高斯-拉盖尔求积公式在带边界层函数积分中的权函数匹配技巧
题目描述
计算半无穷区间积分：
\[I = \int_{0}^{\infty} e^{-x} f(x) \, dx, \]
其中被积函数 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 附近存在边界层（即函数在小区间内变化剧烈）。例如，\(f(x) = \sqrt{x} / (1 + x^2)\) 在 \(x \to 0^+\) 时导数趋于无穷。要求利用高斯-拉盖尔求积公式设计一种权函数匹配策略，以提高积分精度。
解题过程
1. 问题分析
高斯-拉盖尔求积公式适用于形如 \(\int_{0}^{\infty} e^{-x} g(x) \, dx\) 的积分，其节点和权重由拉盖尔多项式的零点确定。但对于边界层函数 \(f(x)\)，直接应用该公式会在 \(x=0\) 附近因函数变化剧烈而导致误差集中。需通过变量替换或权函数调整，将边界层特性“吸收”到积分权重中。
2. 权函数匹配的核心思想
- 将原积分改写为：
\[ I = \int_{0}^{\infty} w(x) \cdot \frac{e^{-x} f(x)}{w(x)} \, dx, \]
其中 \(w(x)\) 是新权函数，需满足：
- \(w(x)\) 在 \(x=0\) 附近能捕捉 \(f(x)\) 的剧烈变化；
- \(\frac{f(x)}{w(x)}\) 比原函数更平滑；
- 仍能利用高斯求积公式的框架。
- 选择 \(w(x) = x^{-\alpha} e^{-\beta x}\)（\(\alpha, \beta \geq 0\)），使得新积分形式匹配广义拉盖尔多项式（Gauss-Laguerre 的变种）的权函数。
3. 具体变换步骤
令 \(w(x) = x^{-\alpha} e^{-\beta x}\)，则原积分变为：
\[I = \int_{0}^{\infty} x^{-\alpha} e^{-\beta x} \cdot \left[ x^{\alpha} e^{-(1-\beta)x} f(x) \right] dx. \]
通过调整参数 \(\alpha, \beta\)，使第一部分 \(x^{-\alpha} e^{-\beta x}\) 成为广义拉盖尔多项式的权函数（对应参数 \(\alpha\) 和 \(\beta+1\) 的拉盖尔多项式）。此时，积分可近似为：
\[I \approx \sum_{i=1}^{n} w_i^{(\alpha, \beta)} \cdot \left[ x_i^{\alpha} e^{-(1-\beta)x_i} f(x_i) \right], \]
其中 \(x_i, w_i^{(\alpha, \beta)}\) 是广义拉盖尔多项式的节点和权重。
4. 参数选择策略
- 边界层分析：若 \(f(x) \sim x^p\)（\(p > -1\)） near \(x=0\)，则选择 \(\alpha = -p\)（若 \(p < 0\)）或 \(\alpha = 0\)（若 \(p \geq 0\)），以消除奇异性。
- 衰减速率匹配：若 \(f(x)\) 在 \(x \to \infty\) 时衰减慢于 \(e^{-x}\)，可设 \(\beta > 0\) 以加速衰减，避免截断误差。
5. 数值实现示例
以 \(f(x) = \sqrt{x} / (1 + x^2)\) 为例：
- 边界层特性：\(f(x) \sim x^{1/2}\) near \(x=0\)，无奇异性，故取 \(\alpha = 0\)。
- 衰减分析：\(f(x) \sim x^{-3/2}\) 当 \(x \to \infty\)，慢于 \(e^{-x}\)，需通过 \(\beta\) 加速衰减。经验性选择 \(\beta = 0.5\)。
- 最终形式：
\[ I \approx \sum_{i=1}^{n} w_i^{(0, 0.5)} \cdot \left[ e^{-0.5 x_i} f(x_i) \right], \]
其中 \(x_i, w_i^{(0,0.5)}\) 为权函数 \(e^{-0.5x}\) 对应的高斯-拉盖尔节点和权重（需标准化）。
6. 误差控制与优化
- 通过增加节点数 \(n\) 提高精度；
- 若边界层厚度极薄，可先进行局部缩放变换（如 \(x = t^\gamma\)），再应用权函数匹配。
总结
权函数匹配技巧通过调整权函数形式，将边界层特性融入求积公式的权重中，显著提升高斯-拉盖尔公式对边界层函数积分的适应性。关键步骤包括边界层分析、参数选择及广义拉盖尔节点的计算。