非线性规划中的连续线性规划法进阶题
字数 2402 2025-12-05 07:18:05

非线性规划中的连续线性规划法进阶题

题目描述
考虑非线性规划问题：
最小化 \(f(x) = (x_1 - 2)^2 + (x_2 - 1)^2\)
约束条件：
\(g_1(x) = x_1^2 - x_2 \leq 0\)
\(g_2(x) = x_1 + x_2 - 2 \leq 0\)
其中 \(x = (x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2\)。要求使用连续线性规划法（Sequential Linear Programming, SLP）求解该问题，初始点选为 \(x^{(0)} = (0, 0)\)，信赖域半径初始值 \(\Delta_0 = 0.5\)，并详细分析迭代过程。

解题过程
连续线性规划法通过逐次线性化非线性函数，将原问题转化为一系列线性规划子问题。以下是具体步骤：

  1. 线性化当前点
    在迭代点 \(x^{(k)}\) 处，对目标函数和约束进行一阶泰勒展开：

    • 线性化目标： \(f(x) \approx f(x^{(k)}) + \nabla f(x^{(k)})^T (x - x^{(k)})\)
    • 线性化约束： \(g_j(x) \approx g_j(x^{(k)}) + \nabla g_j(x^{(k)})^T (x - x^{(k)}) \leq 0 \quad (j=1,2)\)
      其中梯度计算为：
      \(\nabla f(x) = [2(x_1 - 2), 2(x_2 - 1)]^T\)，
      \(\nabla g_1(x) = [2x_1, -1]^T\)，
      \(\nabla g_2(x) = [1, 1]^T\)。

  2. 构建线性规划子问题
    引入移动限制 \(|x_i - x_i^{(k)}| \leq \Delta_k\) 防止线性近似失效，子问题形式为：

\[ \begin{aligned} \min_{d} \quad & \nabla f(x^{(k)})^T d \\ \text{s.t.} \quad & g_j(x^{(k)}) + \nabla g_j(x^{(k)})^T d \leq 0, \quad j=1,2 \\ & |d_i| \leq \Delta_k, \quad i=1,2 \end{aligned} \]

其中 \(d = x - x^{(k)}\) 为搜索方向。

  1. 迭代步骤
    • 初始点 \(x^{(0)} = (0, 0)\)，\(\Delta_0 = 0.5\)：
      计算梯度：
      \(\nabla f(0,0) = (-4, -2)\)，
      \(g_1(0,0) = 0\)，\(\nabla g_1(0,0) = (0, -1)\)，
      \(g_2(0,0) = -2\)，\(\nabla g_2(0,0) = (1, 1)\)。
      子问题为：

\[ \begin{aligned} \min_{d} \quad & -4d_1 - 2d_2 \\ \text{s.t.} \quad & 0 + 0 \cdot d_1 - 1 \cdot d_2 \leq 0 \implies -d_2 \leq 0 \\ & -2 + d_1 + d_2 \leq 0 \implies d_1 + d_2 \leq 2 \\ & |d_1| \leq 0.5, \quad |d_2| \leq 0.5 \end{aligned} \]

 约束简化后，子问题是线性规划。最优解在顶点处：  
 由于目标函数系数全负，需最大化 $ d_1, d_2 $，但约束 $ d_2 \geq 0 $ 且移动限制要求 $ d_2 \leq 0.5 $。  
 分析约束：  
 - $ d_1 + d_2 \leq 2 $ 在移动限制下自动满足（因 $ d_1, d_2 \leq 0.5 $）。  
 因此最优解为 $ d_1 = 0.5, d_2 = 0.5 $，对应 $ x^{(1)} = (0.5, 0.5) $。
  • 更新与收敛检查
    计算实际改进比：
    \(\rho = \frac{f(x^{(k)}) - f(x^{(k)} + d)}{-\nabla f(x^{(k)})^T d}\)
    若 \(\rho\) 接近1，接受解并扩大信赖域；若 \(\rho\) 小，缩小信赖域。
    本例中，\(f(0,0) = 4 + 1 = 5\)，\(f(0.5,0.5) = (0.5-2)^2 + (0.5-1)^2 = 2.25 + 0.25 = 2.5\)，
    预测改进： \(-\nabla f(0,0)^T d = -(-4 \cdot 0.5 -2 \cdot 0.5) = 3\)，
    实际改进： \(5 - 2.5 = 2.5\)，
    改进比 \(\rho = 2.5 / 3 \approx 0.83\)（大于阈值0.75），接受解，并扩大信赖域至 \(\Delta_1 = 1.0\)。
  1. 后续迭代
    重复线性化和求解子问题，直到满足收敛条件（如梯度足够小或约束违反度低）。
    最终逼近最优解 \(x^* \approx (1, 1)\)（满足 \(g_1(1,1)=0\), \(g_2(1,1)=0\)，且 \(f(x^*) = 2\)）。

关键点总结

  • SLP依赖线性近似，需信赖域控制步长以保证逼近质量。
  • 每次迭代求解线性规划，效率高但可能收敛慢（尤其非凸问题）。
  • 改进比 \(\rho\) 动态调整信赖域，平衡收敛速度与稳定性。
非线性规划中的连续线性规划法进阶题 题目描述 考虑非线性规划问题： 最小化 \( f(x) = (x_ 1 - 2)^2 + (x_ 2 - 1)^2 \) 约束条件： \( g_ 1(x) = x_ 1^2 - x_ 2 \leq 0 \) \( g_ 2(x) = x_ 1 + x_ 2 - 2 \leq 0 \) 其中 \( x = (x_ 1, x_ 2) \in \mathbb{R}^2 \)。要求使用连续线性规划法（Sequential Linear Programming, SLP）求解该问题，初始点选为 \( x^{(0)} = (0, 0) \)，信赖域半径初始值 \( \Delta_ 0 = 0.5 \)，并详细分析迭代过程。 解题过程 连续线性规划法通过逐次线性化非线性函数，将原问题转化为一系列线性规划子问题。以下是具体步骤： 线性化当前点 在迭代点 \( x^{(k)} \) 处，对目标函数和约束进行一阶泰勒展开： 线性化目标： \( f(x) \approx f(x^{(k)}) + \nabla f(x^{(k)})^T (x - x^{(k)}) \) 线性化约束： \( g_ j(x) \approx g_ j(x^{(k)}) + \nabla g_ j(x^{(k)})^T (x - x^{(k)}) \leq 0 \quad (j=1,2) \) 其中梯度计算为： \( \nabla f(x) = [ 2(x_ 1 - 2), 2(x_ 2 - 1) ]^T \)， \( \nabla g_ 1(x) = [ 2x_ 1, -1 ]^T \)， \( \nabla g_ 2(x) = [ 1, 1 ]^T \)。 构建线性规划子问题 引入移动限制 \( |x_ i - x_ i^{(k)}| \leq \Delta_ k \) 防止线性近似失效，子问题形式为： \[ \begin{aligned} \min_ {d} \quad & \nabla f(x^{(k)})^T d \\ \text{s.t.} \quad & g_ j(x^{(k)}) + \nabla g_ j(x^{(k)})^T d \leq 0, \quad j=1,2 \\ & |d_ i| \leq \Delta_ k, \quad i=1,2 \end{aligned} \] 其中 \( d = x - x^{(k)} \) 为搜索方向。 迭代步骤 初始点 \( x^{(0)} = (0, 0) \)，\( \Delta_ 0 = 0.5 \)： 计算梯度： \( \nabla f(0,0) = (-4, -2) \)， \( g_ 1(0,0) = 0 \)，\( \nabla g_ 1(0,0) = (0, -1) \)， \( g_ 2(0,0) = -2 \)，\( \nabla g_ 2(0,0) = (1, 1) \)。 子问题为： \[ \begin{aligned} \min_ {d} \quad & -4d_ 1 - 2d_ 2 \\ \text{s.t.} \quad & 0 + 0 \cdot d_ 1 - 1 \cdot d_ 2 \leq 0 \implies -d_ 2 \leq 0 \\ & -2 + d_ 1 + d_ 2 \leq 0 \implies d_ 1 + d_ 2 \leq 2 \\ & |d_ 1| \leq 0.5, \quad |d_ 2| \leq 0.5 \end{aligned} \] 约束简化后，子问题是线性规划。最优解在顶点处： 由于目标函数系数全负，需最大化 \( d_ 1, d_ 2 \)，但约束 \( d_ 2 \geq 0 \) 且移动限制要求 \( d_ 2 \leq 0.5 \)。 分析约束： \( d_ 1 + d_ 2 \leq 2 \) 在移动限制下自动满足（因 \( d_ 1, d_ 2 \leq 0.5 \)）。 因此最优解为 \( d_ 1 = 0.5, d_ 2 = 0.5 \)，对应 \( x^{(1)} = (0.5, 0.5) \)。 更新与收敛检查 计算实际改进比： \( \rho = \frac{f(x^{(k)}) - f(x^{(k)} + d)}{-\nabla f(x^{(k)})^T d} \) 若 \( \rho \) 接近1，接受解并扩大信赖域；若 \( \rho \) 小，缩小信赖域。 本例中，\( f(0,0) = 4 + 1 = 5 \)，\( f(0.5,0.5) = (0.5-2)^2 + (0.5-1)^2 = 2.25 + 0.25 = 2.5 \)， 预测改进： \( -\nabla f(0,0)^T d = -(-4 \cdot 0.5 -2 \cdot 0.5) = 3 \)， 实际改进： \( 5 - 2.5 = 2.5 \)， 改进比 \( \rho = 2.5 / 3 \approx 0.83 \)（大于阈值0.75），接受解，并扩大信赖域至 \( \Delta_ 1 = 1.0 \)。 后续迭代 重复线性化和求解子问题，直到满足收敛条件（如梯度足够小或约束违反度低）。 最终逼近最优解 \( x^* \approx (1, 1) \)（满足 \( g_ 1(1,1)=0 \), \( g_ 2(1,1)=0 \)，且 \( f(x^* ) = 2 \)）。 关键点总结 SLP依赖线性近似，需信赖域控制步长以保证逼近质量。 每次迭代求解线性规划，效率高但可能收敛慢（尤其非凸问题）。 改进比 \( \rho \) 动态调整信赖域，平衡收敛速度与稳定性。