带限制的矩阵连乘最小乘法次数问题（矩阵维度带约束版本）

字数 3872 2025-12-04 22:26:25

带限制的矩阵连乘最小乘法次数问题（矩阵维度带约束版本）

题目描述

给定一个矩阵链，每个矩阵的维度为 p₀ × p₁, p₁ × p₂, ..., pₙ₋₁ × pₙ。同时，存在一个约束列表，每个约束是一个二元组 (i, j)，表示矩阵 Aᵢ 和矩阵 Aⱼ 不能直接相乘（即，在矩阵链的乘法结合顺序中，Aᵢ 和 Aⱼ 不能是同一个括号内的两个直接相邻的矩阵）。我们的目标是找到一种矩阵乘法的结合顺序，使得在满足所有约束的条件下，计算矩阵连乘所需的总标量乘法次数最小。

解题过程

问题分析
这个问题是经典矩阵连乘最小乘法次数问题的扩展。经典问题中，我们只关心如何加括号来最小化乘法次数。而在此问题中，我们增加了额外的约束：某些矩阵对不能直接相乘。这意味着，在最终的括号化方案中，被约束的矩阵对不能是同一个括号内的直接左右操作数。
状态定义
我们使用一个二维数组 dp 来存储子问题的最优解。
- dp[i][j] 表示计算从第 i 个矩阵到第 j 个矩阵（包含两端）的连乘所需的最小标量乘法次数，并且满足所有约束条件。
- 我们的最终目标是求解 dp[0][n-1]，其中 n 是矩阵的个数。
约束表示
为了高效判断两个矩阵是否能直接相乘，我们可以预先处理约束列表。一个常见的方法是使用一个二维布尔数组（或集合）forbidden 来记录被禁止的直接相乘对。
- forbidden[i][j] = True 表示矩阵 Aᵢ 和 Aⱼ 被禁止直接相乘。
- 注意，约束通常是针对矩阵索引的。如果约束是 (i, j)，那么 forbidden[i][j] 和 forbidden[j][i] 都应设为 True（因为乘法顺序可能不同，但“直接相邻”的关系是对称的）。
状态转移方程
核心思想是：对于任意的区间 [i, j]，我们考虑将其在某个位置 k (i ≤ k < j) 分割成两个子区间 [i, k] 和 [k+1, j]。
- 首先，我们必须检查这种分割是否被允许。即，检查位于分割点 k 的矩阵（即区间 [i, k] 的最后一个矩阵）和位于分割点 k+1 的矩阵（即区间 [k+1, j] 的第一个矩阵）是否被禁止直接相乘。如果 forbidden[k][k+1] 为 True，那么这种分割方案就是无效的，我们跳过这个 k。
- 如果分割是有效的，那么将 [i, j] 的连乘成本就是：
  cost = dp[i][k] + dp[k+1][j] + p[i] * p[k+1] * p[j+1]
  其中 p[i] 是第一个矩阵的行数，p[i+1] 是第一个矩阵的列数（也是第二个矩阵的行数），以此类推。p[i] * p[k+1] * p[j+1] 是合并两个子结果矩阵的成本。
- 我们需要遍历所有可能的分割点 k（从 i 到 j-1），并且只考虑那些分割有效的 k。然后取所有有效分割中得到的最小成本作为 dp[i][j] 的值。
- 如果对于区间 [i, j]，所有可能的分割点 k 都因为约束而无效，那么这可能意味着这个区间无法被正确括号化以满足约束。在这种情况下，我们可以将 dp[i][j] 设为一个很大的值（例如无穷大 inf），表示无解。
状态转移方程形式化如下：
```
如果 i == j:
    dp[i][j] = 0  // 单个矩阵，无需乘法
否则:
    dp[i][j] = inf (一个很大的数，表示初始化为无穷大)
    对于 k 从 i 到 j-1:
        如果 NOT forbidden[k][k+1]: // 检查分割点k处的直接相乘是否被允许
            成本 = dp[i][k] + dp[k+1][j] + p[i] * p[k+1] * p[j+1]
            dp[i][j] = min(dp[i][j], 成本)
```
计算顺序
由于计算 dp[i][j] 需要依赖于更短的区间 [i, k] 和 [k+1, j] 的结果，我们需要按照区间长度从小到大的顺序来计算 dp 表。
- 先计算所有长度为 1 的区间（即 i == j）。
- 然后计算长度为 2 的区间，接着是长度为 3 的区间，...，直到长度为 n 的区间。
初始化
- 对于所有 i，dp[i][i] = 0。
- 将 dp 表的其他位置初始化为一个非常大的数（例如 float('inf')），表示初始状态为未知或不可行。
结果提取
- 最终结果存储在 dp[0][n-1] 中。
- 如果 dp[0][n-1] 的值是我们初始设置的那个非常大的数，说明不存在满足所有约束的括号化方案。
示例说明
假设有矩阵链 A₀, A₁, A₂, A₃，其维度数组 p = [5, 10, 20, 5, 30]。
- A₀: 5x10
- A₁: 10x20
- A₂: 20x5
- A₃: 5x30
  约束：A₁ 和 A₂ 不能直接相乘，即约束 (1, 2)。
构建 forbidden 表（大小为 4x4，索引0到3）：
forbidden[1][2] = True, forbidden[2][1] = True，其余为 False。

计算过程（只展示关键步骤）：
- 长度 1: dp[0][0]=0, dp[1][1]=0, dp[2][2]=0, dp[3][3]=0。
- 长度 2:
  - [0,1]: 分割点 k=0。检查 forbidden[0][1] 为 False，有效。
    dp[0][1] = dp[0][0] + dp[1][1] + 5*10*20 = 0+0+1000 = 1000。
  - [1,2]: 分割点 k=1。检查 forbidden[1][2] 为 True，无效。无其他分割点，因此 dp[1][2] 保持为无穷大（表示无法直接计算 A₁A₂）。
  - [2,3]: 分割点 k=2。检查 forbidden[2][3] 为 False，有效。
    dp[2][3] = dp[2][2] + dp[3][3] + 20*5*30 = 0+0+3000 = 3000。
- 长度 3:
  - [0,2]: 区间包含 A₀, A₁, A₂。
    - 分割点 k=0: 先算 (A₀)(A₁A₂)。但 dp[1][2] 是无穷大（A₁A₂ 无法直接算），所以这种分割成本为无穷大。
    - 分割点 k=1: 先算 (A₀A₁)(A₂)。检查 forbidden[1][2] 为 True，无效。跳过。
    - 所有分割都无效或无解？让我们仔细看：分割点 k=1 无效是因为约束。分割点 k=0 看似是算 (A₀) 和 (A₁A₂)，但 (A₁A₂) 本身因为约束无法直接算（dp[1][2] 是无穷大），所以这个分割的总成本也是无穷大。因此 dp[0][2] 为无穷大？等等，我们还有别的计算顺序吗？比如 (A₀(A₁A₂)) 不行，((A₀A₁)A₂) 被约束禁止。那么 A₀A₁A₂ 确实无法计算？不一定。约束只是禁止 A₁ 和 A₂ 直接相乘。在计算 (A₀A₁)A₂ 时，A₁ 和 A₂ 是直接相乘的，所以被禁止。在计算 A₀(A₁A₂) 时，A₁ 和 A₂ 也是直接相乘的（在子表达式 A₁A₂ 内），同样被禁止。所以对于 [0,2] 确实无解？dp[0][2] 为无穷大。
  - [1,3]: 区间包含 A₁, A₂, A₃。
    - 分割点 k=1: 先算 (A₁)(A₂A₃)。检查 forbidden[1][2]？注意，这里分割后，左边是单个矩阵 A₁，右边是 (A₂A₃)。在最终合并时，是 A₁ 和 (A₂A₃) 的结果矩阵相乘。约束是 A₁ 和 A₂ 不能直接相乘，但这里 A₁ 是与 A₂A₃ 的结果矩阵相乘，而不是直接与 A₂ 相乘。所以这个分割是允许的！因为约束只禁止直接相乘，而 A₁ 和 A₂ 在这个分割方案中并不是同一个括号内的直接左右操作数。A₂ 先和 A₃ 相乘了。
      成本 = dp[1][1] + dp[2][3] + p[1]*p[3]*p[4] = 0 + 3000 + 10*5*30 = 0+3000+1500=4500。
    - 分割点 k=2: 先算 (A₁A₂)(A₃)。检查 forbidden[1][2] 为 True，无效。跳过。
    - 所以 dp[1][3] = min(4500, ...) = 4500。
- 长度 4:
  - [0,3]: 整个链。
    - 分割点 k=0: (A₀)(A₁A₂A₃)。成本 = dp[0][0] + dp[1][3] + p[0]*p[1]*p[4] = 0 + 4500 + 5*10*30 = 0+4500+1500=6000。
    - 分割点 k=1: (A₀A₁)(A₂A₃)。检查 forbidden[1][2]？分割点在 k=1，意味着合并时是 (A₀A₁) 的结果矩阵和 (A₂A₃) 的结果矩阵相乘。A₁ 和 A₂ 并不是这个合并操作的直接操作数。所以这个分割是允许的。
      成本 = dp[0][1] + dp[2][3] + p[0]*p[2]*p[4] = 1000 + 3000 + 5*20*30 = 1000+3000+3000=7000。
    - 分割点 k=2: (A₀A₁A₂)(A₃)。但 dp[0][2] 是无穷大（之前算出无解），所以这种分割成本为无穷大。
    - dp[0][3] = min(6000, 7000) = 6000。
最终结果: dp[0][3] = 6000。
对应的括号化方案: (A₀ ( (A₁ (A₂ A₃) ) ))。验证约束：A₁ 和 A₂ 没有直接相乘（A₂ 先和 A₃ 相乘），满足条件。

通过这个详细的步骤，我们就在考虑约束的条件下，求得了矩阵连乘的最小乘法次数。

带限制的矩阵连乘最小乘法次数问题（矩阵维度带约束版本）题目描述给定一个矩阵链，每个矩阵的维度为 p₀ × p₁, p₁ × p₂, ..., pₙ₋₁ × pₙ。同时，存在一个约束列表，每个约束是一个二元组 (i, j)，表示矩阵 Aᵢ 和矩阵 Aⱼ 不能直接相乘（即，在矩阵链的乘法结合顺序中，Aᵢ 和 Aⱼ 不能是同一个括号内的两个直接相邻的矩阵）。我们的目标是找到一种矩阵乘法的结合顺序，使得在满足所有约束的条件下，计算矩阵连乘所需的总标量乘法次数最小。解题过程问题分析这个问题是经典矩阵连乘最小乘法次数问题的扩展。经典问题中，我们只关心如何加括号来最小化乘法次数。而在此问题中，我们增加了额外的约束：某些矩阵对不能直接相乘。这意味着，在最终的括号化方案中，被约束的矩阵对不能是同一个括号内的直接左右操作数。状态定义我们使用一个二维数组 dp 来存储子问题的最优解。 dp[i][j] 表示计算从第 i 个矩阵到第 j 个矩阵（包含两端）的连乘所需的最小标量乘法次数，并且满足所有约束条件。我们的最终目标是求解 dp[0][n-1] ，其中 n 是矩阵的个数。约束表示为了高效判断两个矩阵是否能直接相乘，我们可以预先处理约束列表。一个常见的方法是使用一个二维布尔数组（或集合） forbidden 来记录被禁止的直接相乘对。 forbidden[i][j] = True 表示矩阵 Aᵢ 和 Aⱼ 被禁止直接相乘。注意，约束通常是针对矩阵索引的。如果约束是 (i, j)，那么 forbidden[i][j] 和 forbidden[j][i] 都应设为 True （因为乘法顺序可能不同，但“直接相邻”的关系是对称的）。状态转移方程核心思想是：对于任意的区间 [i, j] ，我们考虑将其在某个位置 k (i ≤ k < j) 分割成两个子区间 [i, k] 和 [k+1, j] 。首先，我们必须检查这种分割是否被允许。即，检查位于分割点 k 的矩阵（即区间 [i, k] 的最后一个矩阵）和位于分割点 k+1 的矩阵（即区间 [k+1, j] 的第一个矩阵）是否被禁止直接相乘。如果 forbidden[k][k+1] 为 True ，那么这种分割方案就是无效的，我们跳过这个 k 。如果分割是有效的，那么将 [i, j] 的连乘成本就是： cost = dp[i][k] + dp[k+1][j] + p[i] * p[k+1] * p[j+1] 其中 p[i] 是第一个矩阵的行数， p[i+1] 是第一个矩阵的列数（也是第二个矩阵的行数），以此类推。 p[i] * p[k+1] * p[j+1] 是合并两个子结果矩阵的成本。我们需要遍历所有可能的分割点 k （从 i 到 j-1 ），并且只考虑那些分割有效的 k 。然后取所有有效分割中得到的最小成本作为 dp[i][j] 的值。如果对于区间 [i, j] ，所有可能的分割点 k 都因为约束而无效，那么这可能意味着这个区间无法被正确括号化以满足约束。在这种情况下，我们可以将 dp[i][j] 设为一个很大的值（例如无穷大 inf ），表示无解。状态转移方程形式化如下：计算顺序由于计算 dp[i][j] 需要依赖于更短的区间 [i, k] 和 [k+1, j] 的结果，我们需要按照区间长度从小到大的顺序来计算 dp 表。先计算所有长度为 1 的区间（即 i == j ）。然后计算长度为 2 的区间，接着是长度为 3 的区间，...，直到长度为 n 的区间。初始化对于所有 i ， dp[i][i] = 0 。将 dp 表的其他位置初始化为一个非常大的数（例如 float('inf') ），表示初始状态为未知或不可行。结果提取最终结果存储在 dp[0][n-1] 中。如果 dp[0][n-1] 的值是我们初始设置的那个非常大的数，说明不存在满足所有约束的括号化方案。示例说明假设有矩阵链 A₀, A₁, A₂, A₃，其维度数组 p = [ 5, 10, 20, 5, 30 ]。 A₀: 5x10 A₁: 10x20 A₂: 20x5 A₃: 5x30 约束：A₁ 和 A₂ 不能直接相乘，即约束 (1, 2)。构建 forbidden 表（大小为 4x4，索引0到3）： forbidden[1][2] = True , forbidden[2][1] = True ，其余为 False。计算过程（只展示关键步骤）：长度 1: dp[0][0]=0 , dp[1][1]=0 , dp[2][2]=0 , dp[3][3]=0 。长度 2: [0,1] : 分割点 k=0。检查 forbidden[0][1] 为 False，有效。 dp[0][1] = dp[0][0] + dp[1][1] + 5*10*20 = 0+0+1000 = 1000 。 [1,2] : 分割点 k=1。检查 forbidden[1][2] 为 True，无效。无其他分割点，因此 dp[1][2] 保持为无穷大（表示无法直接计算 A₁A₂）。 [2,3] : 分割点 k=2。检查 forbidden[2][3] 为 False，有效。 dp[2][3] = dp[2][2] + dp[3][3] + 20*5*30 = 0+0+3000 = 3000 。长度 3: [0,2] : 区间包含 A₀, A₁, A₂。分割点 k=0: 先算 (A₀)(A₁A₂)。但 dp[1][2] 是无穷大（A₁A₂ 无法直接算），所以这种分割成本为无穷大。分割点 k=1: 先算 (A₀A₁)(A₂)。检查 forbidden[1][2] 为 True，无效。跳过。所有分割都无效或无解？让我们仔细看：分割点 k=1 无效是因为约束。分割点 k=0 看似是算 (A₀) 和 (A₁A₂)，但 (A₁A₂) 本身因为约束无法直接算（ dp[1][2] 是无穷大），所以这个分割的总成本也是无穷大。因此 dp[0][2] 为无穷大？等等，我们还有别的计算顺序吗？比如 (A₀(A₁A₂)) 不行，((A₀A₁)A₂) 被约束禁止。那么 A₀A₁A₂ 确实无法计算？不一定。约束只是禁止 A₁ 和 A₂ 直接相乘。在计算 (A₀A₁)A₂ 时，A₁ 和 A₂ 是直接相乘的，所以被禁止。在计算 A₀(A₁A₂) 时，A₁ 和 A₂ 也是直接相乘的（在子表达式 A₁A₂ 内），同样被禁止。所以对于 [ 0,2] 确实无解？ dp[0][2] 为无穷大。 [1,3] : 区间包含 A₁, A₂, A₃。分割点 k=1: 先算 (A₁)(A₂A₃)。检查 forbidden[1][2] ？注意，这里分割后，左边是单个矩阵 A₁，右边是 (A₂A₃)。在最终合并时，是 A₁ 和 (A₂A₃) 的结果矩阵相乘。约束是 A₁ 和 A₂ 不能直接相乘，但这里 A₁ 是与 A₂A₃ 的结果矩阵相乘，而不是直接与 A₂ 相乘。所以这个分割是允许的！因为约束只禁止直接相乘，而 A₁ 和 A₂ 在这个分割方案中并不是同一个括号内的直接左右操作数。A₂ 先和 A₃ 相乘了。成本 = dp[1][1] + dp[2][3] + p[1]*p[3]*p[4] = 0 + 3000 + 10*5*30 = 0+3000+1500=4500 。分割点 k=2: 先算 (A₁A₂)(A₃)。检查 forbidden[1][2] 为 True，无效。跳过。所以 dp[1][3] = min(4500, ...) = 4500 。长度 4: [0,3] : 整个链。分割点 k=0: (A₀)(A₁A₂A₃)。成本 = dp[0][0] + dp[1][3] + p[0]*p[1]*p[4] = 0 + 4500 + 5*10*30 = 0+4500+1500=6000 。分割点 k=1: (A₀A₁)(A₂A₃)。检查 forbidden[1][2] ？分割点在 k=1，意味着合并时是 (A₀A₁) 的结果矩阵和 (A₂A₃) 的结果矩阵相乘。A₁ 和 A₂ 并不是这个合并操作的直接操作数。所以这个分割是允许的。成本 = dp[0][1] + dp[2][3] + p[0]*p[2]*p[4] = 1000 + 3000 + 5*20*30 = 1000+3000+3000=7000 。分割点 k=2: (A₀A₁A₂)(A₃)。但 dp[0][2] 是无穷大（之前算出无解），所以这种分割成本为无穷大。 dp[0][3] = min(6000, 7000) = 6000 。最终结果: dp[0][3] = 6000 。对应的括号化方案: (A₀ ( (A₁ (A₂ A₃) ) ))。验证约束：A₁ 和 A₂ 没有直接相乘（A₂ 先和 A₃ 相乘），满足条件。通过这个详细的步骤，我们就在考虑约束的条件下，求得了矩阵连乘的最小乘法次数。