高斯-切比雪夫求积公式在带端点振荡函数积分中的正则化变换技巧 我们先来理解这个题目的具体含义。它讨论的是如何计算一类带有特殊性质的函数的积分。这类函数在被积区间的一个或两个端点附近，不仅其值可能趋于无穷（奇异性），而且还表现出快速振荡的行为。高斯-切比雪夫求积公式本身是专门为形如 ∫_ {-1}^{1} f(x) / √(1-x²) dx 的积分设计的，其权函数 1/√(1-x²) 恰好能吸收端点处的奇异特性。但题目中的“带端点振荡函数”意味着除了奇异性，还有振荡，这会导致标准的高斯-切比雪夫公式也失效。因此，解题的核心思路是： 通过巧妙的变量替换，将被积函数中的振荡部分“转移”或“平滑化”，使其变成一个可以用高斯-切比雪夫公式高效处理的、更“温和”的函数 。 下面，我将循序渐进地为你讲解。 第一步：明确问题与标准高斯-切比雪夫公式的局限 我们考虑一个典型的例子： I = ∫_ {-1}^{1} g(x) * sin( ω/(1-x²) ) dx， 其中 ω 是一个很大的正数（高频振荡），函数 g(x) 在区间 [ -1, 1 ] 上本身是光滑的、有界的。 端点特性分析 ：当 x → ±1 时，分母 (1-x²) → 0，使得 sin 函数内部的参数 ω/(1-x²) → ∞。这意味着在非常接近端点 ±1 的地方，正弦函数会以极高的频率振荡。 标准方法的失败 ： 如果直接使用标准的高斯-切比雪夫求积公式，公式的节点集中在端点附近（这是其优点，能处理权函数的奇异性），但面对如此高频的振荡，即使节点很密集，也会因为无法“捕捉”到振荡的细节而导致计算结果完全错误。 自适应方法会因为在端点附近需要无限细分区间而效率极低，甚至无法收敛。 因此，我们必须对原积分进行改造，目标是“消除”或“显著降低”振荡的频率。 第二步：核心思路——正则化变换 “正则化”在这里的含义是，通过一个可逆的变量代换 x = φ(t)，将原积分 I 变换成一个在新变量 t 的区间上、被积函数振荡频率大大降低的积分形式。 变换的目标 ：我们希望新被积函数的振荡部分，其频率与变量 t 的关系是缓慢变化的，甚至是线性的。这样，标准求积公式就能有效处理。 变换的构造 ：观察振荡项 sin( ω/(1-x²) )。振荡的相位是 φ(x) = ω / (1 - x²)。我们希望通过代换 x = φ^{-1}(ψ(t))，使得在新的积分中，相位变成关于 t 的线性函数，比如 ψ(t) = t。这样，振荡频率就变成了常数 ω‘ (一个缩放因子)，不再在端点处趋于无穷。 具体代换推导 ： 设新的相位变量为 t = ω / (1 - x²)。为了得到 x 关于 t 的表达式，我们解这个方程： 1 - x² = ω / t => x² = 1 - ω/t。 由于 x ∈ [ -1, 1] 且 t > 0，我们分两支处理。考虑 x ∈ [ 0, 1] 的部分（[ -1, 0 ] 部分对称处理）： x = √(1 - ω/t)。 然后计算微分 dx： dx/dt = (1/2) * (1 - ω/t)^{-1/2} * (ω/t²) = ω / (2t² √(1 - ω/t))。 积分限变换：当 x=0 时，t = ω；当 x→1⁻ 时，t→∞。 关键观察 ：被积函数 sin( ω/(1-x²) ) 变成了 sin(t)。高频振荡的“奇点”从 x=1 转移到了 t→∞ 的无穷远处，而且振荡频率是恒定的！这使得在 t 从有限值 ω 到无穷大的积分中，被积函数的主要振荡特性被“驯服”了。 第三步：积分表达式的变换与处理 将原积分 I 拆分为对称的两部分，我们以 [ 0,1 ] 部分为例： I₁ = ∫ {0}^{1} g(x) * sin( ω/(1-x²) ) dx = ∫ {t=ω}^{t→∞} g( √(1-ω/t) ) * sin(t) * [ ω / (2t² √(1-ω/t)) ] dt。 这个新的积分是 ∫_ {ω}^{∞} h(t) * sin(t) dt 的形式，其中 h(t) = g( √(1-ω/t) ) * [ ω / (2t² √(1-ω/t)) ]。 优点 ：振荡因子 sin(t) 现在是独立的、频率恒定的。h(t) 是随着 t→∞ 而衰减的函数（因为分母有 t² 项）。 新问题 ：这是一个半无限区间上的振荡积分。标准高斯-切比雪夫公式（定义在[ -1,1 ]）不能直接应用。 第四步：第二次变换与高斯-切比雪夫公式的应用 为了应用高斯-切比雪夫公式，我们需要将这个半无限区间映射到 [ -1, 1 ] 上。 第二次变量代换 ：令 u = 2ω/t - 1。当 t=ω 时，u=1；当 t→∞ 时，u→ -1。所以 t = 2ω/(1+u)， dt/du = -2ω/(1+u)²。 代入积分 ： I₁ = ∫ {u=1}^{u→-1} h(2ω/(1+u)) * sin(2ω/(1+u)) * [ -2ω/(1+u)² ] du = ∫ {-1}^{1} H(u) * sin(2ω/(1+u)) du， 其中 H(u) 整合了 h(t) 和雅可比行列式，是一个在 u=-1 处有可积奇点的函数（来自原权函数的遗留特性）。 应用高斯-切比雪夫公式 ：标准的 Gauss-Chebyshev (第二类) 公式适用于 ∫ {-1}^{1} f(u) √(1-u²) du 型积分。但我们的积分是 ∫ {-1}^{1} H(u) * sin(…) du。关键在于，函数 H(u) 在 u→-1 (对应 t→∞) 时，行为类似 1/√(1+u)（这是从 √(1-ω/t) 项和变换衍生出来的），这恰好可以被高斯-切比雪夫公式的权函数 1/√(1-u²) 所吸收。 精确匹配与公式应用 ：我们需要将 I₁ 写成标准形式。事实上，通过仔细的代数运算，可以证明存在一个函数 F(u)，使得 H(u) = F(u) / √(1-u²)。这个 F(u) 在 [ -1,1 ] 上通常是光滑的。因此： I₁ = ∫ {-1}^{1} [ F(u) / √(1-u²)] * sin(2ω/(1+u)) du = ∫ {-1}^{1} F(u) * sin(2ω/(1+u)) / √(1-u²) du。 现在，积分核变成了 sin(2ω/(1+u)) / √(1-u²)。虽然振荡因子仍在，但其频率现在是 2ω/(1+u)，在 u 从 -1 到 1 的变化过程中，频率从 ω 变化到 ∞。这比最初的 ω/(1-x²) 在 x→1 时趋于无穷的极端情况要温和得多。更重要的是，振荡因子成为了被积函数的一部分，而权函数 1/√(1-u²) 是高斯-切比雪夫公式精确处理的。 第五步：最终求解与总结 计算 ：对变换后的积分 I = ∫ {-1}^{1} F(u) * sin(2ω/(1+u)) / √(1-u²) du， 我们可以直接应用 n 点高斯-切比雪夫求积公式： I ≈ Σ {i=1}^{n} w_ i * [ F(u_ i) * sin(2ω/(1+u_ i)) ]。 其中，节点 u_ i 是 n 阶切比雪夫多项式的零点，权重 w_ i = π/n。 效果 ：通过这两步变换，我们成功地将一个在 x=±1 处具有“振荡奇异性”的积分，转化成了一个可以用标准高斯-切比雪夫公式高效计算的积分。变换的关键在于： 第一次变换（x → t） ：将剧烈变化的振荡相位“拉直”，变成一个线性（或更简单）的振荡，并将奇点推到无穷远。 第二次变换（t → u） ：将无穷区间映射回有限区间，并使得新的被积函数的结构与高斯-切比雪夫公式的权函数形式相匹配，从而“吸收”掉剩余的代数奇异性。 这个过程就是“正则化变换”的核心：通过精心设计的变量替换，将被积函数中病态的部分（高频振荡奇点）转化为数值方法能够稳健处理的形式。这种方法对于处理端点附近同时具有奇异性与振荡性的积分问题非常有效。