分块矩阵的Sherman-Morrison公式在线性方程组求解中的应用

字数 2941 2025-12-05 08:22:27

分块矩阵的Sherman-Morrison公式在线性方程组求解中的应用

题目描述：
考虑一个大型线性方程组 \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\)，其中 \(A\) 是 \(n \times n\) 可逆矩阵。假设我们已经计算了 \(A\) 的逆矩阵 \(A^{-1}\)，但此时矩阵 \(A\) 发生了一个低秩更新，变为 \(\tilde{A} = A + UV^T\)，其中 \(U\) 和 \(V\) 是 \(n \times k\) 矩阵（通常 \(k \ll n\)）。如何利用已知的 \(A^{-1}\) 高效求解更新后的方程组 \(\tilde{A} \mathbf{x} = \mathbf{b}\)？

解题过程：
这个问题可以通过Sherman-Morrison-Woodbury公式（简称SMW公式）来解决，它是Sherman-Morrison公式的推广（Sherman-Morrison公式对应 \(k=1\) 的情况）。其核心思想是避免重新对 \(\tilde{A}\) 求逆，而是利用 \(A^{-1}\) 和低秩修正项 \(UV^T\) 的结构，将求逆问题转化为求解一个 \(k \times k\) 的线性系统，从而大幅减少计算量。

步骤1：理解Sherman-Morrison-Woodbury公式的推导基础
我们寻求 \(\tilde{A}^{-1}\) 的表达式，满足 \((A + UV^T)^{-1}\)。从恒等式出发，假设 \(\tilde{A}^{-1}\) 可写成 \(A^{-1}\) 加上一个修正项。利用矩阵求逆引理：

\[(A + UV^T)^{-1} = A^{-1} - A^{-1}U(I_k + V^T A^{-1}U)^{-1}V^T A^{-1} \]

这个公式成立的条件是：

\(A\) 和 \((I_k + V^T A^{-1}U)\) 可逆。
推导过程基于分块矩阵求逆和舒尔补概念。

简要推导如下：
考虑分块矩阵：

\[\begin{bmatrix} A & U \\ V^T & -I_k \end{bmatrix} \]

对其应用块高斯消元，可以验证其逆矩阵的一个分块是 \((A + UV^T)^{-1}\)。通过直接求这个分块矩阵的逆（利用舒尔补公式），得到上述SMW公式。

步骤2：应用公式求解线性方程组
我们不需要显式计算 \(\tilde{A}^{-1}\)，而是直接计算解 \(\mathbf{x} = \tilde{A}^{-1} \mathbf{b}\)。将SMW公式代入：

\[\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b} - A^{-1}U(I_k + V^T A^{-1}U)^{-1}V^T A^{-1}\mathbf{b} \]

这个表达式可以分解为几个计算步骤：

计算中间向量 \(\mathbf{y} = A^{-1}\mathbf{b}\)。由于 \(A^{-1}\) 已知，这只需要一次矩阵向量乘法。
计算矩阵 \(M = I_k + V^T (A^{-1}U)\)。这里 \(A^{-1}U\) 是 \(n \times k\) 矩阵，可以通过预先计算 \(A^{-1}U\) 得到（因为 \(A^{-1}\) 已知，计算 \(A^{-1}U\) 是 \(k\) 次矩阵向量乘法）。然后计算 \(k \times k\) 矩阵 \(M = I_k + V^T(A^{-1}U)\)。
计算向量 \(\mathbf{z} = V^T \mathbf{y}\)（\(k\) 维向量）。
求解 \(k \times k\) 线性系统 \(M \mathbf{w} = \mathbf{z}\) 得到 \(\mathbf{w}\)。
最终解为 \(\mathbf{x} = \mathbf{y} - (A^{-1}U) \mathbf{w}\)。

步骤3：复杂度分析
如果不利用SMW公式，直接求解 \(\tilde{A} \mathbf{x} = \mathbf{b}\) 需要 \(O(n^3)\) 的复杂度（如用高斯消元法）。而利用SMW公式：

计算 \(A^{-1}U\) 需要 \(O(k n^2)\)（如果 \(A^{-1}\) 已知但稠密），但通常我们不会显式存储 \(A^{-1}\)，而是用之前求解 \(A\) 时的因子分解（如LU分解）来快速计算 \(A^{-1}U\) 和 \(A^{-1}\mathbf{b}\)，这样复杂度为 \(O(k \cdot \text{解} A \text{一次的成本})\)。
求解 \(k \times k\) 系统 \(M \mathbf{w} = \mathbf{z}\) 需要 \(O(k^3)\)。
其余为矩阵向量乘法，总复杂度为 \(O(kn^2 + k^3)\)。由于 \(k \ll n\)，这比 \(O(n^3)\) 小得多。

步骤4：数值稳定性与适用场景
SMW公式在数值上可能不稳定，如果 \(A\) 的条件数很大，或 \(M\) 接近奇异。但在许多应用中，如动态更新、秩修正优化、机器学习中的在线学习，矩阵 \(A\) 的更新是低秩的，且 \(k\) 很小，此时SMW公式非常高效。尤其适用于：

矩阵 \(A\) 的逆或因子分解已预先计算好。
矩阵经历多次低秩更新，每次更新用SMW公式快速获得新解。

步骤5：举例说明
设 \(n=1000, k=3\)，\(A\) 是已有LU分解的矩阵。现 \(A\) 更新为 \(A + uv^T + pq^T + rs^T\)（三个秩1更新），可合并为 \(U = [u, p, r]\)，\(V = [v, q, s]\)。

用LU分解快速计算 \(A^{-1}U\) 和 \(A^{-1}\mathbf{b}\)（每次计算等价于解 \(A X = U\) 和 \(A y = b\)）。
计算 \(M = I_3 + V^T(A^{-1}U)\)。
解 \(3 \times 3\) 系统得 \(\mathbf{w}\)。
得到解 \(\mathbf{x} = \mathbf{y} - (A^{-1}U)\mathbf{w}\)。

总结：
Sherman-Morrison-Woodbury公式将大型矩阵的低秩更新求逆问题，转化为求解一个小型 \(k \times k\) 线性系统的问题，从而在已知 \(A^{-1}\) 或可快速求解 \(A\) 的方程组时，极大提升计算效率。但需注意数值稳定性，在条件数较大时可能需要正则化或迭代改进。

分块矩阵的Sherman-Morrison公式在线性方程组求解中的应用题目描述：考虑一个大型线性方程组 \( A\mathbf{x} = \mathbf{b} \)，其中 \( A \) 是 \( n \times n \) 可逆矩阵。假设我们已经计算了 \( A \) 的逆矩阵 \( A^{-1} \)，但此时矩阵 \( A \) 发生了一个低秩更新，变为 \( \tilde{A} = A + UV^T \)，其中 \( U \) 和 \( V \) 是 \( n \times k \) 矩阵（通常 \( k \ll n \)）。如何利用已知的 \( A^{-1} \) 高效求解更新后的方程组 \( \tilde{A} \mathbf{x} = \mathbf{b} \)？解题过程：这个问题可以通过 Sherman-Morrison-Woodbury公式（简称SMW公式）来解决，它是Sherman-Morrison公式的推广（Sherman-Morrison公式对应 \( k=1 \) 的情况）。其核心思想是避免重新对 \( \tilde{A} \) 求逆，而是利用 \( A^{-1} \) 和低秩修正项 \( UV^T \) 的结构，将求逆问题转化为求解一个 \( k \times k \) 的线性系统，从而大幅减少计算量。步骤1：理解Sherman-Morrison-Woodbury公式的推导基础我们寻求 \( \tilde{A}^{-1} \) 的表达式，满足 \( (A + UV^T)^{-1} \)。从恒等式出发，假设 \( \tilde{A}^{-1} \) 可写成 \( A^{-1} \) 加上一个修正项。利用矩阵求逆引理： \[ (A + UV^T)^{-1} = A^{-1} - A^{-1}U(I_ k + V^T A^{-1}U)^{-1}V^T A^{-1} \] 这个公式成立的条件是： \( A \) 和 \( (I_ k + V^T A^{-1}U) \) 可逆。推导过程基于分块矩阵求逆和舒尔补概念。简要推导如下：考虑分块矩阵： \[ \begin{bmatrix} A & U \\ V^T & -I_ k \end{bmatrix} \] 对其应用块高斯消元，可以验证其逆矩阵的一个分块是 \( (A + UV^T)^{-1} \)。通过直接求这个分块矩阵的逆（利用舒尔补公式），得到上述SMW公式。步骤2：应用公式求解线性方程组我们不需要显式计算 \( \tilde{A}^{-1} \)，而是直接计算解 \( \mathbf{x} = \tilde{A}^{-1} \mathbf{b} \)。将SMW公式代入： \[ \mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b} - A^{-1}U(I_ k + V^T A^{-1}U)^{-1}V^T A^{-1}\mathbf{b} \] 这个表达式可以分解为几个计算步骤：计算中间向量 \( \mathbf{y} = A^{-1}\mathbf{b} \)。由于 \( A^{-1} \) 已知，这只需要一次矩阵向量乘法。计算矩阵 \( M = I_ k + V^T (A^{-1}U) \)。这里 \( A^{-1}U \) 是 \( n \times k \) 矩阵，可以通过预先计算 \( A^{-1}U \) 得到（因为 \( A^{-1} \) 已知，计算 \( A^{-1}U \) 是 \( k \) 次矩阵向量乘法）。然后计算 \( k \times k \) 矩阵 \( M = I_ k + V^T(A^{-1}U) \)。计算向量 \( \mathbf{z} = V^T \mathbf{y} \)（\( k \) 维向量）。求解 \( k \times k \) 线性系统 \( M \mathbf{w} = \mathbf{z} \) 得到 \( \mathbf{w} \)。最终解为 \( \mathbf{x} = \mathbf{y} - (A^{-1}U) \mathbf{w} \)。步骤3：复杂度分析如果不利用SMW公式，直接求解 \( \tilde{A} \mathbf{x} = \mathbf{b} \) 需要 \( O(n^3) \) 的复杂度（如用高斯消元法）。而利用SMW公式：计算 \( A^{-1}U \) 需要 \( O(k n^2) \)（如果 \( A^{-1} \) 已知但稠密），但通常我们不会显式存储 \( A^{-1} \)，而是用之前求解 \( A \) 时的因子分解（如LU分解）来快速计算 \( A^{-1}U \) 和 \( A^{-1}\mathbf{b} \)，这样复杂度为 \( O(k \cdot \text{解} A \text{一次的成本}) \)。求解 \( k \times k \) 系统 \( M \mathbf{w} = \mathbf{z} \) 需要 \( O(k^3) \)。其余为矩阵向量乘法，总复杂度为 \( O(kn^2 + k^3) \)。由于 \( k \ll n \)，这比 \( O(n^3) \) 小得多。步骤4：数值稳定性与适用场景 SMW公式在数值上可能不稳定，如果 \( A \) 的条件数很大，或 \( M \) 接近奇异。但在许多应用中，如动态更新、秩修正优化、机器学习中的在线学习，矩阵 \( A \) 的更新是低秩的，且 \( k \) 很小，此时SMW公式非常高效。尤其适用于：矩阵 \( A \) 的逆或因子分解已预先计算好。矩阵经历多次低秩更新，每次更新用SMW公式快速获得新解。步骤5：举例说明设 \( n=1000, k=3 \)，\( A \) 是已有LU分解的矩阵。现 \( A \) 更新为 \( A + uv^T + pq^T + rs^T \)（三个秩1更新），可合并为 \( U = [ u, p, r] \)，\( V = [ v, q, s ] \)。用LU分解快速计算 \( A^{-1}U \) 和 \( A^{-1}\mathbf{b} \)（每次计算等价于解 \( A X = U \) 和 \( A y = b \)）。计算 \( M = I_ 3 + V^T(A^{-1}U) \)。解 \( 3 \times 3 \) 系统得 \( \mathbf{w} \)。得到解 \( \mathbf{x} = \mathbf{y} - (A^{-1}U)\mathbf{w} \)。总结： Sherman-Morrison-Woodbury公式将大型矩阵的低秩更新求逆问题，转化为求解一个小型 \( k \times k \) 线性系统的问题，从而在已知 \( A^{-1} \) 或可快速求解 \( A \) 的方程组时，极大提升计算效率。但需注意数值稳定性，在条件数较大时可能需要正则化或迭代改进。