d \] \[ \text{s.t. } \hat{g} {i,k} + \hat{\nabla} g {i,k}^T d \le 0, \quad i=1,\dots,m \] 这是局部近似模型：目标用二次项近似，约束线性化。解此QP得到方向 \(d_ k\) 和乘子估计 \(\lambda_ {k+1}^\text{qp}\)。由于随机噪声，QP可能不相容。可引入松弛变量或采用过滤器（Filter）处理约束违反。 5. 步长选择与收敛控制采用随机线搜索：试探步长 \(\alpha\)，要求满足如下条件（随机Armijo条件）： \[ \hat{f}(x_ k + \alpha d_ k) \le \hat{f}(x_ k) + c_ 1 \alpha \hat{\nabla} f_ k^T d_ k - \eta_ k \] 其中 \(\eta_ k > 0\) 是容忍度，用来抵消梯度估计的噪声，且 \(\sum \eta_ k < \infty\) 保证最终收敛。或者采用随机信赖域：在半径 \(\Delta_ k\) 内求解子问题，根据实际下降与预测下降的比例调整半径。样本量 \(N_ k\) 应逐渐增加，例如 \(N_ k = \lfloor N_ 0 k^\rho \rfloor, \rho \in (0,1 ]\)，以降低方差，满足大数定律。 6. 收敛性关键点在随机噪声下，算法只能收敛到稳定点（一阶临界点）的概率为1。需要假设：随机梯度估计是无偏的，方差有限；目标与约束满足一定光滑性；积极集变化有限。拟牛顿矩阵 \(B_ k\) 需保持一致正定且有界，以保证搜索方向合理。步长条件与样本量增加策略需协调，确保噪声不干扰收敛方向。 7. 算法步骤总结 ① 初始化 \(x_ 0, B_ 0 = I, N_ 0, k=0\)。 ② 采集 \(N_ k\) 个样本，计算 \(\hat{\nabla} f_ k, \hat{g} {i,k}, \hat{\nabla} g {i,k}\)。 ③ 求解QP子问题得 \(d_ k, \lambda_ {k+1}^\text{qp}\)。 ④ 执行随机线搜索确定步长 \(\alpha_ k\)。 ⑤ 更新 \(x_ {k+1} = x_ k + \alpha_ k d_ k\)。 ⑥ 采集新样本（可重用部分旧样本），计算 \(\hat{y} k\)，调整曲率条件。 ⑦ 用BFGS更新 \(B {k+1}\)。 ⑧ 增加样本量 \(N_ {k+1}\)，\(k := k+1\)，转②直至收敛准则满足（如 \(\|d_ k\|\) 很小且约束违反小）。重点提示此方法融合了随机逼近、拟牛顿法和序列二次规划，适合期望型约束问题。关键挑战是在噪声下保持拟牛顿矩阵的稳定性和子问题相容性。实际应用中，常结合方差缩减技术（如SVRG、SAGA）来提升梯度估计质量，加速收敛。